3.2: Гідродинамічні рівняння Нав'є-Стокса

Основні рівняння

Збереження маси

Розглянемо фіксований об'єм у просторі, наприклад, зображений на малюнку\(3.6\)

Загальна кількість частинок в області в будь-який момент часу можна знайти, взявши суму над щільністю у всіх точках:

\[N=\int_{V} \rho(\vec{r}) d \vec{r}\]

Зміна з\(N\) плином часу залежить від потоку, який можна знайти шляхом інтеграції над поверхнею або об'ємом

\[\frac{d N}{d t}=J_{i n}-J_{o u t}=-\oint_{\partial V} \vec{J} \cdot d \vec{S}=-\int \vec{\nabla} \cdot \vec{J} d V\]

Ми можемо переписати зміну кількості частинок з точки зору щільності:

\[\frac{d N}{d t}=\int \frac{d \rho}{d t} d \vec{r}=-\int \vec{\nabla} \cdot \vec{J} d V\]

Видаліть просторову інтеграцію та переставляйте

\[\frac{d \rho}{d t}+\vec{\nabla} \cdot \vec{J}=0\]

Щоб висловити рівняння через щільність і швидкість, перепишемо потік так\(\vec{J}=\rho \vec{v}\), щоб

\[\nabla \vec{J}=\vec{\nabla} \cdot(\rho \vec{v})\]

Тоді консервація маси дається:

Малюнок 3.6: Потік матеріалу в нерухому область простору і з неї

Рівняння неперервності Загалом для будь-якої динамічної\(A\) величини ми можемо визначити щільність\(\rho\) і записати рівняння неперервності.

Це рівняння буде визначатися взаємодією між струмами\(\vec{J}\) і джерелами\(\sigma\).

\[\frac{\partial \rho A}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot \vec{J}=\sigma\]

Сумарний струм\(\vec{J}\) можна змоделювати як суму консервативного терміна\(\vec{J}_{V}=\rho A \vec{v}\) і дисипативного терміну\(\vec{J}_{D}\).

\[\vec{J}=\vec{J}_{V}+\vec{J}_{D}\]

Джерело\(\sigma\) може бути записано як сумою зовнішніх джерел, так\(\sigma_{\text {ext }}\) і джерел виробництва\(\sigma_{D}\)

\[\sigma=\sigma_{\text {ext }}+\sigma_{D}\]

Тому рівняння неперервності для\(A\) може бути записано більш явно як

\[\frac{\partial \rho A}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho A \vec{v})+\vec{\nabla} \cdot \vec{J}_{D}=\sigma_{e x t}+\sigma_{D}\]

У фізичному світі існує п'ять збережених величин: щільність, імпульс (у трьох напрямках) та енергія (або ентропія).

\[A=\{1, m \vec{v}, S\}\]

Тому ми знайдемо п'ять рівнянь неперервності. Ми вже знайшли рівняння неперервності для щільності, і в наступних двох розділах знайдемо рівняння імпульсу та ентропії.

Малюнок 3.7: Потік і сили для динамічної величини

Рівняння імпульсу (рівняння Нав'є-Стокса)

Щоб знайти рівняння неперервності для імпульсу,\(A=m \vec{v}\) підставити в загальне рівняння неперервності.

\[\frac{\partial \rho m \vec{v}}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho m \vec{v}: \vec{v})+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\vec{J}}_{D}=\vec{\sigma}_{e x t}+\vec{\sigma}_{D}\]

Припускаємо, що виробнича сила дорівнює нулю. Зовнішня сила - це тиск, який діє для створення чистого імпульсу або прискорення.

\[\vec{\sigma}_{\text {ext }}=\rho \vec{F}-\vec{\nabla} P\]

Терміни, що представляють консервативний і дисипативний струм, обидва тензори. Це тому, що імпульс є вектором, і тому струм, який представляє зміну імпульсу, повинен бути тензором. Консервативне протягом дається

\[\overrightarrow{\vec{J}}_{V}=(\rho m \vec{v}: \vec{v})\]

Дисипативний струм - тензор напруги\(\overrightarrow{\vec{J}}_{D}=-\overrightarrow{\vec{\Pi}}\). Рівняння безперервності для імпульсу може бути записано як

\[m \frac{\partial \rho \vec{v}}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho m \vec{v}: \vec{v})+\vec{\nabla} P=\rho \vec{F}+\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\vec{\Pi}}\]

