4.4: Довгі хвости та теорія зчеплення режимів
- Page ID
- 25016
Проблема
де ядро пам'яті пов'язане з константою дифузії через відношення Ейнштейна
\[\gamma=\frac{1}{m D \beta}\]
У 1967 році Олдер і Уейнрайт використовували комп'ютерне моделювання для розрахунку швидкісної кореляційної функції газів твердої сфери [6]. Вони виявили, що в довгий час\(C(t)\) виявляє розпад влади закону, а не експоненціальний розпад. Тобто\(C(t)\) розкладається відповідно до\(t^{-\frac{3}{2}}\)
\[\lim _{t \rightarrow \infty} C(t) \propto \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}\]
Це відома давня проблема хвоста в кінетичній теорії.
Ефекти пам'яті
Фундаментальне припущення, що лежить в основі моделі експоненціального розпаду кореляційної функції швидкості, полягає в тому, що зіткнення між частинками в розбавленому газі твердої сфери є незалежними. Це означає, що після кожного зіткнення частка втрачає пам'ять про свою початкову швидкість, поки її рух не стане повністю рандомізованим. Це припущення призводить до експоненціального розпаду\(C(t)=v_{o}^{2} e^{-t / \tau_{\text {coll }}}\), де\(\tau_{\text {coll }}=\frac{1}{\gamma}\) знаходиться середній час зіткнення.
Однак також можливо, що зіткнення не є повністю незалежними, а натомість співвідносяться. Кореляція відбудеться, якщо, наприклад, дві частинки зіткнуться, а потім знову зіткнуться після того, як зазнали деякої кількості інших зіткнень (див.\(4.5\) Рис. Це означає, що в системі існує довгострокова пам'ять, яка призведе до занепаду, який повільніше, ніж експоненціальний.
Для оцінки форми цього розпаду можна розглянути ймовірність того, що після зіткнення частка залишається в або повертається в початкове положення через час t,\(P(r=0, t)\). Щоб зробити приблизну оцінку цієї ймовірності, уявіть, що в будь-який момент часу ми можемо намалювати «сферу ймовірності» для частинки. Імовірність знаходження частинки всередині сфери постійна, а ймовірність знаходження частки поза сферою дорівнює нулю. Свого часу\(t=0\) частка не встигла відійти від початкового положення. Тому,\(P(r=0, t)=\delta(r)\). Зі\(t\) збільшенням частка починає дифузно віддалятися від свого початкового положення. Радіус сфери лінійно збільшується
Щоб оцінити\(P(r=0, t)\) зі сфери ймовірності, зверніть увагу, що ймовірність знаходження частинки в будь-якій точці простору повинна бути одиницею:
\[\int P(r, t) d r=1\]
Нам потрібно лише інтегруватися над об'ємом сфери, так як ймовірність знаходження частинки де-небудь ще дорівнює нулю. Усередині сфери ймовірність постійна,\(P(r, t)=P(t)\). Тому цей інтеграл спрощує
\[1=\int_{\text {sphere }} P(t) d r \propto V P(t)\]
Обсяг сфери йде як\(R^{d}=t^{\frac{d}{2}}\), де\(d\) знаходиться просторовий вимір. Тому ймовірність йде як
\[P(r=0, t)=\frac{1}{V} \propto \frac{1}{R^{d}} \propto \frac{1}{t^{\frac{d}{2}}}\]
Для тривимірної системи ми отримуємо результат, узгоджений з прогнозами Олдера і Уейнрайта
\[P(r=0, t) \propto \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}}\]
Це показує, що ефекти пам'яті можуть бути джерелом розпаду закону влади.
Ми можемо побудувати просту модель поведінки системи, для якої важливі ефекти пам'яті. У цій моделі частинка зі швидкістю\(v_{o}\) створює поле швидкості через свою взаємодію з іншими частинками. Це поле швидкості може, в свою чергу, впливати на тривалу поведінку частинки.
