2.7: Кутовий момент
- Page ID
- 18955
Орбітальний кутовий момент
Частка, що рухається з імпульсом p в позиції r відносно деякого координатного походження, має так званий орбітальний кутовий момент, рівний\(\textbf{L} = \textbf{r} \times \textbf{p}\). Три складові цього вектора кутового моменту в декартовій системі координат, розташованій у згаданому вище початку, наведені через декартові координати\(\textbf{r}\) і\(\textbf{p}\) наступним чином:
\[{L}_z = x p_y - y p_x ,\]
\[{L}_x = y p_z - z p_y ,\]
\[{L}_y = z p_x - x p_z .\]
Використання фундаментальних комутаційних відносин між декартовими координатами та декартовими моментами:
\[[ q_k , p_j ] = q_k p_j - p_j q_k = i\hbar \delta_{j,k} ( j,k = x,y,z) ,\]
які доведені, враховуючи кількість від
\[(x p_x - p_x x)f=-i\hbar \left[x\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial (xf)}{\partial x}\right]=i\hbar f,\]
можна показати, що вищевказані оператори кутового моменту підкоряються наступному набору комутаційних відносин:
\[[\textbf{L}_x, \textbf{L}_y] = i\hbar \textbf{L}_z ,\]
\[[\textbf{L}_y, \textbf{L}_z] = i\hbar \textbf{L}_x ,\]
\[[\textbf{L}_z, \textbf{L}_x] = i\hbar \textbf{L}_y .\]
Хоча компоненти\(\textbf{L}\) не їздять один з одним, вони можуть бути показані для поїздки з оператором,\(\textbf{L}^2\) визначеним
\[\textbf{L}^2 = \textbf{L}_x^2 + \textbf{L}_y^2 + \textbf{L}_z^2 .\]
Цей новий оператор називається квадратом оператора сумарного моменту моменту.
Комутаційні властивості компонентів\(\textbf{L}\) дозволяють зробити висновок, що можна знайти повні набори функцій, які є власними функціями\(\textbf{L}^2\) і однієї, але не більше однієї, складової\(\textbf{L}\). Умовним є вибір цього компонента як і\(\textbf{L}_z\) позначити отримані одночасні власні\(\textbf{L}^2\) стани і\(\textbf{L}_z\) як\(|l,m\rangle \) відповідно до відповідних власних значень:
\[\textbf{L}^2 |l,m\rangle = \hbar^2 l(l+1) |l,m\rangle , l = 0,1,2,3,....\]
\[\textbf{L}_z |l,m\rangle = \hbar m|l,m\rangle , m= ± l, ±(l-1), ±(l-2), ... ±(l-(l-1)), 0.\]
Ці власні функції\(\textbf{L}^2\) і не\(\textbf{L}_z\) будуть, загалом, власними функціями\(\textbf{L}_x\) або з\(\textbf{L}_y\). Це означає, що будь-яке вимірювання\(\textbf{L}_x\) або\(\textbf{L}_y\) обов'язково змінить хвильову функцію, якщо вона починається як власна функція\(\textbf{L}_z\).
Наведені вище вирази для\(\textbf{L}_x\)\(\textbf{L}_y\), і\(\textbf{L}_z\) можуть бути зіставлені в квантові механічні оператори шляхом підстановки\(x\)\(y\), і\(z\) як відповідні координатні оператори і\(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial x}\)\(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial y}\), і\(-i\hbar \dfrac{\partial}{\partial z}\) for\(p_x\),\(p_y\), і\(p_z\), відповідно. Отримані оператори потім можуть бути перетворені в сферичні координати, результатами яких є:
\[\textbf{L}_z =-i\hbar \frac{\partial}{\partial \phi} ,\]
\[\textbf{L}_x = i\hbar \left[\sin\phi \frac{\partial}{\partial \theta} + \cot\theta \cos\phi \frac{\partial}{\partial \phi}\right] ,\]
\[\textbf{L}_y = -i\hbar \left[\cos\phi \frac{\partial}{\partial \theta} - \cot\theta \sin\phi \frac{\partial}{\partial \phi}\right] ,\]
\[\textbf{L}^2 = - \hbar^2 \left[ \frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} (\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}) + \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right] .\]
Властивості загальних кутових моментів
Існує безліч видів кутових моментів, з якими стикається в хімії. Орбітальні кутові моменти, такі як введені вище, виникають в електронному русі в атомах, при зіткненнях атомів і електрон-атомів, а також у обертальному русі в молекулах. Внутрішній спіновий момент моменту присутній і в електроні,\(H^1, H^2, C^{13},\) і в багатьох інших ядрах. У цьому розділі ми розглянемо поведінку будь-яких кутових моментів та їх відповідних власних функцій.
Часом атом або молекула містить більше одного типу кутового моменту. Потенціали взаємодії гамільтоніана, присутні в конкретному виді, можуть або не можуть призвести до того, що ці індивідуальні кутові моменти будуть з'єднані в помітній мірі (тобто гамільтоніан може або не може містити терміни, які відносяться одночасно до двох або більше цих кутових моментів). Наприклад,\(NH^-\) іон, який має\(^2P\) заземлений електронний стан (його електронна конфігурація\(1s^22s^23s^22p_{\pi x}^22p_{\pi y}^1\)) має електронний спін, електронну орбіту та молекулярний обертальний кутовий момент. Повний гамільтоніан\(H\) містить терміни, які з'єднують електронні спінові та орбітальні кутові моменти, тим самим змушуючи їх окремо не їздити з\(H\).
У таких випадках власні стани системи можуть бути строго позначені тільки квантовими числами моменту моменту моменту\(j\) і\(m\) належать до операторів сумарного моменту\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}_z\). Сумарний кутовий момент сукупності окремих кутових моментів визначається, покомпонентно, наступним чином:
\[J_k = \sum_i J_k(i),\]
де\(k\) мітки\(x\), і\(y\)\(z\), і\(i\) позначає складові, чия кутова пара momenta виробляти J.
Для решти цього розділу ми вивчимо відносини власної функції-власні значення, характерні для всіх кутових моментів і які є наслідками комутаційних відносин між трьома складовими вектора кутового імпульсу. Ми також вивчимо, як об'єднують власні функції двох або більше кутових моментів {\(\textbf{J}(i)\)} для отримання власних функцій загальної суми\(\textbf{J}\).
