2.3: Теорія лінійних відповідей та причинно-наслідковий зв'язок

Поняття лінійного відгуку було введено в розділі 2.1. Тут ми далі досліджуємо, як кількісно визначається лінійна реакція системи, розглядаючи важливі відносини, які регулярно посилаються практиками теорії лінійної відповіді.

Функції відповіді

Мотивуюча ідея лінійної реакції полягає в тому, що реакція системи на зовнішню силу залежить від сили цієї сили в усі часи, протягом яких сила діє на систему. Тобто реакція в часі\(t\) залежить від історії дії сили на систему. Відповідно зважена сума сили зовнішньої сили в кожен момент під час взаємодії опише загальну реакцію. Математично, отже, ми висловлюємо відповідь як невід'ємну в історії взаємодії,

\[\Delta A(t)=\int_{-\infty}^{\infty} K(t, \tau) f(\tau) d \tau\]

Ядро\(K(t, \tau)\) в цьому виразі, яке забезпечує вагу для сили зовнішньої сили в кожен раз, називається функцією відгуку. Функція відгуку має два дуже важливих властивості:

• Часова інваріантність:\(K\) залежить тільки від часового інтервалу між\(\tau\) і\(t\), а не від двох разів самостійно. Більш лаконічно,

\[K(t, \tau)=K(t-\tau)\]

• Причинність: Система не може реагувати, поки сила не буде застосована. Це ставить верхню\(t\) межу інтеграції протягом історії зовнішньої сили.

Маючи ці спостереження на місці, ми приходимо до стандартної формули, що описує лінійну реакцію\(A\) спостережуваної на зовнішню силу\(f(t)\),

\[\Delta A(t)=\int_{-\infty}^{t} K(t-\tau) f(\tau) d \tau\]

Лінійна реакція - описана функцією відгуку\(K(t)\) - і лінійна регресія - описана тимчасовою\(C(t)\) кореляційною функцією - безпосередньо пов'язані один з одним. Щоб побачити зв'язок, розгляньте силу,\(f(t)\) яка є постійною з силою\(f\) для\(t \leq 0\) і дорівнює нулю для\(t>0\). Ми встановили два способи опису реакції спостережуваного\(A\) на цю силу:

• Лінійна регресія:\(\Delta A(t)=\beta f C(t)\)
• Лінійна реакція:\(\Delta A(t)=\int_{-\infty}^{0} K(t-\tau) f(\tau) d \tau\)

З цієї інформації робимо висновок, що кореляційна функція і функція відгуку пов'язані

\[K(t)=-\beta \dot{C}(t) \theta(t)\]

де\(\theta(t)\) - функція Хевісайда.

Іноді функція лінійної відгуку зручніше виражається в частотній області, в цьому випадку її називають частотно-залежною функцією відгуку. У багатьох фізичних ситуаціях він відіграє роль сприйнятливості до сили і, отже, позначається\(\chi(\omega)\),

\[\chi(\omega)=\int_{0}^{\infty} e^{i \omega t} K(t) d t\]

Ця функція відповіді часто розділена на реальну і уявну частини, які також можна розглядати як парну і непарну частини відповідно,

\[\chi(\omega)=\chi^{\prime}(\omega)+i \chi^{\prime \prime}(\omega)\]

Приклад: Функцію відгуку для класичного лінійного гармонічного осцилятора можна швидко вивести з його тимчасової кореляційної функції. Нагадаємо з першого прикладу в цьому розділі, що функція кореляції часу для класичного лінійного гармонічного осцилятора є

\[C(t)=\frac{k_{B} T}{m \omega^{2}} \cos \omega t\]

Застосовуючи екв. (2.17), ми диференціюємо відносно\(t\) і множимо на,\(\beta=\frac{1}{k_{B} T}\) щоб визначити, що

\[K(t)=\frac{1}{m \omega} \sin (\omega t) \theta(t)\]

Це функція відгуку для класичного лінійного гармонічного осцилятора.

Спектри потужності поглинання

Частотно-залежна функція відгуку безпосередньо пов'язана зі спектром поглинання: насправді знання\(\chi(\omega)\) і залежної від часу зовнішньої сили\(f(t)\) достатньо, щоб повністю описати спектр поглинання.

Швидкість, з якою виконується робота над системою узагальненою зовнішньою силою\(f(t) \dot{A}(t)\),\(f(t)\) є, де\(A\) спостерігається, що відповідає узагальненій силі\(f\). Ця величина має одиниці потужності, тому ми можемо обчислити загальну енергію поглинання, інтегруючи цю потужність з часом,

\[\int P(t) d t=\int f(t) \dot{A}(t) d t\]

Для переосмислення цього результату з точки зору\(\chi(\omega)\), ми спочатку розглянемо перетворення Фур'є залежного від часу спостережуваного\(A\),

\[\tilde{A}(\omega)=\int e^{i t} A(t) d t\]

Застосовуючи еквалайзер (2.16), ми маємо

\[\tilde{A}(\omega)=\int e^{i \omega t} \int K(t-\tau) f(\tau) d \tau d t\]

Наступні перестановки дозволяють висловити\(\tilde{A}(\omega)\) цілком з точки зору частотно-залежних функцій:

\[\begin{aligned} \tilde{A}(\omega) &=\iint e^{i \omega(t-\tau)} e^{i \tau} K(t-\tau) f(\tau) d \tau d t \\ &=\int e^{i \omega(t-\tau)} K(t-\tau) d(t-\tau) \int e^{i \omega \tau} f(\tau) d t \\ &=\chi(\omega) \tilde{f}(\omega) \end{aligned}\]