Давайте докладніше розглянемо тензор напруги. Для ізотропного середовища тензор напруги може бути виражений у вигляді

\[\Pi_{i, j}=\eta_{B}(\vec{\nabla} \cdot \vec{v}) \delta_{i, j}+\eta\left(\partial_{i} v_{j}+\partial_{j} v_{i}-\frac{2}{3}(\vec{\nabla} \cdot \vec{v}) \delta_{i, j}\right)\]

де\(\eta_{B}\) - об'ємна в'язкість. Це дає очікувану зміну обсягу в результаті прикладеного напруги. Так само і\(\eta\) в'язкість зсуву. Це дає очікувану кількість зсуву або зміни форми, що виникає в результаті прикладеного напруги. Заключний термін\(\partial_{i} v_{j}+\partial_{j} v_{i}-\frac{2}{3} \nabla \vec{v} \delta_{i, j}\) - це безслідна симетрична складова, яка змінює форму, але не об'єм середовища.

Ми можемо висловити зміну тензора напружень як

\[(\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\mathrm{\Pi}})_{i}=\sum_{j} \nabla_{j} \Pi_{j, i}=\left(\frac{1}{3} \eta+\eta_{B}\right) \nabla_{i}(\vec{\nabla} \cdot \vec{v})+\eta \nabla^{2} v_{i}\]

За допомогою цього ми можемо переписати рівняння безперервності імпульсу як

\[m \frac{\partial \rho \vec{v}}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho m \vec{v}: \vec{v})+\vec{\nabla} P=\left(\frac{1}{3} \eta+\eta_{B}\right) \vec{\nabla}(\vec{\nabla} \cdot \vec{v})+\eta \nabla^{2} \vec{v}\]

Це ще називають рівнянням Нав'є-Стокса.

Рівняння ентропії (теплодифузія)

Щоб знайти рівняння неперервності для ентропії, підставляємо\(A=s\) загальне рівняння неперервності. У цьому випадку ми думаємо про ентропію для кожної частинки, а не всієї системи, тому\(s\) використовується нижній регістр.

\[\frac{\partial \rho s}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho s \vec{v})+\vec{\nabla} \cdot \vec{J}_{D}=\sigma_{e x t}+\sigma_{D}\]

Ми можемо спростити цей вираз, припускаючи, що немає сил, які створюють або руйнують ентропію, тому\(\sigma_{\text {ext }}+\sigma_{D}=0\) Ми також знаємо, що ентропія протікає від високих температур до низьких температур, тому

\[\vec{J}_{D} \propto-\vec{\nabla} \cdot \vec{T}\]

Запишіть це явно, використовуючи константу\(\lambda\)

\[\vec{J}_{D}=-\frac{\lambda \vec{\nabla} T}{T}\]

Потім підставимо це, щоб отримати рівняння безперервності

\[\frac{\partial \rho s}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho s \vec{v})-\lambda \vec{\nabla} \cdot\left(\frac{\vec{\nabla} T}{T}\right)=0\]

Тепер у нас є вирази для рівнянь неперервності 5 для кількості частинок, імпульсу та енергії.

\[\begin{aligned} \frac{d \rho}{d t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho \vec{v}) &=0 \\ m \frac{\partial \rho \vec{v}}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho m \vec{v}: \vec{v})+\vec{\nabla} P &=\vec{\nabla} \cdot \overrightarrow{\vec{\Pi}} \\ \frac{\partial \rho s}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot(\rho s \vec{v})-\lambda \vec{\nabla} \cdot\left(\frac{\vec{\nabla} T}{T}\right) &=0 \end{aligned}\]

Рішення цієї множини рівнянь дає\(\rho(k, t)\). Хоча це неможливо розв'язати аналітично, наближені розв'язки можна отримати шляхом лінеаризації рівнянь.