Наслідки комутаційних відносин
Будь-який набір з трьох операторів, які підкоряються
\[[\textbf{J}_x, \textbf{J}_y] = i\hbar \textbf{J}_z ,\]
\[[\textbf{J}_y, \textbf{J}_z] = i\hbar \textbf{J}_x ,\]
\[[\textbf{J}_z, \textbf{J}_x] = i\hbar \textbf{J}_y ,\]
буде прийнято для визначення кутового моменту\(\textbf{J}\), квадрат якого\(\textbf{J}^2= \textbf{J}_x^2 + \textbf{J}_y^2 + \textbf{J}_z^2\) комутується з усіма трьома його складовими. Корисно також ввести дві комбінації трьох основних операторів\(\textbf{J}_x\) і\(\textbf{J}_y\):
\[\textbf{J}_{\pm} = \textbf{J}_x ± i \textbf{J}_y ,\]
і називати їх операторами підвищення та зниження з причин, які будуть зрозумілі нижче. Ці нові оператори можуть бути показані, що вони підкоряються наступним зв'язкам комутації:
\[[\textbf{J}^2, \textbf{J}_{\pm}] = 0,\]
\[[\textbf{J}_z, \textbf{J}_{\pm}] = \pm \hbar \textbf{J}_{\pm} .\]
Використовуючи лише наведені вище комутаційні властивості, можна довести важливі властивості власних функцій і власних значень\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}_z\). Припустимо, що ми знайшли набір одночасних власних функцій\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}_z\); той факт, що ці два оператори комутують говорить нам, що це можливо. Давайте позначимо власні значення, що належать цим функціям:
\[\textbf{J}^2 |j,m\rangle = \hbar^2 f(j,m) |j,m\rangle ,\]
\[\textbf{J}_z |j,m\rangle = \hbar m|j,m\rangle ,\]
в перерахунку на кількість\(m\) і\(f(j,m)\). Хоча ми, безумовно, натякаємо, що ці величини повинні бути пов'язані з певними\(j\) та\(m\) квантовими числами, ми ще не довели цього, хоча незабаром це зробимо. Наразі ми розглядаємо\(f(j,m)\) і\(m\) просто як символи, які представляють відповідні власні значення. Оскільки обидва\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}_z\) є Ермітом, власні функції, що належать до різних\(f(j,m)\) або\(m\) квантових чисел, повинні бути ортогональними:
\[\langle j,m|j',m'\rangle = \delta_{m,m^\prime} \delta_{j,j^\prime} .\]
Зараз доведено декілька ідентичностей, які необхідні для виявлення інформації про власні значення та власні функції загальних кутових моментів, які ми слідуємо. Пізніше в цьому розділі підсумовуються основні результати.
Існує максимальне та мінімальне власне значення для\(\textbf{J}_z\)
Оскільки всі компоненти\(\textbf{J}\) є Ермітієвими, і тому, що скалярний добуток будь-якої функції з собою є позитивним напіввизначеним, така ідентичність має:
\[\langle j,m|\textbf{J}_x^2 + \textbf{J}_y^2|j,m\rangle = \langle \textbf{J}_x\langle j,m| \textbf{J}_x|j,m\rangle + \langle \textbf{J}_y\langle j,m| \textbf{J}_y|j,m\rangle \ge 0.\]
Однак\(\textbf{J}_x^2 + \textbf{J}_y^2\) дорівнює\(\textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2\), тому ця нерівність означає, що
\[\langle j,m| \textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 |j,m\rangle = \hbar^2 {f(j,m) - m^2} \ge 0,\]
що, в свою чергу, має на увазі, що\(m^2\) повинно бути менше або дорівнює\(f(j,m)\). Отже, для будь-якого значення власного значення сумарного моменту моменту\(f\), власне значення z-проекції (\(m\)) повинно мати максимальне та мінімальне значення, і обидва вони повинні бути меншими або дорівнювати загальному кутовому моменту у квадраті власного значення\(f\).
Оператори підвищення та зниження\(\textbf{J}_z\) змінюють власне значення, але не\(\textbf{J}^2\) власне значення при дії на\(|j,m\rangle \)
Застосування комутаційних відносин, які підкоряються\(\textbf{J}_{\pm}\) to,\(|j,m\rangle \) дає ще один корисний результат:
\[\textbf{J}_z \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle - \textbf{J}_{\pm} \textbf{J}_z |j,m\rangle = \pm \hbar \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle ,\]
\[\textbf{J}^2 \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle - \textbf{J}_{\pm} \textbf{J}^2 |j,m\rangle = 0.\]
Тепер, використовуючи той факт, що\(|j,m\rangle \) є власним станом\(\textbf{J}^2\) і з\(\textbf{J}_z\), ці ідентичності дають
\[\textbf{J}_z \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = (m\hbar \pm \hbar) \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = h (m±1) |j,m\rangle ,\]
\[\textbf{J}^2 \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = \hbar^2 f(j,m) \textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle .\]
Ці рівняння доводять, що функції\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \) повинні або самі бути власнимифункціями\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}_z\), з власними значеннями\(\hbar^2 f(j,m)\) і\(\hbar (m+1)\), відповідно, або\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \) повинні дорівнювати нулю. У першому випадку ми бачимо, що\(\textbf{J}_{\pm}\) дія на\(|j,m\rangle \) генерує новий власний стан з таким же власним\(\textbf{J}^2\) значенням, як,\(|j,m\rangle \) але з однією одиницею h вище або нижче у\(\textbf{J}_z\) власному значенні. Саме з цієї причини ми називаємо операторами\(\textbf{J}_{\pm}\) підвищення і зниження. Зверніть увагу, що, хоча\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \) це дійсно власна функція\(\textbf{J}_z\) з власним значенням\((m±1) \hbar\),\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \) не ідентична\(|j,m±1\rangle \); вона лише пропорційна\(|j,m±1\rangle \):
\[\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = C^±_{j,m}|j,m±1\rangle .\]
Явні вирази для цих\(C^±_{j,m}\) коефіцієнтів будуть отримані нижче. Зверніть увагу також, що оскільки\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \), і\(|j,m±1\rangle \), отже, мають\(\textbf{J}^2\) таке ж власне значення, як\(|j,m\rangle \) (насправді, послідовне застосування\(\textbf{J}_{\pm}\) може бути використано, щоб показати\(|j,m'\rangle \), що всі\(m'\), для всіх, мають таке ж власне\(\textbf{J}^2\) значення)\(\textbf{J}^2\), власне значення\(f(j,m)\) повинно бути незалежним від m З цієї причини\(f\) можна позначити одним квантовим числом j.
iii. \(\textbf{J}^2\)Власні значення пов'язані з максимальним і мінімальним\(\textbf{J}_z\) власними значеннями, які пов'язані один з одним.
