7.10: Глава 7 Проблеми

Підкреслений номер задачі або буква проблемної частини вказує на те, що числова відповідь з'являється в Додатку
I.7.1 Вивести наступні співвідношення з визначень\(\alpha, \kappa_{T}\), і\(\rho\):
\ [
\ alpha=-\ frac {1} {\ rho}\ left (\ frac {\ partial\ rho} {\ partial T}\ праворуч) _ {p}\ quad\ kappa_ {T} =\ frac {1} {\ rho}\ ліворуч (\ frac {\ часткове\ rho} {\ часткове р}\ право) _ {T}
\]

7.2 Використовуйте рівняння в цьому розділі для отримання наступних виразів для ідеального газу:
\ [
\ alpha = 1/T\ quad\ kappa_ {T} =1/p
\]

7.3 Для газу з простим рівнянням стану
\ [
V_ {\ mathrm {m}} =\ frac {R T} {p} +B
\]
(ур. 2.2.8), де\(B\) є другим віріальним коефіцієнтом (функцією\(T\))\(\alpha\), знайти вирази для\(\kappa_{T}\), і\(\left(\partial U_{\mathrm{m}} / \partial V\right)_{T}\) через \(\mathrm{d} B / \mathrm{d} T\)та інші державні функції.

7.4 Показати, що коли віріальне рівняння\(p V_{\mathrm{m}}=R T\left(1+B_{p} p+C_{p} p^{2}+\cdots\right)\) (ур. 2.2.3) адекватно представляє рівняння стану реального газу, коефіцієнт Джоуля-Томсона задається
\ [
\ mu_ {\ mathrm {JT}} =\ frac {R T^ {2}\ left [\ mathrm {~d} B_ {p}/\ mathrm {d} T+\ left (\ mathrm {d} C_ {p}/\ mathrm {d} T\ праворуч) p+ \ cdots\ right]} {C_ {p,\ mathrm {~m}}}
\]
Зауважте, що граничне значення при низькому тиску не обов'язково дорівнює нулю\(R T^{2}\left(\mathrm{~d} B_{p} / \mathrm{d} T\right) / C_{p, \mathrm{~m}}\), навіть якщо рівняння стану наближається до рівняння ідеального газу в цій межі.

7.5 Величина\((\partial T / \partial V)_{U}\) називається коефіцієнтом Джоуля. Джеймс Джоуль спробував оцінити цю величину шляхом вимірювання зміни температури, що супроводжує розширення повітря в вакуум - «експеримент Джоуля». Напишіть вираз для загального диференціалу\(U\) with\(T\) і\(V\) як незалежних змінних, і за процедурою, подібною до тієї, яка використовується в п. 7.5.2, показати, що коефіцієнт Джоуля дорівнює

\ [\ frac {p-\ alpha T/\ kappa_ {T}} {C_ {V}}
\]

7.6\(p-V-T\) дані для декількох органічних рідин були виміряні Гібсоном і Лоеффлером. \({ }^{11}\)Наступні формули описують результати для аніліну.
Молярний об'єм як функція температури в\(p=1\) барі\((298-358 \mathrm{~K})\):
\ [
V_ {\ mathrm {m}} =a+b t+c T^ {2} +d T^ {3}
\]
де параметри мають значення
\ [
\ begin {array} {ll}
a=69.287\ Матрм {~см} ^ {3}\ математика {~моль} ^ {-1} & c = -1.0443\ раз 10^ {-4}\ математика {~см} ^ {~ K} ^ {-2}\ mathrm {~ моль} ^ {-1}\\ b
= 0,08852\ матрм {~см} ^ {3} математика {~K} ^ {-1}\ математика {~моль} ^ {-1} & d = 1.940\ раз 10^ {-7}\ математика {~см} ^ {3}\ mathrm {~K} ^ {-3}\ mathrm {~mol} ^ {-1}
\ кінець {масив}
\]
Молярний об'єм як функція тиску при\(T=298.15 \mathrm{~K}\) (1-1000 бар):
\ [
V_ {\ mathrm {m}} =e-f\ ln (g+p/\ text {бар})
\]
де значення параметра
\ [
e=156.812\ mathrm {~см} ^ {3}\ Матрм {~моль} ^ {-1}\ квадрат д = 8.5834\ матрм {~см} ^ {3}\ математика {~ моль} ^ {-1}\ квадрат г = 2006.6
\]

