4.3: В'язкопружна модель

Вступ

Узагальнене рівняння Ланжевена та теорія зчеплення режимів є підмножинами молекулярної гідродинаміки, теорії, яка була розроблена для подолання розриву між гідродинамікою та молекулярною динамікою. Гідродинаміка, про яку ми говорили в розділі 3, описує макроскопічне, тривалий час поведінки систем в межі як\(t \rightarrow \infty\) і\(k \rightarrow 0\). Він використовує транспортні коефіцієнти\(D, \lambda\)\(\eta\), і\(\eta_{B}\) для прогнозування тривалих коливань часу. Молекулярна динаміка, про яку ми говорили в розділі I глави 4, описує мікроскопічну, короткочасну поведінку систем в межі як\(t \rightarrow 0\) і\(k \rightarrow \infty\). У цій межі системи поводяться як статичні рідкі структури, і їх динаміка багато в чому визначається потенціалом попарної взаємодії.

У цьому розділі ми будемо використовувати GLE для виведення в'язкопружної моделі поперечного струму. Приймаючи відповідні межі, ми можемо показати, що результати в'язкопружної моделі узгоджуються з результатами гідродинаміки та молекулярної динаміки, і що ця модель забезпечує успішний міст між двома межами.

феноменологічна в'язкість

Розглянемо постійну силу зсуву, прикладену до в'язкої рідини. У тривалий час напруга зсуву\(\sigma_{x z}\) в рідині пов'язана зі швидкістю\(\partial_{z} \vec{v}_{x}+\partial_{x} \vec{v}_{z}\) деформації

\[\sigma_{x z}=-\eta\left(\partial_{z} \vec{v}_{x}+\partial_{x} \vec{v}_{z}\right)\]

Рідини, що поводяться таким чином, не підтримують зсувні хвилі. Однак якщо сила прикладається миттєво, система не встигає розслабитися, як рідина. Замість цього він поводиться як еластичне тверде тіло. Напруга тепер пропорційна деформації, а не швидкості деформації. Короткострокова відповідь

\[\sigma_{x z}=-G\left(\partial_{z} \vec{x}+\partial_{x} \vec{z}\right)\]

де\(G\) - модуль жорсткості. Коли рідина поводиться як тверда речовина, вона підтримує зсувні хвилі, що поширюються зі швидкістю\(v_{s}=\sqrt{\frac{G}{\rho m}}\).

Щоб визначити часову шкалу, за якою рідина поводиться як пружне тверде тіло, визначають константу

\[\tau_{M}=\frac{\eta}{G}\]

Це час розслаблення Максвелла. Для часових шкал,\(t\) коли

\[\frac{t}{\tau_{M}} \ll 1\]

система поводиться як пружне тверде тіло. Для часових шкал, коли

\[\frac{t}{\tau_{M}} \gg 1\]

система поводиться як в'язка рідина.

В'язкопружне наближення

Для інтерполяції між двома крайностями ми можемо написати

\[\left(\frac{1}{\eta}+\frac{1}{G} \frac{\partial}{\partial t}\right) \sigma_{x z}=-\left(\frac{\partial}{\partial z} \vec{v}_{x}+\frac{\partial}{\partial_{x}} \vec{v}_{z}\right)\]

Перетворення Лапласа з цього рівняння дає

\[\hat{\eta}(s)=\frac{G}{s+\frac{G}{\eta}}=\frac{G}{s+\frac{1}{\tau_{M}}}\]

У стаціонарному ліміті, як\(s \rightarrow 0\)

\[\lim _{s \rightarrow 0} \hat{\eta}=\eta\]

і в границі високої частоти, як\(s \rightarrow \infty\)

\[\lim _{s \rightarrow \infty} \hat{\eta}=\frac{G}{s}\]

Поперечна кореляційна функція струму

Ми використаємо кореляційну функцію поперечного струму для демонстрації в'язкопружного наближення. У розділі I ми визначили поперечний струм як

\[J_{T}(\vec{k}, t)=\sum_{j=1}^{N} \overrightarrow{\dot{x}}_{j} e^{i \vec{k} \vec{z}_{j}}\]