Ми можемо почати з отримання приблизної оцінки цього поля швидкостей від поперечної течії.
\[J_{T}(k, t)=J_{T}(k, 0) e^{-\nu k^{2} t}\]
де\(\nu=\frac{\eta}{m \rho}\) - константа дифузії,\(\eta\) - в'язкість зсуву, і\(J_{T}(k, 0) \propto v_{o}\). Поперечний струм записується в\(k\) -просторі. Трансформуючи це в реальний простір, ми отримуємо вираз для розсіювання поля швидкості в часі і просторі
\[v(r, t) \propto \frac{v_{o}}{(\sqrt{4 \pi \nu t})^{3}} e^{\frac{-r^{2}}{2 \nu t}}\]
Поле швидкості розсіюється за рахунок тертя. У короткі терміни розпад має гауссовую форму. Однак в довгий час в розпаді переважає префактор, який йде як\(\tau^{-\frac{3}{2}}\).
гідродинамічна модель
Простим способом отримання наведеного вище результату було б оцінити функцію кореляції швидкості.
\[C(t)=\langle v(t) v(0)\rangle\]
Використовуючи гідродинамічну модель, ми можемо знайти цю кореляційну функцію, взявши середню рівновагу нерівноважної середньої теплової швидкості
\[C(t)=\langle v(t) v(0)\rangle=\int d \vec{r}_{o} \frac{1}{V} \int d \vec{v}_{o} f_{B} v_{o}\langle v(t)\rangle_{\text {n.e. }}\]
де\(f_{B}\) розподіл Больцмана і\(\langle v(t)\rangle_{\text {n.e. }}\) являє собою нерівноважне поле швидкостей:
\[\langle v(t)\rangle_{\text {n.e. }}=\frac{\left\langle v_{s}(t) \delta\left(v_{s}-v_{o}\right) \delta\left(r_{s}-r_{o}\right)\right\rangle}{\left\langle\delta\left(v_{s}-v_{o}\right) \delta\left(v_{s}-v_{o}\right) \delta\left(r_{s}-r_{o}\right)\right\rangle}\]
Тут\(s\) описується позначена частка.
Нерівноважне поле швидкостей може бути представлено у вигляді зв'язку лінійних режимів\(\rho^{s}\) і\(v_{s} .\)
\[\begin{aligned} \langle v(t)\rangle_{\text {n.e. }}=\int \rho^{s}(r, t) v_{s}(r, t) d r \\ =\frac{1}{\rho_{o}} \int \rho^{s}(r, t) J(r, t) d r \\ =\frac{\rho_{o}^{-1}}{(2 \pi)^{3}} \int \rho^{s}(k, t) J(k, t) d k \end{aligned}\]
Вирішити це можна за допомогою розв'язків гідродинамічних режимів:
\[\begin{aligned} \rho_{s}(k, t)=\rho_{s}(k, 0) e^{-k^{2} D t} \\ J_{\perp}(k, t)=J_{\perp}(k, 0) e^{-k^{2} \nu t} \\ J_{L}(k, t)=J_{L}(k, 0) e^{-k^{2} \frac{\Gamma}{2} t \pm i c_{s} k t} \end{aligned}\]
Для поперечних режимів,
\[\begin{aligned} v_{o}\langle v(t)\rangle_{\text {n.e. }}=\frac{1}{(2 \pi)^{3} \rho_{o}} \frac{2}{3} \int \rho^{s}(k, 0) e^{-k^{2} D t} J_{x}(k, 0) e^{-k^{2} \nu t} v_{x}^{s}(0) d k \\ =\frac{1}{(2 \pi)^{3} \rho_{o}} \frac{2}{3} \int \rho^{s}(k, 0) J_{x}(k, 0) v_{x}^{s}(0) e^{-k^{2}(D+\nu) t} d k \end{aligned}\]
Потім візьміть середню рівновагу
\[\left\langle\rho^{s}(k, 0) J_{x}(k, 0) v_{x}^{s}(0)\right\rangle=v_{o}^{2}\]
Нарешті,
\[\begin{aligned} C(t)=\frac{2}{3 \rho_{o}} v_{o}^{2} \frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int d \vec{k} e^{-k^{2}(D+\nu) t} \\ =\frac{v_{o}^{2}}{12 \rho_{o}} \frac{1}{[\pi t(D+\nu)]^{\frac{3}{2}}} \\ \propto \frac{1}{t^{\frac{3}{2}}} \end{aligned}\]
Теорія зчеплення режимів
Як показано вище, кореляція заданої динамічної величини розпадається переважно на пари гідродинамічних режимів із збереженими змінними. Теорія зчеплення режимів - це формалізм, який обчислює їх зв'язок.