Лінеаризовані гідродинамічні рівняння

Гідродинамічні рівняння неможливо розв'язати аналітично. Однак можна отримати наближені розв'язки шляхом лінеаризації рівнянь. Визначаємо оператор

\[\mathcal{L}(A)=\frac{\partial A}{\partial t}\]

Для кількості, незалежної від часу\(A_{S}\),

\[\mathcal{L}\left(A_{S}\right)=\frac{\partial A_{S}}{\partial t}=0\]

Ми можемо побудувати будь-яку\(A\) величину як суму незалежної від часу, «стабільної» частини\(A_{S}\) і коливається частини\(\delta A\)

\[A=A_{S}+\delta A\]

Тоді ми можемо писати\(\mathcal{L}(A)\) як розширення. Якщо ми скорочуємо розширення в першому порядку, лінійний термін, ми виявимо, що

\[\mathcal{L}(A)=\mathcal{L}\left(A_{S}+\delta A\right)=\mathcal{L}\left(A_{S}\right)+\mathcal{L}(\delta A)=\frac{\partial \delta A}{\partial t}\]

Для однорідного розчину,\(\rho\) є постійною. Немає колективного кінетичного руху, лише невеликі рухи Больцмана, які середні до нуля. Тому,\(\overrightarrow{v_{o}}=0\). Ентропія також є постійною. Тому у нас є три константи:

\[\rho_{o}, \overrightarrow{v_{o}}=0, S_{o}\]

Оскільки щільність, швидкість і ентропія є константами для однорідного розчину, ми можемо побудувати ці величини для неоднорідного розчину шляхом розширення навколо них:

\[\begin{aligned} \rho=\rho_{o}+\delta \rho \\ S=S_{o}+\delta S \\ \vec{v} \end{aligned}\]

Ми також можемо розширюватися навколо постійної температури та тиску:

\[\begin{aligned} &T=T_{o}+\delta T \\ &P=P_{o}+\delta P \end{aligned}\]

Почніть з підстановки розширення густини на рівняння неперервності щільності

\[\begin{aligned} \frac{d}{d t}\left(\rho_{o}+\delta \rho\right)+\vec{\nabla} \cdot\left[\left(\rho_{o}+\delta \rho\right) \vec{v}\right]=0 \\ \frac{d \delta \rho}{d t}+\vec{\nabla} \cdot\left(\rho_{o} \vec{v}\right)=0 \end{aligned}\]

Це лінеаризоване рівняння неперервності щільності чисел. Щоб досягти остаточного виразу, ми використали це\(\frac{d \rho_{o}}{d t}=0\). Ми також проігнорували\(\vec{\nabla} \cdot(\delta \rho \vec{v})\) цей термін, оскільки він квадратичного порядку, і ми можемо припустити, що він незначний. Для того, щоб лінеаризувати рівняння неперервності для ентропії, почніть з розширення вихідного виразу.

\[\rho \frac{\partial \delta s}{\partial t}+s_{o} \frac{\partial \rho}{\partial t}+s_{o} \vec{\nabla} \cdot(\rho \vec{v})+\rho \vec{\nabla} \cdot(\delta s \vec{v})-\lambda \vec{\nabla} \cdot\left(\frac{\vec{\nabla} T}{T}\right)=0\]

Другий і третій термін можуть бути об'єднані і підуть в нуль шляхом збереження маси. Четвертий термін мізерно малий. Потім підставляючи в розкладення і зберігаючи лише лінійні члени, вираз спрощує:

\[\rho_{o} \frac{\partial \delta s}{\partial t}-\frac{\lambda}{T_{o}} \nabla^{2} \delta T=0\]

Аналогічно ми можемо лінеаризувати рівняння безперервності імпульсу, рішення

\[m \rho_{o} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\vec{\nabla} \delta P=\left(\frac{1}{3} \eta+\eta_{B}\right)(\vec{\nabla}: \vec{\nabla}) \cdot \vec{v}+\eta \nabla^{2} \vec{v}\]

Підсумовуючи, лінеаризовані гідродинамічні рівняння задаються

\[\begin{aligned} \frac{d \delta \rho}{d t}+\rho_{o} \vec{\nabla} \cdot \vec{v} &=0 \\ m \rho_{o} \frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+\nabla \delta P &=\left(\frac{1}{3} \eta+\eta_{B}\right)(\vec{\nabla}: \vec{\nabla}) \cdot \vec{v}+\eta \nabla^{2} \vec{v} \\ \rho_{o} \frac{\partial \delta s}{\partial t}-\frac{\lambda}{T_{o}} \nabla^{2} \delta T &=0 \end{aligned}\]