Раніше ми показали, що існує максимальне і мінімальне значення для m, для будь-якого заданого сумарного моменту моменту. Це коли людина досягає цих обмежувальних випадків, що\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = 0\) застосовується. Зокрема,
\[\textbf{J}_{+} |j,m_{\rm max}\rangle = 0,\]
\[\textbf{J}_{-} |j,m_{\rm min}\rangle = 0.\]
Застосування наступних посвідчень:
\[\textbf{J}_{-} \textbf{J}_{+} = \textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 -\hbar \textbf{J}_z ,\]
\[\textbf{J}_{+} \textbf{J}_{-} = \textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 +\hbar \textbf{J}_z,\]
відповідно, до\(|j,m_{\rm max}\rangle \) і\(|j,m_{\rm min}\rangle \) дає
\[\hbar^2 \{ f(j,m_{\rm max}) - m_{\rm max}^2 - m_{\rm max}\} = 0,\]
\[\hbar^2 \{ f(j,m_{\rm min}) - m_{\rm min}^2 + m_{\rm min}\} = 0,\]
який відразу дає\(\textbf{J}^2\) власне значення\(f(j,m_{\rm max})\) і\(f(j,m_{\rm min})\) в терміні\(m_{\rm max}\) або\(m_{\rm min}\):
\[f(j,m_{\rm max}) = m_{\rm max} (m_{\rm max}+1),\]
\[f(j,m_{\rm min}) = m_{\rm min} (m_{\rm min}-1).\]
Отже, тепер ми знаємо\(\textbf{J}^2\) власні значення для\(|j,m_{\rm max}\rangle \) і\(|j,m_{\rm min}\rangle \). Однак ми раніше показали, що\(|j,m\rangle \) і\(|j,m-1\rangle \) мають\(\textbf{J}^2\) однакове власне значення (коли ми розглядали ефект\(\textbf{J}_{\pm}\) on\(|j,m\rangle \)) і що власне\(\textbf{J}^2\) значення не залежить від m, тому якщо ми визначаємо квантове число\(j\) бути\(m_{\rm max}\), ми бачимо, що \(\textbf{J}^2\)власні значення задаються
\[\textbf{J}^2 |j,m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j,m\rangle .\]
Ми також бачимо, що
\[f(j,m) = j(j+1) = m_{\rm max} (m_{\rm max}+1) = m_{\rm min} (m_{\rm min}-1),\]
з чого випливає, що
\[m_{\rm min} = - m_{\rm max} .\]
\(j\)Квантове число може бути цілим або напівцілим
Справа в тому, що\(m\) -значення виконуються від\(j\) до\(-j\) в одиничних кроках (через властивість\(\textbf{J}_{\pm}\) операторів), тут явно можуть бути тільки ціле або напівціле значення для\(j\). У першому випадку\(m\) квантове число проходить\(-j, -j+1, -j+2, ..., -j+(j-1), 0, 1, 2, ... j\);
в останньому\(m\) перебігає\(-j, -j+1, -j+2, ...-j+\Big(j-\dfrac{1}{2}\Big), \dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2}, ...j\). Тільки ціле і напівціле значення можуть варіюватися від\(j\) до\(-j\) з кроком одиниці. Види, чиї внутрішні кутові моменти є цілими числами, відомі як Бозони, а ті, що мають напівціле спін, називаються Ферміонами.
Детальніше про\(\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle \)
Використання наведених вище результатів для ефекту\(\textbf{J}_{\pm}\) дії\(|j,m\rangle \) і того, що\(\textbf{J}_{+}\) і\(\textbf{J}_{-}\) є суміжними один з одним (два оператори\(\textbf{F}\) і\(\textbf{G}\) є суміжними якщо\(\langle \psi|\textbf{F}|\chi\rangle = \langle \textbf{G}\psi|\chi\rangle \), для всіх\(\psi\) і всіх\(\chi\)) дозволяє нам записати:
\[\langle j,m| \textbf{J}_{-} \textbf{J}_{+} |j,m\rangle = \langle j,m| (\textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 -\hbar \textbf{J}_z ) |j,m\rangle \]
\[= \hbar^2 {j(j+1)-m(m+1)} = \langle \textbf{J}_{+}\langle j,m| \textbf{J}_{+}|j,m\rangle = (C^+_{j,m})^2,\]
де\(C^+_{j,m}\) -\(\textbf{J}_{+}|j,m\rangle\) константа пропорційності між нормованою функцією
\(|j,m+1\rangle\). Так само ефект\(\textbf{J}_{-}\) може бути виражений у вигляді
\[\langle j,m| \textbf{J}_{+} \textbf{J}_{-} |j,m\rangle = \langle j,m| (\textbf{J}^2 - \textbf{J}_z^2 +\hbar \textbf{J}_z) |j,m\rangle \]
\[= \hbar^2 {j(j+1)-m(m-1)} = \langle \textbf{J}_{-}\langle j,m| \textbf{J}_{-}|j,m\rangle = (C^-_{j,m})^2,\]
де\(C^-_{j,m}\) - константа пропорційності між\(\textbf{J}_{-} |j,m\rangle\) нормованою і нормованою\(|j,m-1\rangle\). Таким чином, ми можемо вирішити, для\(C^±_{j,m}\) чого ефект\(\textbf{J}_{\pm}\) on\(|j,m\rangle\) задається:
\[\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = h \sqrt{j(j+1) –m(m±1)} |j,m±1\rangle .\]
Резюме
Наведені вище результати стосуються будь-яких операторів кутового моменту. Основні висновки можна узагальнити наступним чином:
(i)\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}_z\) мають повні набори одночасних власних функцій. Ми позначимо ці власні функції\(|j,m\rangle \); вони є ортонормальними як за показниками m-, так і j-типу:
\[\langle j,m| j',m'\rangle = \delta_{m,m^\prime} \delta_{j,j^\prime} .\]
(ii) Ці\(|j,m\rangle \) власні функції підкоряються:
\[\textbf{J}^2 |j,m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j,m\rangle , \{ j= \text{ integer or half-integer}\},\]
\[\textbf{J}_z |j,m\rangle = \hbar m|j,m\rangle , \{ m= -j,\text{ in steps of 1 to }+j\}.\]
(iii) Оператори підвищення та зниження\(\textbf{J}_{\pm}\) діють на\(|j,m\rangle \) отримання функцій, які є власними функціями\(\textbf{J}^2\) з тим самим власним значенням, що\(|j,m\rangle \) і власні функції\(\textbf{J}_z\) з власним значенням\((m±1) \hbar\):
\[\textbf{J}_{\pm} |j,m\rangle = \hbar \sqrt{j(j+1) - m(m±1)} |j,m±1\rangle .\]
(iv) Коли\(\textbf{J}_{\pm}\) діє на екстремальні стани\(|j,j\rangle \) або\(|j,-j\rangle \), відповідно, результат дорівнює нулю.