і поперечна кореляційна функція струму як

\[C_{T}(\vec{k}, t)=\frac{1}{N}\left\langle J_{T}(\vec{k}, t) \mid J_{T}(\vec{k}, 0)\right\rangle\]

Ми вивчили поперечний струм як в гідродинамічній межі, так\((k \rightarrow 0, \omega \rightarrow 0)\) і в границі короткочасного розширення\((k \rightarrow \infty, \omega \rightarrow \infty)\). У главі 3 ми використовували рівняння Навьє Стокса, щоб знайти рівняння руху для поперечної кореляційної функції в гідродинамічній межі

\[\dot{C}_{T}(\vec{k}, t)=-\nu k^{2} C_{T}(\vec{k}, t)\]

Це має рішення

\[C_{T}(\vec{k}, t)=C_{T}(\vec{k}, 0) e^{-\nu k^{2} t}=v_{o}^{2} e^{-\nu k^{2} t}\]

де\(\nu=\frac{\eta}{m \rho}\) - в'язкість зсуву. Тому в гідродинамічній межі коливання поперечного струму зникають експоненціально зі швидкістю, що визначається в'язкістю зсуву\(\nu\).

У розділі I цієї глави ми використали наближення короткочасного розширення, щоб показати, що в\(k \rightarrow \infty, \omega \rightarrow \infty\) межі поперечну поточну кореляційну функцію можна записати як

\[C_{T}(\vec{k}, t)=v_{o}^{2}\left(1-\omega_{T}^{2} \frac{t^{2}}{2}\right)+\cdots\]

де поперечна частота\(\omega_{T}\) пов'язана з поперечною швидкістю звуку\(c_{T}(k)\) по

\[\omega_{T}^{2}=k^{2} c_{T}^{2}(k)\]

А поперечна швидкість звуку задається

\[c_{T}^{2}(k)=v_{o}^{2}+\frac{\rho}{m} \int g(\vec{r}) \partial_{x}^{2} U(\vec{r}) \frac{\left[1-e^{i k z}\right]}{k^{2}} d \vec{r}\]

де\(g(\vec{r})\) - попарно кореляційна функція і\(U(\vec{r})\) є попарним потенціалом взаємодії. Цей частотний термін також можна записати як [3]

\[\omega_{T}^{2}=\frac{\left(k v_{o}\right)^{2}}{n M} G_{\infty}(k)\]

де\(G_{\infty}(k)\) - модуль зсуву. Це вказує на те, що за короткий час і довжини хвиль ефекти розсіювання зменшуються, а поперечні коливання струму можуть поширюватися через матеріал зі швидкістю\(c_{T}(k)\).

Використовуючи узагальнене рівняння Ланжевена, ми можемо згенерувати модель поперечних коливань струму, яка відтворює результати гідродинаміки та короткочасного розширення при прийнятті відповідних меж. Почніть з написання ГЛЕ для поперечного струму. Так як матриця частот дорівнює нулю, то GLE пишеться

\[\dot{J}_{T}(k, t)=-\int_{0}^{t} \kappa(t-\tau) J_{T}(k, \tau) d \tau+f(t)\]

де\(\kappa(t)\) - функція пам'яті і\(f(t)\) - термін шуму. Множення на\(J_{T}(k, 0)\) і прийняття середнього дає нам рівняння руху для поперечної поточної кореляційної функції

\[\dot{C}_{T}(k, t)=-\int_{0}^{t} \kappa(t-\tau) C_{T}(k, \tau) d \tau\]

Придивіться до ядра пам'яті

\[\kappa(t)=\frac{\langle R(t) \mid R(0)\rangle}{\langle A \mid A\rangle}=\frac{\left\langle e^{i \mathcal{Q} \mathcal{L} t} i \mathcal{Q} \mathcal{L} J_{T}(k, 0) \mid i \mathcal{Q L} J_{T}(k, 0)\right\rangle}{\left\langle J_{T}(k, 0) \mid J_{T}(k, 0)\right\rangle}\]