Поперечні гідродинамічні режими

Для того щоб вирішити рівняння власного значення, нам потрібно розкласти швидкість на її поперечну і поздовжню складові. Почніть з перезапису швидкості з точки зору її компонентів Фур'є

\[\vec{v}(r, t)=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int \vec{v}(k, t) e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} d \vec{k}\]

Завдяки заміщенню рівняння безперервності імпульсу стає

\[m \rho_{o} \frac{\partial \overrightarrow{v_{k}}}{\partial t}+i \vec{k} P_{k}=\left(\frac{1}{3} \eta+\eta_{B}\right)(i \vec{k})\left(i \vec{k} \cdot \overrightarrow{v_{k}}\right)+\eta(\vec{k})^{2} \overrightarrow{v_{k}}\]

Тепер\(\vec{v}(k, t)\) розкладаємо на 3 його складові

\[v(k, t)=v_{x k}(t) \hat{x}+v_{y k}(t) \hat{y}+v_{z k}(t) \hat{z}\]

Поздовжнім є режим, при якому вектор швидкості вказує паралельно\(\vec{k}\) вектору, а поперечний - такий, при якому вектор швидкості вказує перпендикулярно\(\vec{k}\) вектору. Ми можемо вирішити довільно, що\(\vec{k}\) вектор вказує в\(z\) напрямку. Тому\(v_{z k}(t)\) є поздовжнім струмом і\(v_{x k}(t)\) і\(v_{y k}(t)\) є поперечними струмами.

Малюнок 3.8: Компоненти швидкості в k-просторі

який легко вирішити, поступаючись розчину

\[v_{T k}(t)=v_{T k}(0) e^{-\gamma_{T} k^{2} t}\]

де\(\gamma_{T}=\frac{\eta}{m \rho_{o}}\) - кінематична в'язкість зсуву.

Цей результат виглядає як рівняння дифузії.

\[\frac{\partial P_{k}}{\partial t}=-D k^{2} P_{k}\]

Тому\(\gamma_{T}\) можна інтерпретувати як константу дифузії для швидкості.

Поздовжні гідродинамічні режими

Розв'язування рівнянь безперервності

Набагато складніше вирішити для поздовжньої швидкісної складової струму, оскільки не так багато термінів йдуть в нуль.

Перетворення густини Фур'є Починайте з запису густини через її складові Фур'є

\[\vec{\rho}(r, t)=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int \vec{\rho}(k, t) e^{i \vec{k} \vec{r}} d \vec{k}\]

Використовуючи цей вираз, лінеаризовані гідродинамічні рівняння можуть бути записані через компоненти Фур'є щільності. Зверніть увагу, що далі, для стислості, ми скинемо\(\delta\) знаки перетворених змінних. Читачі повинні мати на увазі, що ці\(k\) -space змінні завжди посилаються на перетворення Фур'є коливань від рівноваги.

\[\begin{aligned} \frac{d \rho_{k}}{d t}+i k \rho_{o} v_{k} &=0 \\ m \rho_{o} \frac{\partial v_{k}}{\partial t}+i k P_{k}+\left(\frac{4}{3} \eta+\eta_{B}\right) k^{2} v_{k} &=0 \\ \rho_{o} \frac{\partial s_{k}}{\partial t}+\frac{\lambda}{T_{o}} k^{2} T_{k} &=0 \end{aligned}\]

Також позначимо швидкість як\(v_{k}\) для простоти. Однак важливо пам'ятати, що це стосується лише поздовжньої швидкості,\(v_{z, k}\). Вибір незалежних змінних Як написано, три рівняння неперервності мають п'ять змінних:\(\rho_{k}, v_{k}, T_{k}, P_{k}\), і\(S_{k}\). На щастя, ці змінні не всі незалежні. Дозволяти\(\rho_{k}, v_{k}\), і\(T_{k}\) бути трьома незалежними змінними. Ми можемо використовувати термодинамічні відносини для перезапису\(P_{k}\) та з\(S_{k}\) точки зору цих змінних.