Результати, наведені вище, є, як зазначено, загальними. Будь-які кутові моменти мають квантові механічні оператори, які підкоряються цим рівнянням. Це умовність позначити конкретні види кутових моментів конкретними літерами; однак слід мати на увазі, що незалежно від того, які літери використовуються, існують оператори, що відповідають\(\textbf{J}^2\)\(\textbf{J}^z\), і\(\textbf{J}_{\pm}\) які підкоряються відносинам, як зазначено вище, і існують власні функції і власні значення, які мають всі властивості, отримані вище. Для електронних або колізійних орбітальних кутових моментів прийнято використовувати\(\textbf{L}^2\) і\(\textbf{L}^z\); для електронного спина використовуються S2 і Sz; для ядерного спина I2 і Iz найбільш поширені; а для молекулярного обертального моменту найбільш поширені N2 і Nz (хоча іноді\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}^z\) може бути використаний). Всякий раз, коли два або більше кутових моментів об'єднуються або з'єднуються для отримання загального моменту моменту, останній позначається\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}^z\).
Муфта кутового моменту
Якщо досліджуваний гамільтоніан містить терміни, які з'єднують два або більше кутових моментів\(\textbf{J}(i)\), то тільки компоненти загального кутового імпульсу\(\textbf{J} =\sum_i\textbf{J}(i)\) і загальної суми\(\textbf{J}^2\) будуть їздити з\(\textbf{H}\). Тому важливо позначити квантові стани системи власними значеннями\(\textbf{J}_z\) і\(\textbf{J}^2\) і побудувати варіаційні пробні або модельні хвильові функції, які є власними функціями цих операторів повного моменту моменту. Проблема зчеплення моменту пов'язана з тим, як об'єднати власні функції незв'язаних операторів кутового моменту, які наведені як прості добутки власних функцій окремих кутових моментів\(\prod_i |j_i,m_i\rangle \), для формування власних функцій\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}_z\).
Власні функції\(\textbf{J}_z\)
Оскільки окремі елементи\(J\) утворюються адитивно, але\(\textbf{J}^2\) це не так, це просто сформувати власні стани
\[\textbf{J}_z =\sum_i\textbf{J}_z(i);\]
прості вироби виду\(\prod_i |j_i,m_i\rangle \) - це власні функції\(\textbf{J}_z\):
\[\textbf{J}_z \prod_i |j_i,m_i\rangle = \sum_k \textbf{J}_z(k) \prod_i |j_i,m_i\rangle = \sum_k \hbar m_k \prod_i |j_i,m_i\rangle ,\]
і мають\(\textbf{J}_z\) власні значення, рівні сумі окремих\(m_k\hbar\) власних значень. Отже, для формування власної функції з заданими\(J\) і власними\(M\) значеннями потрібно об'єднати тільки ті добучні стани,\(m_i\hbar\) сума\(\prod_i |j_i,m_i\rangle \) яких дорівнює вказаному\(M\) значенню.
Власні функції\(\textbf{J}^2\); серія Клебша-Гордона
Потім завдання зводиться до формування власних функцій\(|J,M\rangle \), заданих конкретними значеннями для {\(j_i\)} квантових чисел. При зчепленні пар кутових моментів {\(|j,m\rangle \)і\(|j',m'\rangle\)} можна записати сумарні стани моменту моменту, відповідно до того, що ми визначили вище, як
\[|J,M\rangle = \sum_{m,m'} C^{J,M}_{j,m;j',m'} |j,m\rangle |j',m'\rangle ,\]
де коефіцієнти\(C^{J,M}_{j,m;j',m'}\) називаються векторними коефіцієнтами зв'язку (тому що зв'язок кутового моменту розглядається так само, як додавання двох векторів\(\textbf{j}\) і\(\textbf{j}'\) отримання іншого вектора\(\textbf{J}\)), і де сума над\(m\) і\(m'\) обмежена тими термінами, для яких \(m+m' = M\). Найчастіше виражають векторну зв'язок або так звані коефіцієнти Клебша-Гордона (CG) як\(\langle j,m;j'm'|J,M\rangle \) і розглядати їх як елементи матриці, стовпці якої позначені\(J,M\) квантовими числами зі зв'язаним станом і рядки яких позначені квантовими числами, що характеризують незв'язана основа продукту\(j,m;j',m'\). Виходить, що ця матриця може бути показана унітарною, щоб коефіцієнти КГ підкорялися:
\[\sum_{m,m'} \langle j,m;j'm'|J,M\rangle ^* \langle j,m;j'm'|J',M'\rangle = \delta_{j,j^\prime} \delta_{m,m^\prime}\]
і
\[\sum_{J,M} \langle j,n;j'n'|J,M\rangle \langle j,m;j'm'|J,M\rangle ^* = \delta_{n,m} \delta_{n',m'}.\]
Ця унітарність матриці коефіцієнта КГ дозволяє обертати відношення, що дає зв'язані функції в терміні функцій добутку:
\[|J,M\rangle = \sum_{m,m'} \langle j,m;j'm'|J,M\rangle |j,m\rangle |j',m'\rangle \]
записуватися як:
\[|j,m\rangle |j',m'\rangle = \sum_{J,M} \langle j,m;j'm'|J,M\rangle ^* |J,M\rangle \]
\[= \sum_{J,M} \langle J,M|j,m;j'm'\rangle |J,M\rangle .\]
Цей результат виражає функції продукту з точки зору зв'язаних функцій моменту моменту.