Коефіцієнт нормалізації - просто\(\frac{\beta m}{\rho}\). Написавши оператор проекції\(\mathcal{Q}\) як\(1-\mathcal{P}\) і виключивши терміни, це можна записати

\[\begin{aligned} \kappa(t) &=\frac{\beta m}{\rho}\left\langle e^{i(1-\mathcal{P}) \mathcal{L} t} i \mathcal{L} J_{T}(k, 0) \mid i \mathcal{L} J_{T}(k, 0)\right\rangle \\ &=\frac{\beta m}{\rho}\left\langle\dot{J}_{T}(k, t)\left|e^{i(1-\mathcal{P}) \mathcal{L t}}\right| \dot{J}_{T}(k, t)\right\rangle \end{aligned}\]

Рівняння руху для поперечного струму можна записати як [5]

\[\dot{J}_{T}(\vec{k}, t)=i \frac{k}{m} \sigma^{z x}(\vec{k}, t)\]

де\(\sigma^{z x}(\vec{k}, t)\) - zx-компонент тензора мікроскопічних напружень

\[\sigma^{z x}(\vec{k})=\sum_{i}\left\{m v_{i, z} v_{i, x}-\frac{1}{2} \sum_{j \neq i} \frac{z_{i j} x_{i j}}{r^{2}} \mathcal{P}_{k}\left(r_{i j}\right)\right\} e^{i k z_{i}}\]

Тоді ядро пам'яті стає

\[\kappa(t)=k^{2} \frac{\beta}{\rho m}\left\langle\sigma^{z x}(\vec{k}, t)\left|e^{i(1-\mathcal{P}) \mathcal{L} t}\right| \sigma^{z x}(\vec{k}, t)\right\rangle=k^{2} \nu(k, t)\]

де\(\nu(k, t)\) визначається як

\[\nu(k, t)=\frac{\beta}{\rho m}\left\langle\sigma^{z x}(\vec{k}, t) e^{i(1-\mathcal{P}) \mathcal{L t}} \sigma^{z x}(\vec{k}, t)\right\rangle\]

Це демонструє, що ядро пам'яті пропорційне\(k^{2}\). Тоді може бути записана поперечна кореляційна функція струму

\[\dot{C}_{T}(k, t)=-k^{2} \int_{0}^{t} \nu(k, t-\tau) C_{T}(k, \tau) d \tau\]

Ядро пам'яті є ключовим елементом, який пов'язує два обмеження. Взагалі, наявність пропагатора дуже\(e^{i \mathcal{Q} L t}\) ускладнює\(\nu(k, t)\) явну оцінку. Однак наявність\(\mathcal{Q}\) вказує на те, що ми можемо відокремити швидкі та повільні рухи і використовувати це для побудови форми для\(\nu(k, t)\) того, щоб подолати короткі та довгі часові межі. Щоб знайти цю форму, в'язкопружна модель починає припускати, що ядро пам'яті має експоненціальну форму:

\[\nu(k, t)=\nu(k, 0) \exp \left[\frac{-t}{\tau_{M}(k)}\right]\]

де\(\tau_{M}(k)\) знаходиться час релаксації Максвелла, розглянуте вище. Перш ніж використовувати цю функцію, необхідно вказати значення двох параметрів,\(\nu(k, 0)\) і\(\tau_{M}(k)\). Їх можна знайти, взявши короткі та тривалі часові межі GLE та порівнявши їх із короткочасним розширенням та гідродинамічними результатами відповідно.

Короткий часовий ліміт

Значення\(\nu(k, t)\) в короткі терміни можна отримати, порівнявши GLE за часом з\(t=0\) коротким тимчасовим розширенням поперечної кореляційної функції. Щоб вчасно знайти GLE\(t=0\), візьміть його похідну за часом

\[\begin{aligned} \ddot{C}_{T}(k, t) &=-k^{2} \frac{d}{d t} \int_{0}^{t} \nu(k, t-\tau) C_{T}(k, \tau) d \tau \\ &=-k^{2} \nu(k, 0) C_{T}(k, t) \\[4pt] &=-k^{2} \nu(k, 0) C_{T}(k, 0) \\[4pt] &=-k^{2} \nu(k, 0) v_{o}^{2} \end{aligned}\]