де\(\tilde{f}(\omega)\) - перетворення Фур'є\(f(t)\). Повертаючись до Eq. (2.20) для енергії поглинання,

\[\int P(t) d t=\int f(t) \dot{A}(t) d t=\frac{1}{2 \pi} \int \tilde{f}(-\omega) \tilde{\dot{A}}(\omega) d \omega\]

Перестановка виразу ще раз і оцінка інтеграла з часом дає

\[\begin{aligned} \int P(t) d t &=\frac{1}{2 \pi} \int(-i \omega) \tilde{f}(-\omega) \tilde{A}(\omega) d \omega \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int(-i \omega) \chi(\omega)|\tilde{f}(\omega)|^{2} d \omega \\ &=\frac{1}{2 \pi} \int \omega \chi^{\prime \prime}(\omega)|\tilde{f}(\omega)|^{2} d \omega \end{aligned}\]

Звідси спектр потужності поглинання\(P(\omega)\) має вигляд

\[P(\omega)=\omega \chi^{\prime \prime}(\omega)|\tilde{f}(\omega)|^{2}\]

Приклад: Для\(F(t)=F \cos \omega_{0} t\) монохроматичної сили перетворення\(F(t)\) Фур'є задається

\[\tilde{F}(\omega)=F \pi\left[\delta\left(\omega-\omega_{0}\right)+\delta\left(\omega+\omega_{0}\right)\right]\]

Звідси наш вираз для спектру потужності поглинання Eq. (2.30) говорить нам, що швидкість поглинання (тобто середній час\(P(t)\)) для такої системи є

\[\lim _{\tau \rightarrow \infty} \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} P(t) d t=\frac{\omega}{2} \chi^{\prime \prime}(\omega)|F|^{2}\]

Крім того, за допомогою Eq. \((2.17)\)і той факт, що\(\chi^{\prime \prime}(\omega)\) є дивним, ми виявляємо, що

\[\begin{aligned} \chi^{\prime \prime}(\omega) &=\int_{0}^{\infty} \sin \omega t K(t) d t \\ &=\int_{0}^{\infty} \sin \omega t(-\beta \dot{C}(t)) d t \\ &=\beta \omega \int_{0}^{\infty} C(t) \cos \omega t d t \\ &=\frac{\beta \omega}{2} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega t} C(t) d t \\ &=\frac{\beta \omega}{2} \tilde{C}(\omega) \end{aligned}\]

Цей простий зв'язок ілюструє тісний зв'язок між частотно-залежними функціями відгуку (або сприйнятливістю) та функціями кореляції часу.

Причинність і відносини Крамерса-Кроніга

Наш остаточний розгляд у цьому розділі - це зв'язок між реальною та уявною частинами частотно-залежної функції відгуку, визначеної в еквалайзері (2.19). Рівняння, що стосуються цих двох функцій, відомі як відносини Крамерса-Кроніга. У своїй найбільш загальній формі вони керують функцією відгуку як функцію складної частоти\(z=\omega+i \epsilon\), хоча за більшості фізичних обставин, що представляють інтерес, вони можуть бути виражені лише в терміні реальних частот.

Відносини виникають з вимоги причинно-наслідкового зв'язку, яке ми спочатку висловлювали вимагаючи\(K(t)=0, \forall t<0\). Виходить, що ця вимога поряд з припущенням, яке\(\int_{0}^{\infty} K(t) d t\) сходиться, має на увазі,\(\chi(z)\) що функція відгуку аналітична на верхній половині комплексної площини.

Малюнок 2.3: Контур у складній частотній площині, що використовується для мотивації відносин Крамерса-Кроніга

Однак ми також можемо інтегрувати кусково над кожною частиною контуру; потрібна певна маніпуляція з теоремою залишку, але кінцевий результат

\[\oint \frac{\chi(z)}{z-\omega_{0}} d z=\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\chi(z)}{z-\omega_{0}} d z-i \pi \chi\left(\omega_{0}\right)\]

де\(\mathcal{P}\) позначає основне значення Коші інтеграла. Встановлення двох результатів вище рівних і рішення для функції відповіді,

\[\chi(\omega)=\frac{1}{i \pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\chi(z)}{z-\omega} d z\]

Розкладання Eq. (2.33) на реальну і уявну частини дає відносини Крамерса-Кроніга,

\[\begin{aligned} &\chi^{\prime}(\omega)=\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\chi^{\prime \prime}(z)}{z-\omega} d z \\ &\chi^{\prime \prime}(\omega)=-\frac{1}{\pi} \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\chi^{\prime}(z)}{z-\omega} d z \end{aligned}\]

Як і було обіцяно, ця пара рівнянь забезпечує стислий зв'язок між реальною і уявною частинами будь-якої функції відгуку\(\chi(\omega)\).

Посилання

[1] Н. Кубо, Р.; Сайто і Н. Хашицуме. Статистична фізика II: Нерівноважна статистична механіка. Спрінгер,\(2003 .\)

[2] Роберт Цванциг. Нерівноважна статистична механіка. Нью-Йорк: Преса Оксфордського університету,\(2001 .\)

[3] Девід Чендлер. Вступ до сучасної статистичної механіки. Нью-Йорк: Преса Оксфордського університету, 1987.

[4] Рейхль Л.Е. Сучасний курс статистичної фізики. Нью-Йорк: Вілі-міжнауковий, 1998. Відкритий курс MIT