(а) Використовуйте ці формули для оцінки\(\alpha, \kappa_{T},(\partial p / \partial T)_{V}\), і\((\partial U / \partial V)_{T}\) (внутрішній тиск) для аніліну при\(T=298.15 \mathrm{~K}\) і\(p=1.000\) бар.

(b) Оцініть підвищення тиску, якщо температура фіксованої кількості аніліну збільшується\(0.10 \mathrm{~K}\) на постійний об'єм.

7.7 (а) З загального диференціалу\(H\) з\(T\) і\(p\) як незалежних змінних, вивести відношення\(\left(\partial C_{p, \mathrm{~m}} / \partial p\right)_{T}=-T\left(\partial^{2} V_{\mathrm{m}} / \partial T^{2}\right)_{p}\)
(b) Оцінити\(\left(\partial C_{p, \mathrm{~m}} / \partial p\right)_{T}\) для рідкого аніліну при\(300.0 \mathrm{~K}\) і 1 бар, використовуючи дані в Prob. \(7.6 .\)

7.8 (a) З загального диференціала\(V\) з\(T\) і\(p\) як незалежних змінних вивести відношення\((\partial \alpha / \partial p)_{T}=-\left(\partial \kappa_{T} / \partial T\right)_{p}\).
(b) Використовуйте це співвідношення для оцінки значення\(\alpha\) для бензолу при\(25^{\circ} \mathrm{C}\) і 500 бар, враховуючи, що значення\(\alpha\) становить\(1.2 \times 10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}\) при\(25^{\circ} \mathrm{C}\) і 1 бар. (Використовуйте інформацію з рис. \(7.2\)на сторінці 168.)

7.9 Певні рівняння стану, які передбачається застосовувати до неполярних рідин і газів\(p=T f\left(V_{\mathrm{m}}\right)-a / V_{\mathrm{m}}^{2}\), мають форму, де\(f\left(V_{\mathrm{m}}\right)\) є лише функцією молярного об'єму і\(a\) є постійною.
(а) Показати, що рівняння стану ван дер Ваальса\(\left(p+a / V_{\mathrm{m}}^{2}\right)\left(V_{\mathrm{m}}-b\right)=R T\) (де\(a\) і\(b\) є константами) має таку форму.
(б) Показати, що будь-яка рідина з рівнянням стану цієї форми має внутрішній тиск, рівний\(a / V_{\mathrm{m}}^{2}\).

7.10 Припустимо, що молярна теплоємність при постійному тиску речовини має температурну залежність\(C_{p, \mathrm{~m}}=a+b T+c T^{2}\), задану, де\(a, b\), і\(c\) є константами. Розглянемо нагрівання\(n\) кількості речовини від\(T_{1}\) до\(T_{2}\) при постійному тиску. Знайти вирази для\(\Delta H\) і\(\Delta S\) для цього процесу з точки зору\(a, b, c, n, T_{1}\), і\(T_{2}\).

7.11 В\(p=1 \mathrm{~atm}\) молярну теплоємність при постійному тиску алюмінію задають
\ [
C_ {p,\ mathrm {~m}} =a+b T
\]
де константи мають значення\ [
a=20.67
\ mathrm {~J}\ mathrm {~K} ^ {-1}\ mathrm {~mol} ^ {-1} ^ {-1}\ quad b= 0.01238\ mathrm {JK} ^ {-2}\ mathrm {~mol} ^ {-1}
\]
Обчислити кількість електромонтажних робіт, необхідних для\(2.000 \mathrm{~mol}\) нагрівання алюмінію від\(300.00 \mathrm{~K}\) до\(400.00 \mathrm{~K}\) ат\(1 \mathrm{~atm}\) в адіабатичному корпусі.