Вільна енергія Гельмгольца - це функція температури і щільності,\(F(T, \rho)\). Ми можемо записати це в диференційній формі:

\[d F=-S d T+P d \rho\]

Це сумарний диференціал виду:

\[d z=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)_{y} d x+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x} d y\]

Використовуючи це, ми можемо записати ентропію\(S\) і тиск\(P\) в диференціальному вигляді

\[\begin{aligned} S=-\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{\rho} \\ P=\left(\frac{\partial F}{\partial \rho}\right)_{T} \end{aligned}\]

Визначити змінну\(\alpha\) як

\[\alpha=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{\rho}=\frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial F}{\partial \rho}\right)_{T}=\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\frac{\partial F}{\partial T}\right)_{\rho}=-\left(\frac{\partial S}{\partial \rho}\right)_{T}\]

Тут ми використали властивість, що для неперервних функцій змішані часткові другі похідні рівні. Це дає одне з відносин Максвелла.

Ми також будемо використовувати пару добре відомих співвідношень, ізотермічної швидкості звуку:

\[c_{T}=\sqrt{\frac{1}{m}\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{T}}\]

і питома теплоємність:

\[C_{V}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{\rho}\]

Маючи ці відносини в руці, ми можемо переписати тиск\(P\) і ентропію з\(S\) точки зору температури\(T\) і щільності\(\rho\):

\[\begin{aligned} d P=\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{T} d \rho+\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{\rho} d T=m C_{T}^{2} d \rho+\alpha d T \\ T_{o} d S=T_{o}\left(\frac{\partial S}{\partial \rho}\right)_{T} d \rho+T_{o}\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{\rho} d T=-T_{o} \alpha d \rho+C_{V} d T \end{aligned}\]

Конденсовані рівняння За допомогою цих замін ми можемо переписати рівняння неперервності в терміні незалежних змінних\(\rho_{k}, v_{k}\), і\(T_{k}\).

\[\begin{aligned} \frac{d \rho_{k}}{d t}+i k \rho_{o} v_{k} &=0 \\ \dot{v}_{k}+\frac{i k}{m \rho_{o}}\left[C_{T}^{2} m \rho_{k}+\alpha T_{k}\right]+b k^{2} v_{k} &=0 \\ \dot{T}_{k}+i k\left(\frac{T_{o} \alpha \rho_{o}}{C_{V}}\right) v_{k}+a k^{2} T_{k} &=0 \end{aligned}\]

де ми визначили константи\(a\) і\(b\)

\[\begin{aligned} a=\frac{\lambda}{\rho_{o} C_{V}} \\ b=\left(\eta_{B}+\frac{4}{3} \eta\right) \frac{1}{m \rho_{o}} \end{aligned}\]

і\(\rho_{k}=-i k \rho_{o} v_{k}\) використовується для спрощення останнього рівняння.

Перетворення Лапласа Щоб ще більше спростити рівняння, використовуйте перетворення Лапласа кожної змінної:

\[\begin{array}{llll} \hat{\rho}_{k}(z)=\int_{0}^{\infty} e^{-z t} \rho_{k}(t) d t & \text { and } & \rho_{k}(t)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\delta-i \infty}^{\delta+i \infty} e^{z t} \hat{\rho}_{k}(z) d z \\ \hat{v}_{k}(z)=\int_{0}^{\infty} e^{-z t} v_{k}(t) d t & \text { and } & v_{k}(t)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\delta-i \infty}^{\delta+i \infty} e^{z t} \hat{v}_{k}(z) d z \\ \hat{T}_{k}(z)=\int_{0}^{\infty} e^{-z t} T_{k}(t) d t \quad \text { and } & T_{k}(t)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\delta-i \infty}^{\delta+i \infty} e^{z t} \hat{T}_{k}(z) d z \end{array}\]

Використовуючи це перетворення, рівняння неперервності можна переписати (у вигляді матриці):

\[\left[\begin{array}{ccc} z & i k \rho_{o} & 0 \\ i k \frac{C_{T}^{2}}{\rho_{o}} & z+b k^{2} & \frac{i k}{m \rho_{o}} \alpha \\ 0 & \frac{i k}{C_{V}} \alpha T_{o} \rho_{o} & z+a k^{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \hat{\rho}_{k} \\ \hat{v}_{k} \\ \hat{T}_{k} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \rho_{k}(0) \\ v_{k}(0) \\ T_{k}(0) \end{array}\right] .\]

Термодинамічні ідентичності

Ізотермічна та адіабатична швидкість звуку

Адіабатичні\(c_{s}\) та ізотермічні\(c_{T}\) швидкості звуку задаються:

\[\begin{aligned} c_{S}^{2}=\frac{1}{m}\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{S} \\ c_{T}^{2}=\frac{1}{m}\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{T} \end{aligned}\]