Генерація коефіцієнтів Клбша-Гордона
Коефіцієнти Клбша-Гордона можуть генеруватися систематично; однак, їх також можна шукати в книгах, де вони були табличні (наприклад, див. Таблицю 2.4 Р.Н. Zare, Кутовий імпульс, Джон Уайлі, Нью-Йорк (1988)). Тут ми продемонструємо методику, за допомогою якої можна отримати коефіцієнти CG, але ми зробимо це для досить обмежених випадків і наведемо читача до більш великих таблиць для більшої кількості випадків.
Стратегія, яку ми беремо, полягає в тому, щоб генерувати\(|J,J\rangle \) стан (тобто стан з максимальним\(M\) -значенням)\(|J,J-1\rangle \), а потім використовувати\(\textbf{J}_{-}\) для генерації, після чого стан\(|J-1,J-1\rangle \) (тобто стан з одним нижчим\(\textbf{J}_{-}\) значенням) будується шляхом знаходження комбінації станів продукту в члени яких\(|J-1,J-1\rangle \) виражається (оскільки обидва\(|J-1,J-1\rangle \) і\(|J-1,J-1\rangle \) мають однакове\(M\) -значення\(M=J-1\)), яке є ортогональним\(|J,J-1\rangle \) (тому що\(|J-1,J-1\rangle \) і\(|J,J-1\rangle \) є власними функціями ермітієвого оператора, що\(\textbf{J}^2\) відповідають різним власним значенням, вони повинні бути ортогональним). Цей самий процес потім використовується для генерації\(|J,J-2\rangle |J-1,J-2\rangle \) та (побудови ортогональності)\(|J-2,J-2\rangle \) тощо.
Стани з максимальним і мінімальним M-значеннями
Починаємо зі стану,\(|J,J\rangle \) що має найвищу\(M\) -значення. Цей стан має формуватися шляхом прийняття найвищих\(m\) і найвищих\(m'\) значень (тобто,\(m=j\) і\(m'=j'\)), і дається:
\[|J,J\rangle = |j,j\rangle |j'j'\rangle .\]
Потрібен лише цей продукт, оскільки лише один термін з m=j та m'=j' сприяє сумі у вищенаведених рядах CG. Держава
\[|J,-J\rangle = |j,-j\rangle |j',-j'\rangle \]
з мінімальним\(M\) -значенням також задається як стан одного продукту. Зверніть увагу, що ці стани мають\(M\) -значення, задані як\(±(j+j')\); оскільки це максимальне\(M\) -значення, воно повинно бути, що\(J\) -значення, відповідне цьому стану\(J= j+j'\).
Стани з одним нижчим M-значенням, але однаковим\(\textbf{J}_{-}\) значенням
\(\textbf{J}_{-}\)\(|J,J\rangle \)Застосовуючи та виражаючи\(\textbf{J}_{-}\) як суму операторів зниження для двох окремих кутових моментів:
\[\textbf{J}_{-} = \textbf{J}_{-}(1) + \textbf{J}_{-}(2)\]
дає
\[\textbf{J}_{-}|J,J\rangle = \hbar\sqrt{J(j+1) -J(j-1)} |J,J-1\rangle \]
\[= (\textbf{J}_{-}(1) + \textbf{J}_{-}(2)) |j,j\rangle |j'j'\rangle \]
\[= \hbar\sqrt{j(j+1) - j(j-1)} |j,j-1\rangle |j',j'\rangle + \hbar\sqrt{j'(j'+1)-j'(j'-1)} |j,j\rangle |j',j'-1\rangle .\]
Цей результат виражається\(|J,J-1\rangle \) наступним чином:
\[|J,J-1\rangle = \frac{\sqrt{j(j+1)-j(j-1)} |j,j-1\rangle |j',j'\rangle + \sqrt{j'(j'+1)-j'(j'-1)} |j,j\rangle |j',j'-1\rangle }{\sqrt{J(J+1) -J(J-1)}};\]
тобто\(|J,J-1\rangle \) стан, який має\(M=J-1\), формується з двох станів продукту\(|j,j-1\rangle |j',j'\rangle \) і\(|j,j\rangle |j',j'-1\rangle \) які мають це ж\(M\) -значення.
iii. Держави з одним нижчим\(\textbf{J}_{-}\) значенням
Щоб знайти стан\(|J-1,J-1\rangle \), який має те саме\(M\) -значення, що знайдене вище, але одне нижче\(\textbf{J}_{-}\) значення, ми повинні побудувати іншу комбінацію двох станів добутку з\(M=J-1\) (тобто,\(|j,j-1\rangle |j',j'\rangle \) і\(|j,j\rangle |j',j'-1\rangle \)), яка є ортогональною до комбінації, що представляє\(|J,J-1\rangle \); після виконання Отже, ми повинні масштабувати результуючу функцію, щоб вона була належним чином нормалізована. В даному випадку бажаною функцією є:
\[|J-1,J-1\rangle = \dfrac{\sqrt{j(j+1)-j(j-1)} |j,j\rangle |j',j'-1\rangle -\sqrt{j'(j'+1)-j'(j'-1)} |j,j-1\rangle |j',j'\rangle}{\sqrt{J(J+1) -J(J-1)}} .\]
Це просто показати, що ця функція дійсно ортогональна до\(|J,J-1\rangle \).
Держави з навіть одним нижчим\(\textbf{J}_{-}\) значенням
Виразивши\(|J,J-1\rangle \) і з\(|J-1,J-1\rangle \) точки зору\(|j,j-1\rangle \)\(|j',j'\rangle\) і\(|j,j\rangle |j',j'-1\rangle \), ми тепер готові продовжувати цей поетапний процес для генерації станів\(|J,J-2\rangle \),\(|J-1,J-2\rangle \) і\(|J-2,J-2\rangle \) як комбінації станів продукту с\(M=J-2\). Ці стани продукту є\(|j,j-2\rangle |j',j'\rangle \)\(|j,j\rangle |j',j'-2\rangle \), і\(|j,j-1\rangle |j',j'-1\rangle \). Зверніть увагу, що існує точно стільки станів продукту,\(m+m'\) значення яких складаються до бажаного\(M\) -значення, як є загальні стани кутового імпульсу, які повинні бути побудовані (у цьому випадку їх три).