7.12 Температурна залежність стандартної молярної теплоємності газоподібного вуглекислого газу в діапазоні температур\(298 \mathrm{~K}-2000 \mathrm{~K}\) задається
\ [
C_ {p,\ mathrm {~m}} ^ {\ circ} =a+b T+\ frac {c} {T^ {2}}
\]
де константи мають значення
\ [
a=44.2\ матрм {K} ^ {-1}\ математика {~ моль} ^ {-1}\ квадрат b = 8.8\ раз 10^ {-3}\ математика {~K} ^ {-2}\ mathrm {~mol} ^ {-1}\ квадрат c = -8,6\ раз 10^ {5}\ mathrm {~J}\ mathrm {~J}\ mathrm thrm {~K}\ mathrm {~mol} ^ {-1}
\]
Обчисліть зміни ентальпії та ентропії, коли один моль\(\mathrm{CO}_{2}\) нагрівається на 1 бар від\(300.00 \mathrm{~K}\) до\(800.00 \mathrm{~K}\). Можна припустити, що при цьому тиск практично\(C_{p, \mathrm{~m}}\) дорівнює\(C_{p, \mathrm{~m}}^{\circ}\).

7.13 Ця проблема стосується газоподібного вуглекислого газу. При\(400 \mathrm{~K}\), співвідношення між\(p\) і\(V_{\mathrm{m}}\) при тисках щонайменше до 100 бар дається з хорошою точністю віріальним рівнянням стану усіченого

при другому віріальному коефіцієнті,\(B\). У діапазоні температур\(300 \mathrm{~K}-800 \mathrm{~K}\)\(B\) залежність від температури задається
\ [
b=a^ {\ prime} +b^ {\ prime} t+c^ {\ prime} T^ {\ prime} +d^ {\ prime} T^ {3}
\]
де константи мають значення
\ [
\ begin {aligned}
&a^ {\ прайм} =-521\ матрм {~см} ^ {3}\ математика {~моль} ^ {-1}\
&b^ {\ прайм} =2,08\ mathrm {~см} ^ {~ K} ^ {-1}\ mathrm {~mol} ^ {-1}\
&c^ {\\ prime} 2.89\ раз 10^ {-3}\ матрм {~см} ^ {3}\ математика {~K} ^ {-2}\ математика {~ моль} ^ {-1}\
&d^ {\ прайм} =1. 397\ раз 10^ {-6}\ матрм {~см} ^ {3}\ математика {~K} ^ {-3}\ математика {~моль} ^ {-1}
\ кінець {вирівняний}
\]

(а) З інформації в проб. 7.12 обчислити стандартну молярну теплоємність при постійному тиску\(C_{p, \mathrm{~m}}^{\circ}\), ат\(T=400.0 \mathrm{~K}\).

(б) Оцініть значення за\(C_{p, \mathrm{~m}}\) умов\(T=400.0 \mathrm{~K}\) і\(p=100.0\) бар.

7.14 Хімік, який потребує визначення питомої теплоємності певної рідини, але не маючи в своєму розпорядженні електрично нагрітого калориметра, використовував наступну просту процедуру, відому як краплинна калориметрія. Вона поміщається\(500.0 \mathrm{~g}\) з рідиною в термоізольований контейнер, оснащений кришкою і термометром. Записавши початкову температуру рідини\(24.80^{\circ} \mathrm{C}\), вона вийняла з киплячої водяної\(100.00^{\circ} \mathrm{C}\) бані при киплячій водяній бані блок\(60.17\) -г металу і швидко занурила його в рідину в ємність. Після того як вміст контейнера стало термічно врівноваженим, вона зафіксувала кінцеву температуру\(27.92^{\circ} \mathrm{C}\). Вона розрахувала\(C_{p} / m\) питому теплоємність рідини з цих даних, використовуючи молярну масу алюмінію\(\left(M=26.9815 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{-1}\right)\) та формулу молярної теплоємності алюмінію, наведену в Prob. \(7.11 .\)