Першими двома термінами короткочасного розширення кореляційної функції є

\[C_{T}(\vec{k}, t)=v_{o}^{2}\left(1-\omega_{T}^{2} \frac{t^{2}}{2}\right)+\cdots\]

Друга похідна цього розширення дає

\[\ddot{C}_{T}(k, 0)=-k^{2} c_{t}^{2}(k) v_{o}^{2}\]

Порівняння рівнянь (4.38) і (4.35) показує, що

\[\nu(k, 0)=c_{t}^{2}(k)=\frac{G(k)}{\rho m}\]

Далі ми бачимо, що в цій межі матеріал підтримує поширюються хвилі. Форма хвиль може бути знайдена шляхом розв'язання диференціального рівняння Eq. (4.38), і задається

\[C_{T}(k, t)=v_{o}^{2} \cos \left(\omega_{t} t-k x\right)\]

де\(\omega=k c_{t}(k)\) і швидкість хвиль знаходяться\(c_{t}=\sqrt{\frac{G(k)}{\rho m}}\).

Гідродинамічна межа

Значення\(\nu(k, t)\) в тривалий час можна отримати, порівнявши гідродинамічне рівняння з довгим часовим межею GLE для\(C_{T}(k, t)\):

\[\dot{C}_{T}(k, t)=-k^{2} \int_{0}^{t} \nu(k, t-\tau) C_{T}(k, \tau) d \tau\]

Щоб взяти довгий часовий ліміт цього рівняння, зауважте, що функція пам'яті, як правило, буде характеризуватися деяким часом релаксації\(\tau_{\kappa}\). Коли час\(t\) набагато більше, ніж цей час релаксації, основний внесок в інтеграл прийде коли\(t \sim \tau\). Тому ми можемо приблизні\(C_{T}(k, \tau) \sim C_{T}(k, t)\). При такому наближенні кореляційну функцію можна вивести з інтеграла в GLE:

\[\dot{C}_{T}(k, t)=-k^{2} C_{T}(k, t) \int_{0}^{\infty} \nu(k, t-\tau) d \tau\]

де обмеження інтеграції було продовжено,\(\infty\) щоб вказати на те, що ми приймаємо тривалий термін.

Цей результат повинен бути ідентичним гідродинамічному розчину в довготривалому і довгій межі довжини хвилі. Беручи межу довгих хвиль\((k \rightarrow 0)\) і порівнюючи з гідродинамічним результатом (Eq. (4.35)), ми бачимо, що це відбувається лише тоді, коли:

\[\int_{0}^{\infty} \nu(k, t-\tau) d \tau=\nu=\frac{\eta}{\rho m}\]

В'язкопружний розчин

Тепер ми маємо інформацію, необхідну для побудови явної форми в'язкопружного ядра пам'яті.

\[\nu(k, t)=\nu(k, 0)\left[\frac{-t}{\tau_{M}(k)}\right]\]

З короткого обмеження часу ми виявили\(\nu(k, 0)=\frac{G(k)}{\rho m}\), що дозволяє нам писати

\[\nu(k, t)=\frac{G(k)}{\rho m} \exp \left[\frac{-t}{\tau_{M}(k)}\right]\]

З довгого терміну ми знаємо, що

\[\int_{0}^{\infty} \nu(k, t-\tau) d \tau=\frac{\eta}{\rho m}\]

Тепер підключіть експоненціальне ядро пам'яті для\(k=0\)

\[\int_{0}^{\infty} \frac{G(0)}{\rho m} \exp \left[\frac{-t}{\tau_{M}(0)} d \tau=\frac{\eta}{\rho m}\right]\]

Модуль пружності не має часової залежності, тому його можна вивести з інтеграла

\[\frac{G(0)}{\rho m} \int_{0}^{\infty} \exp \left[\frac{-t}{\tau_{M}(0)} d \tau=\frac{\eta}{\rho m}\right]\]

Нарешті, оцініть інтеграл, щоб знайти час розслаблення Максвелла в\(k=0\). Розумно припустити, що час релаксації Максвелла залишається постійним над усіма\(k\) значеннями. Тому час релаксації Максвелла можна записати як відношення коефіцієнта в'язкості зсуву рідини до модуля жорсткості пружного твердого тіла при\(k=0\).