Кроки, необхідні для пошуку держави\(|J-2,J-2\rangle \), аналогічні тим, що були зроблені вище:
- Перший відноситься\(\textbf{J}_{-}\) до\(|J-1,J-1\rangle \) і\(|J,J-1\rangle \) до отримання\(|J-1,J-2\rangle \) і\(|J,J-2\rangle \), відповідно, як комбінації\(|j,j-2\rangle |j',j'\rangle \)\(|j,j\rangle |j',j'-2\rangle \), і\(|j,j-1\rangle |j',j'-1\rangle \).
- Потім конструює\(|J-2,J-2\rangle \) як лінійну комбінацію на\(|j,j-2\rangle |j',j'\rangle \)\(|j,j\rangle |j',j'-2\rangle \), і\(|j,j-1\rangle |j',j'-1\rangle \) це ортогонально до комбінацій, знайдених для\(|J-1,J-2\rangle \) і\(|J,J-2\rangle \).
Після\(|J-2,J-2\rangle\) отримання, потім можна перейти до форми\(|J,J-3\rangle \), і\(|J-1,J-3\rangle \),\(|J-2,J-3\rangle \) застосовуючи\(\textbf{J}_{-}\) до трьох станів, отриманих в попередньому застосуванні процесу, а потім сформувати\(|J-3,J-3\rangle \) як комбінацію\(|j,j-3\rangle |j',j'\rangle \),\(|j,j\rangle |j',j'-3\rangle \),\(|j,j-2\rangle |j',j'-1\rangle \),\(|j,j-1\rangle |j',j'-2\rangle \) тобто ортогонально до комбінацій, отриманих для\(|J,J-3\rangle \)\(|J-1,J-3\rangle \), і\(|J-2,J-3\rangle \).
Знову зверніть увагу, що існує точно правильне число станів продукту (чотири тут), оскільки є загальні стани кутового імпульсу, які повинні бути сформовані. Насправді стани добутку та сумарні стани моменту моменту є рівними за кількістю і є членами ортонормальних множин функцій (тому що\(\textbf{J}^2(1)\),\(\textbf{J}_z(1)\),\(\textbf{J}^2(2)\), а\(\textbf{J}_z(2)\) також і\(\textbf{J}^2\) і\(\textbf{J}_z\) є ермітовими операторами, які мають повні набори ортонормальних власні функції). Ось чому матриця коефіцієнтів CG є унітарною; оскільки вона відображає один набір ортонормальних функцій на інший, причому обидва множини містять однакову кількість функцій.
Приклад
| Приклад 1 |
|---|
|
Розглянемо приклад, в якому спінові і орбітальні кутові моменти атома Si в його основному\(^3P\) стані можуть бути з'єднані для отримання різних\(^3P_J\) станів. При цьому конкретні значення для\(j\) і\(j'\) є\(j=S=1\) і\(j'=L=1\). Ми могли б, звичайно, взяти\(j=L=1\) і\(j'=S=1\), але кінцеві хвильові функції, отримані будуть охоплювати той же простір, що і ті, які ми збираємося визначити. Стан з найвищим\(M\) -значенням - це\((^3P(M_s=1, M_L=1)\) стан, яке може бути представлено добутком\(\alpha\alpha\) спінової функції (що представляє\(S=1, M_s=1\)) і\(3p_13p_0\) просторової функції (що представляє\(L=1, M_L=1\)), де перша функція відповідає першій орбіталі відкритої оболонки, а друга функція до другої орбітальної відкритої оболонки. Таким чином, максимальне\(M\) -значення є\(M= 2\) і відповідає стану з\(J=2\): \[J=2,M=2\rangle = |2,2\rangle = \alpha\alpha 3p_13p_0 .\] Зрозуміло, що держава\(|2,-2\rangle\) буде дана як\(\beta\beta 3p_{-1}3p_0\). \(|2,1\rangle\)Стани і\(|1,1\rangle\) з одним нижчим\(M\) -значенням отримують шляхом застосування\(\textbf{J}_{-} = \textbf{S}_{-} + \textbf{L}_{-}\) до\(|2,2\rangle \) наступного: \[\textbf{J}_{-} |2,2\rangle = \hbar\sqrt{J(J+1)-M(M-1)} |2,1\rangle = \hbar\sqrt{2(3)-2(1)} |2,1\rangle \] \[= (\textbf{S}_{-} + \textbf{L}_{-}) \alpha\alpha 3p_13p_0 .\] Щоб застосувати\(\textbf{S}_{-}\) або\(\textbf{L}_{-}\) до\(\alpha\alpha 3p_13p_0\), потрібно усвідомити, що кожен з цих операторів є, в свою чергу, сумою операторів зниження для кожного з двох електронів з відкритою оболонкою: \[\textbf{S}_{-} = \textbf{S}_{-}(1) + \textbf{S}_{-}(2),\] \[\textbf{L}_{-} = \textbf{L}_{-}(1) + \textbf{L}_{-}(2).\] Таким чином, результат вище можна продовжувати як \[(\textbf{S}_{-} + \textbf{L}_{-}) \alpha\alpha 3p_13p_0 = \hbar\sqrt{\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{3}{2}\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)} \beta\alpha 3p_13p_0\] \[+ \hbar\sqrt{\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{3}{2}\Big)-\dfrac{1}{2}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)} \alpha\beta 3p_13p_0\] \[+ \hbar\sqrt{1(2)-1(0)} \alpha\alpha 3p_03p_0\] \[+ \hbar\sqrt{1(2)-0(-1)} \alpha\alpha 3p_13p_{-1}.\] Отже, функція\(|2,1\rangle \) задається \[|2,1\rangle = \dfrac{1}{2}[\beta\alpha 3p_13p_0 + ab 3p_13p_0 + \sqrt{2} \alpha\alpha 3p_03p_0+ \sqrt{2} \alpha\alpha 3p_13p_{-1}],\] які можна переписати як: \[|2,1\rangle = \dfrac{1}{2}[(\beta\alpha + ab)^3p_13p_0 + \sqrt{2} \alpha\alpha (3p_03p_0 + 3p_13p_{-1})].\] Написання результату таким чином дає зрозуміти, що\(|2,1\rangle\) це поєднання станів продукту\(|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=1\rangle \) (терміни, що містять\(|S=1,M_S=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\beta+\beta\alpha))\) і\(|S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=0\rangle \) (терміни, що містять\(|S=1,M_S=1\rangle = \alpha\alpha\)). Існує велика ймовірність, що деякі читачі помітили, що деякі терміни\(|2,1\rangle \) функції порушать принцип виключення Паулі. Зокрема, термін\(\alpha\alpha 3p_03p_0\) поміщає два електрони в одні й ті ж орбіталі і з однаковим спіном. Дійсно, ця електронна функція дійсно порушила б принцип Паулі, і їй не слід допускати, щоб сприяти остаточним\(^3P_J\) хвильовим функціям Si, які ми намагаємося