Ми можемо переписати ці величини, використовуючи:

\[\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{T}=\frac{\left(\frac{\partial P}{\partial S}\right)_{T}}{\left(\frac{\partial \rho}{\partial S}\right)_{T}}=\frac{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{S}\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{P}}{\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{S}\left(\frac{\partial T}{\partial S}\right)_{\rho}}=\frac{C_{V}}{C_{P}}\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{S}\]

Тут ми використовували постійний об'єм\(C_{V}\) і постійний тиск\(C_{P}\) теплових потужностей:

\[\begin{aligned} &C_{V}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{\rho} \\ &C_{P}=T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P} \end{aligned}\]

і ідентичність для диференціалів:

\[\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_{z}=\left(\frac{\partial x}{\partial z}\right)_{y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)_{x}\]

Тепер ми можемо показати, що співвідношення дорівнює:

\[\frac{c_{T}^{2}}{c_{S}^{2}}=\frac{\frac{1}{m} \frac{C_{V}}{C_{P}}\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{S}}{\frac{1}{m}\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{S}}=\frac{C_{V}}{C_{P}}=\frac{1}{\gamma}\]

Термодинамічні тотожності можуть бути використані для перезапису кількості

\[m C_{T}^{2}\left(C_{P}-C_{V}\right)\]

Почніть з написання виразу явно з термінами термодинамічних змінних:

\[m C_{T}^{2}\left(C_{P}-C_{V}\right)=T\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{T}\left[\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}-\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{\rho}\right]\]

Для того, щоб спростити цей вираз, ми будемо використовувати іншу ідентичність для диференціалів:

\[\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_{z}=\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_{w}+\left(\frac{\partial x}{\partial w}\right)_{y}\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)_{z}\]

Використовуючи цю ідентичність, поєднану з ідентифікацією, введеною в попередньому розділі, ми можемо переписати перший термін у виразі:

\[\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{\rho}+\left(\frac{\partial S}{\partial \rho}\right)_{T}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{P}=\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{\rho}-\left(\frac{\partial S}{\partial \rho}\right)_{T}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{\rho}\]

Тепер підключіть це до виразу вище та скасуйте терміни, щоб отримати нову ідентичність:

\[m C_{T}^{2}\left(C_{P}-C_{V}\right)=-T_{o}\left(\frac{\partial S}{\partial \rho}\right)_{T}\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{\rho}\]

Адіабатична та ізотермічна стисливість

Адіабатична\(\chi_{S}\) і\(\chi_{T}\) ізотермічна стисливість задаються:

\[\begin{aligned} \chi_{S} &=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{S} \\ \chi_{T} &=\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{T} \end{aligned}\]

Тому

\[\gamma=\frac{C_{P}}{C_{V}}=\frac{\chi_{T}}{\chi_{S}}=\frac{c_{S}^{2}}{c_{T}^{2}}\]

Власне рішення

Тепер ми можемо вирішити множину рівнянь неперервності для щільності. Щільність можна дізнатися з:

\[\hat{\rho}(z)=\frac{\operatorname{Det}^{\prime} M(1 \mid 1)}{\operatorname{Det} M}=\left(M^{-1}\right)_{11} \rho(0)\]

Зауважте, що перетворення Лапласа проміжної функції розсіювання:

\[\hat{F}(\vec{k}, z)=\left(M^{-1}\right)_{11}\left\langle\left|\rho_{k}\right|^{2}\right\rangle\]

Вирішити за\(\hat{\rho}(z)\), знайти\(\operatorname{Det}^{\prime} M(1 \mid 1)\) і\(\operatorname{Det} M\).

\[\begin{aligned} \operatorname{Det}^{\prime} M(1 \mid 1)=\left(z+a k^{2}\right)\left(z+b k^{2}\right)+\frac{k^{2} T_{o} \alpha^{2}}{m C_{V}} \\ =\left(z+a k^{2}\right)\left(z+b k^{2}\right)+k^{2} C_{T}^{2}(\gamma-1) \end{aligned}\]

і

\[\text { Det } M=z\left(z+a k^{2}\right)\left(z+b k^{2}\right)+z k^{2} c_{S}^{2}+z k^{4} c_{T}^{2}\]

де ми використовували деякі термодинамічні ідентичності, визначені в попередньому розділі.