\[\tau_{M}=\frac{\eta}{G(0)}\]

Коли\(\tau_{M}\) невеликий порівняно з часом\(t\), термін в'язкості домінує, і система буде вести себе як в'язка рідина. Однак, коли\(\tau_{M}\) вона велика в порівнянні з часом\(t\), система не встигає реагувати на подразник як в'язка рідина. Модуль жорсткості домінує, і матеріал буде вести себе як пружне тверде тіло, підтримуючи поширюються хвилі зсуву.

Нарешті, ми можемо використовувати час розслаблення Максвелла, щоб записати явну форму ядра в'язкопружної пам'яті.

\[\nu(k, t)=\frac{G(k)}{\rho m} \exp \left[\frac{-\eta t}{G(0)}\right]\]

З цим ядром пам'яті в руці, тепер ми можемо перейти до пошуку явного рішення поперечної поточної кореляційної функції.

Щоб знайти рівняння для в'язкопружної хвилі, спочатку знайдено перетворення Лапласа кореляційної функції поперечного струму

\[\hat{C}_{T}(k, s)=\frac{C(k, t=0)}{s+k^{2} \hat{\nu}(k, s)}=\frac{v_{o}^{2}}{s+k^{2} \hat{\nu}(k, s)}\]

Тепер вирішіть це рівняння за допомогою експоненціального ядра пам'яті\(\nu(k, t)=\frac{G(k)}{\rho m} \exp \frac{-t}{\tau_{M}}\). Добре визначено перетворення Лапласа експоненціальної функції

\[\mathcal{L}[\exp [-\alpha t u(t)]]=\frac{1}{s+\alpha}\]

Отже, перетворення Лапласа в'язкопружного ядра пам'яті

\[\hat{\nu}(k, s)=\frac{\nu(k, 0)}{s+\tau_{M}^{-1}}\]

Підключіть це до перетворення Лапласа поперечної кореляційної функції струму

\[\begin{aligned} \hat{C}_{T}(k, s)=\frac{v_{o}^{2}}{s+k^{2}\left(\frac{\nu(k, 0)}{s+\tau_{M}^{-1}}\right)} \\ \hat{C}_{T}(k, s)=\frac{v_{o}^{2}\left(s+\tau_{M}^{-1}\right)}{s\left(s+\tau_{M}^{-1}\right)+k^{2} \nu(k, 0)} \end{aligned}\]

Оскільки функція є квадратичною, знайти зворотне перетворення Лапласа відносно легко, використовуючи той самий метод, що представлений у розділі 4.2.C.2, або посилання [1].

\[C_{T}(k, t)=v_{o}^{2} \frac{1}{\lambda_{+}+\lambda_{-}}\left(e^{-\lambda+t}-e^{-\lambda_{-} t}\right)\]

де власні значення\(\lambda_{\pm}\) задаються розв'язками квадратного рівняння\(s^{2}+\tau_{M}^{-1} s+k^{2} \nu(k, 0)\):

\[\lambda_{\pm}=-\frac{-\tau_{M}^{-1}}{2} \pm \sqrt{\frac{\tau_{M}^{-2}-4 k^{2} \nu(k, 0)}{4}}\]

Складні власні рішення існують, якщо

\[\frac{1}{\tau_{M}^{2}}<4 k^{2} \nu(k, 0)\]

Нагадаємо, що\(\nu(k, 0)=c_{t}^{2}(k)\). Тоді ми можемо переписати вищевказане нерівність з точки зору хвильового числа.

\[k>\frac{1}{2 \tau_{M} c_{t}(k)}\]

Визначте критичне число хвилі,\(k_{c}=\left(2 \tau_{M} c_{t}(k)\right)^{-1}\). Більш детальну інформацію про в'язкопружне наближення та його застосування до поперечного струму див. Розділ 6 Молекулярної гідродинаміки Жан-П'єра Буна та Сідні Іпа [3] та главу 3 та главу 6 Динаміки рідкого стану Умберто Балукані [5].