сформувати. Повна роздільна здатність того, як боротися з цим парадоксом, наведено в наступному підрозділі, але поки дозвольте мені сказати наступне: (i) Після того, як ви дізналися, що всі функції спін-орбітального продукту, показані для\(|2,1\rangle\) (наприклад\(\alpha\alpha 3p_03p_0\)\((\beta\alpha + \alpha\beta)^3p_13p_0 \),, і\(\alpha\alpha 3p_13p_{-1}\)) представляють детермінанти Слейтера (ми маємо справу з цим у наступному підрозділі), які є антисиметричними щодо перестановки будь-якої пари електронів, ви зрозумієте що детермінант Слейтера, відповідний\(\alpha\alpha 3p_03p_0\) зникає. (ii) Якби замість того, щоб розглядати\(3s^2 3p^2\) конфігурацію Si, ми хотіли генерувати хвильові функції для\(3s^2 3p^1 4p^1\)\(^3P_J\) станів Si, той самий аналіз, як показано вище, за винятком того, що тепер\(|2,1\rangle \) стан матиме внесок від\(\alpha\alpha 3p_04p_0\). Цей внесок не порушує принцип Паулі, і його детермінант Слейтера не зникає. Отже, протягом решти цього звернення до\(^3P_J\) станів Сі, не турбуйтеся про терміни, що виникають, що порушують принцип Паулі; вони не будуть сприяти, оскільки їх детермінанти Слейтера зникнуть. Щоб сформувати іншу функцію з\(M=1\),\(|1,1\rangle\) стан, ми повинні знайти іншу комбінацію\(|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=1\rangle\) і\(|S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=0\rangle\) це ортогонально\(|2,1\rangle\) і нормалізується. Так як \[|2,1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} [|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=1\rangle + |S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=0\rangle ],\] ми відразу бачимо, що реквізитна функція \[|1,1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} [|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=1\rangle - |S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=0\rangle ].\] У спін-орбітальних позначеннях, використовуваних вище, такий стан: \[|1,1\rangle = \dfrac{(\beta\alpha + ab)^3p_13p_0 - \sqrt{2} \alpha\alpha (3p_03p_0 + 3p_13p_{-1})}{2}.\] До сих пір ми знайшли\(^3P_J\) держави з\(J=2, M=2; J=2, M=1;\) і\(J=1, M=1\). Щоб знайти\(^3P_J\) стани з\(J=2, M=0; J=1, M=0\); і\(J=0, M=0,\) ми повинні ще раз застосувати\(\textbf{J}_{-}\) інструмент. Зокрема, ми звертаємося\(\textbf{J}_{-}\)\(|2,1\rangle\) до отримання\(|2,0\rangle\) і звертаємося\(\textbf{J}_{-}\)\(|1,1\rangle\) до отримання\(|1,0\rangle \), кожен з яких буде виражений термінами\(|S=1,M_S=0\rangle |L=1,M_L=0\rangle \)\(|S=1,M_S=1\rangle |L=1,M_L=-1\rangle \), і\(|S=1,M_S=-1\rangle |L=1,M_L=1\rangle \). Потім\(|0,0\rangle\) стан будується як комбінація цих самих станів продукту, який є ортогональним до\(|2,0\rangle\) і до\(|1,0\rangle \). Результати такі: \[|J=2,M=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}[2 |1,0\rangle |1,0\rangle + |1,1\rangle |1,-1\rangle + |1,-1\rangle |1,1\rangle ],\] \[|J=1,M=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}[|1,1\rangle |1,-1\rangle - |1,-1\rangle |1,1\rangle ],\] \[|J=0, M=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}[|1,0\rangle |1,0\rangle - |1,1\rangle |1,-1\rangle - |1,-1\rangle |1,1\rangle ],\] де у всіх випадках використовувалося коротке позначення руки, в якому заявлений\(|S,M_S\rangle |L,M_L\rangle \) твір був представлений їх квантовими числами з функцією спіна, яка завжди з'являється першою у творі. Щоб нарешті висловити всі три ці нові функції з точки зору спін-орбітальних продуктів, необхідно дати\(|S,M_S\rangle |L,M_L\rangle \) продукти з\(M=0\) точки зору цих продуктів. Для функцій віджиму ми маємо: \[|S=1,M_S=1\rangle = \alpha\alpha,\] \[|S=1,M_S=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(\alpha\beta+\beta\alpha).\] \[|S=1,M_S=-1\rangle = \beta\beta.\] Для функції орбітального продукту ми маємо: \[|L=1, M_L=1\rangle = 3p_13p_0 ,\] \[|L=1,M_L=0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(3p_03p_0 + 3p_13p_{-1}),\] \[|L=1, M_L=-1\rangle = 3p_03p_{-1}.\] |
З'єднання кутових моментів еквівалентних електронів
Якщо еквівалентні кутові моменти пов'язані (наприклад, для з'єднання орбітальних кутових моментів\(d^3\) конфігурації\(p^2\) або), існує інструмент, який можна використовувати для визначення того, який із символів терміна порушує принцип Паулі. Для виконання цього кроку формують усі можливі унікальні (детермінентні) стани продукту з невід'ємними\(M_L\) та\(M_S\) значеннями та розставляють їх на групи відповідно до їх\(M_L\) та\(M_S\) значень. Наприклад, «ящики», відповідні\(p^2\) орбітальної заповненості, які ми розглядали раніше для Si, показані нижче:
| М С М Л | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|
| 1 | |р 1 α р 0 α | | |р 1 α р -1 α| | |
| 0 | |р 1 α р 1 β| | |р 1 α р 0 β |, |р 0 α р 1 β| |
|р 1 α р -1 β |, |р -1 αp 1 β|, |р 0 α р 0 β | |
Немає необхідності формувати відповідні стани з негативними\(M_L\) або негативними\(M_S\) значеннями, оскільки вони є просто «дзеркальними відображеннями» перерахованих вище. Наприклад, стан з\(M_L= -1\) і\(M_S = -1\) є\(|p_{-1}\beta p_0\beta |\), яке можна отримати від\(M_L = 1, M_S = 1\) стану,\(|p_1\alpha p_0\alpha |\) замінивши a на b і\(p_1\) замінивши на\(p_{-1}\).