Власні частоти можна отримати з\(\operatorname{Det} M(z)=0\). Власні значення можуть бути розв'язані за допомогою збурень\(z=s_{o}+s_{1} k+s_{2} k+\ldots\). Рішення є

\[\begin{aligned} z_{\pm}=-a \frac{c_{T}^{2}}{c_{S}^{2}} k^{2}=-\frac{a}{T} k^{2} \\ z_{\pm}=\pm i c_{S} k-\Gamma k^{2} \end{aligned}\]

де

\[\Gamma=\frac{1}{2}\left[(a+b)-\frac{a}{\gamma}\right]\]

До першого порядку в\(k\), у нас є

\[\left(M^{-1}\right)_{11}=\frac{\operatorname{Det}^{\prime} M(1 \mid 1)}{\operatorname{Det} M} \approx \frac{z^{2}+\left(1-\frac{1}{\gamma}\right) c_{S}^{2} k^{2}}{z^{3}+z k^{2} c_{S}^{2}}=\left(1-\frac{1}{\gamma}\right) \frac{1}{z}+\frac{1}{\gamma} \frac{1}{z^{2}+k^{2} c_{S}^{2}}\]

Потім, до другого порядку\(k\), у нас є

\[\hat{\rho}_{k}(t)=\hat{\rho_{k}}(0)\left[\left(1-\frac{1}{\gamma}\right) e^{-\frac{a}{\gamma} k^{2} t}+\frac{1}{\gamma} \cos \left(c_{S} k t\right) e^{-\Gamma k^{2} t}\right]\]

Перший член дає внески від теплових коливань, тоді як другий термін дає рішення для затухаючої акустичної хвилі. Зверніть увагу, що інтегрована інтенсивність першого терміну є\(\left(1-\frac{1}{\gamma}\right)\) і інтегрована інтенсивність другого терміну є\(\frac{1}{\gamma}\).

Малюнок 3.9: Спектр розсіювання світла

Світло розсіювання

Коефіцієнт Ландау-Плачека дає співвідношення між інтенсивністю теплового і акустичного розсіювання

\[\frac{I_{\text {thermal }}}{I_{\text {acoustic }}}=\frac{\left\langle(\delta \rho)^{2}\right\rangle_{\text {thermal }}}{\left\langle(\delta \rho)^{2}\right\rangle_{\text {mech }}}=\frac{\left(\frac{\partial \rho}{\partial S}\right)_{P}^{2}\left\langle\Delta S^{2}\right\rangle}{\left(\frac{\partial \rho}{\partial P}\right)_{S}^{2}\left\langle\Delta P^{2}\right\rangle}=\frac{C_{P}-C_{V}}{C_{V}}=\gamma-1\]

Відзначимо, що коефіцієнт динамічної структури вдвічі перевищує дійсну частину перетворення Лапласа проміжної функції розсіяння (рис. 3.9):

\[S(\vec{k}, \omega)=\int_{\infty}^{\infty} F(\vec{k}, t) e^{-i \omega t} d t=2 \operatorname{Re} \hat{F}(z=-i \omega)\]

Початкове значення цієї функції

\[F(k, 0)=\frac{1}{N}\left\langle\left|\delta \rho_{k}\right|^{2}\right\rangle=\rho_{o} h+1=\frac{\rho_{o} \chi_{T}}{\beta}\]

Акустичне розсіювання

Ігноруючи зв'язок з ентропійним потоком, ми маємо

\[d P=\left(\frac{\partial P}{\partial \rho}\right)_{S} d \rho\]

так що

\[\begin{array}{r} \frac{d \delta \rho_{k}}{d t}+i k \rho_{o} v_{k}=0 \\ \dot{v_{k}}+i c_{S}^{2} k \rho_{k}+b k^{2} v_{k}=0 \end{array}\]

Для ідеального газу\(b=0\), і так ми отримуємо поширюється звукова хвиля

\[z=\pm i c_{S} k\]

У в'язкій рідині\(b \neq 0\), і так ми отримуємо поширюється акустичну хвилю з терміном гасіння

\[z=\pm i c_{S} k-\frac{1}{2} b k^{2}\]