(а) З цих даних знайти питому теплоємність рідини при припущенні, що її величина не змінюється в залежності від температури. Підказка: Розглядайте процес рівноваги температури як адіабатичний та ізобарний\((\Delta H=0)\), і прирівнюйте\(\Delta H\) до суми змін ентальпії в двох фазах.

(б) Показати, що значення, отримане в частині (а) насправді є середнім значенням\(C_{p} / m\) в діапазоні температур між початковою та кінцевою температурами рідини, заданої

\ [\ frac {\ int_ {T_ {1}} ^ {T_ {2}}\ left (C_ {p}/m\ right)\ mathrm {d} T} {T_ {2} -T_ {1}
\]

7.15 Припустимо, що газ має віріальне рівняння стану\(p V_{\mathrm{m}}=R T\left(1+B_{p} p+C_{p} p^{2}\right)\), де\(B_{p}\) і\(C_{p}\) залежать тільки від\(T\), а вищі сили\(p\) можуть бути проігноровані.
(a) Вивести вираз для коефіцієнта\(\phi\) неміцності цього газу як функція\(p\).
(b) Для\(\mathrm{CO}_{2}(\mathrm{~g})\) at\(0.00^{\circ} \mathrm{C}\) віріальні коефіцієнти мають значення\(B_{p}=-6.67 \times 10^{-3}\) бар\(^{-1}\) і\(C_{p}=-3.4 \times 10^{-5} \mathrm{bar}^{-2}\). Оцініть нечіткість\(f\) в\(0.00^{\circ} \mathrm{C}\) і\(p=20.0\) бар.

7.16 У таблиці\(7.6\) на наступній сторінці наведено значення молярного об'єму газоподібних\(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\) при\(400.00^{\circ} \mathrm{C}\) і 12 тисках.
(а) Оцініть коефіцієнт невибагливості та неміцності\(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g})\) at\(400.00^{\circ} \mathrm{C}\) та 200 bar.
(б) Показати, що другий віріальний коефіцієнт\(B\) у віріальному рівнянні стану\(p V_{\mathrm{m}}=R T(1+\)\(\left.B / V_{\mathrm{m}}+C / V_{\mathrm{m}}^{2}+\cdots\right)\), задається
\ [
B=R T\ lim _ {p\ rightarrow 0}\ left (\ frac {V_ {\ mathrm {m}}} {R T} -\ frac {1} {p}\ rightarrow)
\]
де межа приймається при постійному\(T\). Потім оцініть\(B\) за\(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g})\) at\(400.00^{\circ} \mathrm{C}\).

Таблиця 7.6 Молярний об'єм\(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}(\mathrm{g})\) at\(400.00^{\circ} \mathrm{C}^{a}\)
\ [\ begin {табличний} {cccc}
\(V_{\mathrm{m}} / 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}\)\ hline\(p / 10^{5} \mathrm{~Pa}\)\(V_{\mathrm{m}} / 10^{-3} \mathrm{~m}^{3} \mathrm{~mol}^{-1}\)\(p / 10^{5} \mathrm{~Pa}\) & &
\\ hline 1\(55.896\) & 100 &\(0.47575\)\\
10\(5.5231\) & 120 & \(0.37976\)\\
20\(2.7237\) & 140 &\(0.31020\)\\
40\(1.3224\) & 160 &\(0.25699\)\\
60\(0.85374\) & 180 &\(0.21447\)\\
80\(0.61817\) & 200 &\(0.17918\)\\
\ hline
\ end {табличний}\] на
\({ }^{a}\) основі даних в Ref. [75]