З обговорення про, швидкість міченої частинки пов'язана з білінійним режимом,\(A=\rho_{s}(k) J_{x}^{*}(k)\). потім
\[C(t)=\left\langle v_{x}\left|e^{i \mathcal{L} t}\right| v_{x}\right\rangle \Rightarrow\left\langle v_{x}\left|P e^{i \mathcal{L t}} P\right| v_{x}\right\rangle\]
де\(P\) - оператор проекції, пов'язаний з\(A\). Розширюючи оператор проекції
\[C(t)=\left\langle v_{s} \mid A\right\rangle\langle A \mid A\rangle^{-1}\left\langle A\left|e^{i \mathcal{L} t}\right| A\right\rangle\langle A \mid A\rangle^{-1}\left\langle A \mid v_{s}\right\rangle\]
Тепер використовуйте лінійні гідродинамічні режими для оцінки кореляційної функції.
\[\begin{aligned} \rho_{s}=e^{-i k r_{s}} \\ J_{x}=\sum_{i} v_{x i} e^{-i k r_{i}} \end{aligned}\]
Тоді
\[\left\langle v_{s} \mid A\right\rangle=\sum_{i}\left\langle v_{x s} \mid e^{-i k r_{s}} v_{x i} e^{i k r_{i}}\right\rangle=v_{o}^{2}\]
і
\[\langle A \mid A\rangle=N v_{o}^{2}\]
щоб
\[\left\langle v_{s} \mid A\right\rangle\langle A \mid A\rangle^{-1}=\frac{1}{N}\]
Тому,
\[\begin{aligned} C(t)=\frac{1}{N^{2}} \sum_{k} \sum_{k^{\prime}}\left\langle A(k)\left|e^{i \mathcal{L} t}\right| A\left(k^{\prime}\right)\right\rangle \\ \approx \frac{1}{N^{2}} \sum_{k} \sum_{k^{\prime}}\left\langle\rho_{s}(k, t) \mid \rho_{s}\left(k^{\prime}, 0\right)\right\rangle\left\langle J_{x}(k, t) \mid J_{x}\left(k^{\prime}, 0\right)\right\rangle \\ =\frac{1}{N} \sum_{k} F_{s}(k, t) C_{t}(k, t) \\ =\frac{V}{N} \frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int d \vec{k} F_{s}(\vec{k}, t) C_{t}(\vec{k}, t) \end{aligned}\]
Тепер,
\[F_{s}(\vec{k}, t)=e^{-k^{2} D t}\]
і
\[C_{t}(\vec{k}, t)=v_{o}^{2} e^{-k^{2} \nu t}\]
Тоді
\[C(t)=\frac{1}{\rho} \frac{v_{o}^{2}}{(2 \pi)^{3}} \int d \vec{k} e^{-k^{2}(D+\nu) t}\]
Включаючи трипросторові компоненти\(J\) і\(v\), ми маємо
\[C(t)=\frac{1}{12 \rho} v_{o}^{2}\left[\frac{1}{\pi(D+\nu) t}\right]^{\frac{3}{2}}\]
Посилання
[1] Жан П'єр Хансен та Ян Макдональд. Теорія простих рідин. Берлінгтон, Массачусетс: Академічна преса Elsevier, 2006.
[2] Дональд Маккуоррі. Статистична механіка. Саусаліто: Університетські наукові книги,\(2000 .\)
[3] Жан-П'єр Бун та Сідні Іп. Молекулярна гідродинаміка. Нью-Йорк: Макгроу-Хілл,\(1980 .\)
[4] Брюс Дж. Берн і Роберт Пекора. Динамічне розсіювання світла: із застосуванням до хімії, біології та фізики. Нью-Йорк: Уайлі,\(1976 .\)
[5] Умберто Балукані. Динаміка рідкого стану. Нью-Йорк: Преса Оксфордського університету,\(1994 .\)
[6] Б.Дж. Олдер і Т. Е. Вейнрайт. Фіз. Преподобний, А1, 1970. Відкритий курс MIT
Статистична механіка
Весна 2012
Для отримання інформації про цитування цих матеріалів або наших Умов використання відвідайте: http://ocw.mit.edu/terms.