Враховуючи записи поля, можна визначити ті термінові символи, які виникають, застосовуючи наступну процедуру знову і знову, поки всі записи не будуть враховані:
- Один визначає найбільше\(M_S\) значення (це дає значення загального спінового квантового числа, яке виникає\(S\)) у вікні. Для наведеного вище прикладу відповідь є\(S = 1\).
- Для всіх добуткових станів цієї\(M_S\) величини визначається найвища\(M_L\) величина (це дає значення сумарного орбітального моменту моменту\(\textbf{L}\), який може виникнути для цього\(S\)). Для наведеного вище прикладу найвищий\(M_L\) всередині\(M_S =1\) держав є\(M_L = 1\) (не\(M_L = 2\)), отже\(L=1\).
- Знаючи\(S, L\) комбінацію, людина знає перший термін символ, який виникає з цієї конфігурації. У\(p^2\) прикладі це\(^3P\).
- Оскільки рівень з цим\(\textbf{L}\) і\(S\) квантовим числами містить\((2L+1)(2S+1)\)\(M_L\) стани з і\(M_S\) квантові числа, що йдуть від\(-L\)\(-S\) до\(L\) і від до\(S\), відповідно, потрібно видалити з вихідної коробки це число станів продукту. Для цього просто стирає з поля по одному запису з кожним таким\(M_L\) і\(M_S\) значенням. Насправді, оскільки у полі потрібно показувати лише ті записи з\(M_L\) невід'ємними та\(M_S\) значеннями, лише ці записи потрібно явно видалити. У\(^3P\) прикладі це становить видалення дев'яти станів продукту зі\(M_L\)\(M_S\) значеннями 1,1; 1,0; 1, -1; 0,1; 0,0; 0, -1; -1,1; -1,0; -1, -1, -1.
- Після видалення цих записів повертається до кроку 1 і знову здійснює процес. \(p^2\)Наприклад, вікно після видалення перших дев'яти станів продукту виглядає наступним чином (ті, що відображаються курсивом, слід розглядати як вже видалені при підрахунку всіх\(^3P\) станів):
| М С М Л | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|
| 1 | |р 1 α р 0 α | | |р 1 α р -1 α| | |
| 0 | |р 1 α р 1 β| | |р 1 α р 0 β |, |р 0 α р 1 β| |
|р 1 α р -1 β |, |р -1 αp 1 β|, |р 0 α р 0 β | |
Слід підкреслити, що процес видалення або перетину записів у різних\(M_L, M_S\) коробках передбачає лише підрахунок кількості станів; ні в якому разі ми не ідентифікуємо конкретні\(L,S,M_L,M_S\) хвильові функції, коли ми закреслюємо будь-який конкретний запис у вікні. Наприклад, коли\(|p_1\alpha p_0\beta |\) продукт видаляється з\(M_L= 1, M_S=0\) коробки в обліку станів на\(^3P\) рівні, ми не стверджуємо, що\(|p_1\alpha p_0\beta |\) сам є членом\(^3P\) рівня; стан\(|p_0\alpha p_1\beta| \) продукту може бути так само добре усунуто при обліку\(^3P\) держав.
Повертаючись до розглянутого\(p^2\) прикладу, після того, як стани символу\(^3P\) терміна були враховані, найвищим\(M_S\) значенням є 0 (отже, є\(S=0\) стан), і в межах цього\(M_S\)\(M_L\) значення найвищим значенням є 2 (отже, є\(L=2\) стан). Це означає, що існує\(^1D\) рівень з п'ятьма державами\(M_L = 2,1,0,-1,-2\). Видалення п'яти відповідних записів з наведеного вище поля (знову позначаючи видалення курсивом) залишає наступне поле:
| М С М Л | 2 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|
| 1 | |р 1 α р 0 α | | |р 1 α р -1 α| | |
| 0 | |р 1 α р 1 β| | |р 1 α р 0 β |, |р 0 α р 1 β| |
|р 1 α р -1 β |, |р -1 αp 1 β|, |р 0 α р 0 β | |
Єдина що залишилася запис, яка, таким чином, має найвищі\(M_S\) і\(M_L\) значення, має\(M_S = 0\) і\(M_L = 0\). При цьому є і\(^1S\) рівень в\(p^2\) конфігурації.
Таким чином, на відміну від нерівнозначного\(3p_14p_1\) випадку, в якому\(^3P, ^1P, ^3D, ^1D, ^3S,\) і виникають\(^1S\) рівні, тільки ті\(^3P, ^1D,\) і\(^1S \) виникають в\(p^2\) ситуації. Цей «метод коробки» корисний для виконання кожного разу, коли людина має справу з еквівалентними кутовими моментами.
Якщо один має змішані еквівалентні та нееквівалентні кутові моменти, можна визначити всі можливі муфти еквівалентних кутових моментів за допомогою цього методу, а потім використовувати простіший метод векторного зв'язку, щоб додати нееквівалентні кутові моменти до кожного з цих зв'язаних кутових моментів. Наприклад,\(p^2d^1\) конфігурація може оброблятися векторним зв'язком (за допомогою прямої нееквівалентної процедури)\(L=2\) (орбітальна d) і\(S=\dfrac{1}{2}\) (спін третього електрона) до кожного з\(^3P, ^1D,\) і\(^1S\) виникає з\(p^2 \) конфігурації. Результат -\(^4F, ^4D, ^4P, ^2F, ^2D, ^2P, ^2G, ^2F, ^2D, ^2P, ^2S,\) і\(^2D\).