4.3: Концепції, розроблені за допомогою двигунів Carnot

Template:DeVoeMathJax

4.3.1 Двигуни Карно та цикли Карно

Чи може ефективність двигуна Карно відрізнятися від ефективності теплового насоса при роботі заднього ходу як двигун Карно? Якщо так, то або надсистема є неможливим пристроєм Клаузіуса, як показано на рис. 4.7 (б), або надсистема, що працює в зворотному напрямку (з перемиканням ролей двигуна та теплового насоса), є неможливим пристроєм Клаузіуса, як показано на рис. 4.7 (г). Зробимо висновок, що всі двигуни Карно, що працюють між однаковими двома температурами, мають однаковий ККД.

Це гарне місце, щоб зробити паузу і подумати про сенс цього твердження у світлі того факту, що кроки двигуна Карно, будучи оборотними змінами, не можуть відбуватися в реальній системі (п. 3.2). Як може працювати двигун, який не є реальним? Твердження є прикладом поширеного виду термодинамічної стенографії. Щоб виразити одну і ту ж ідею більш точно, можна сказати, що всі теплові двигуни (реальні системи), що працюють між однаковими двома температурами, мають однакову граничну ефективність, де межа - оборотний межа наближається в міру того, як кроки циклу виконуються все повільніше і повільніше. Ви повинні інтерпретувати будь-яке твердження, що включає оборотний процес, подібним чином: оборотний процес - це ідеалізований обмежувальний процес, до якого можна підійти, але ніколи не досягти реальної системи.

Таким чином, ККД двигуна Карно повинен залежати тільки від значень,\(T\subs{c}\)\(T\subs{h}\) а не від властивостей робочої речовини. Оскільки ефективність задається\(\epsilon = 1+q\subs{c}/q\subs{h}\), співвідношення\(q\subs{c}/q\subs{h}\) повинно бути унікальною функцією\(T\subs{c}\) і\(T\subs{h}\) тільки. Щоб знайти цю функцію для температур за шкалою ідеальної температури газу, найпростіше вибрати в якості робочої речовини ідеальний газ.

Ідеальний газ має рівняння стану\(pV=nRT\). Його внутрішня зміна енергії в замкнутій системі задається\(\dif U = C_V\dif T\) (Eq. 3.5.3), де\(C_V\) (тільки функція\(T\)) - теплоємність при постійному обсязі. Реверсивне розширення роботи дається тим\(\dw = -p\dif V\), що для ідеального газу стає\(\dw = -(nRT/V)\dif V\). Підставляючи ці вирази на\(\dif U\) і\(\dw\) в першому законі\(\dif U = \dq + \dw\), і вирішуючи для\(\dq\), отримуємо\ begin {gather}\ s {\ dq = C_V\ dif T +\ frac {nRT} {V}\ dif V}\ tag {4.3.4}\ cond {(ідеальний газ, оборотний}\ nextcond {тільки робота розширення)}\ end {gather} Розділення обох сторін на \(T\)дає\ почати {збирати}\ s {\ frac {\ dq} {T} =\ frac {C_V\ dif T} {T} + nR\ frac {\ dif V} {V}}\ tag {4.3.5}\ cond {(ідеальний газ, оборотний}\ nextcond {лише робота розширення)}\ кінець {зібрати} У двох адіабатичних кроках Карно цикл,\(\dq\) дорівнює нулю. Отримано співвідношення між томами чотирьох мічених станів, показаних на рис. 4.3, інтегруючи над цими кроками ур. 4.3.5 та встановлення інтегралів рівних нулю:\ begin {рівняння}\ tx {Шляхи B\(\ra\) C:}\ qquad\ int\! \ frac {\ dq} {T} =\ int_ {T\ subs {h}} ^ {T\ subs {c}}\ розрив {C_V\ dif T} {T} + nR\ ln\ frac {V\ subs {C}} {V\ subs {B}} = 0\ тег {4.3.6}\ кінець {рівняння}

\ begin {рівняння}\ tx {Шлях D\(\ra\) A:}\ qquad\ int\! \ frac {\ dq} {T} =\ int_ {T\ subs {c}} ^ {T\ subs {h}}\ frac {C_V\ dif T} {T} + nR\ ln\ frac {V\ subs {A}} {V\ subs {D}} = 0\ tag {4.3.7}\ кінець {рівняння}} Додавання цих двох рівнянь (інтеграли, показані з границями скасування) дає відношення\ begin {рівняння} nR\ ln\ frac {V\ subs {A} V\ subs {C}} {V\ subs {B} V\ subs {D}} =0\ tag {4.3.8}\ end { рівняння} яке ми можемо переставити на\ begin {gather}\ s {\ ln (V\ subs {B}/V\ subs {A}) = -\ ln (V\ subs {D}/V\ subs {C})}\ tag {4.3.9}\ cond {(ідеальний газ, цикл Карно)}\ end {gather} Отримуємо вирази для тепла в двох ізотермічних кроках інтеграція Eq. 4.3.4 з\(\dif T\) набором, рівним 0. \ begin {рівняння}\ tx {Шлях A\(\ra\) B}:\ qquad q\ subs {h} = nRT\ subs {h}\ ln (V\ subs {B}/V\ subs {A})\ тег {4.3.10}\ кінець {рівняння}\ початок {рівняння}\ tx {Шлях C\(\ra\) D}:\ qquad q\ subs {c} = nRT\ subs {c}}\ ln (V\ subs {D}/V\ subs {C})\ tag {4.3.11}\ end {рівняння} Співвідношення\(q\subs{c}\) та\(q\subs{h}\) отримано від ці вирази є\ почати {рівняння}\ розрив {q\ subs {c}} {q\ subs {h}} =\ гідророзриву {T\ subs {c}} {T\ subs {h}}\ раз\ frac {\ ln (V\ subs {D}/V\ subs {C})} {\ ln (V\ subs {B}/V\ subs {A})}\ tag {4.3.12}\ кінець {рівняння} За допомогою Eq. 4.3.9 це співвідношення стає\ begin {збирати}\ s {\ frac {q\ subs {c}} {q\ subs {h}} =-\ frac {T\ subs {c}} {T\ subs {h}} \ tag {4.3.13}\ cond {(Цикл Карно)}\ end {gather} Відповідно, унікальною функцією\(T\subs{c}\) і\(T\subs{h}\) ми прагнемо, що дорівнює\(q\subs{c}/q\subs{h}\) є співвідношенням\(-T\subs{c}/T\subs{h}\). Ефективність, з еквалайзера 4.3.3, потім задається\ begin {gather}\ s {\ epsilon = 1 -\ frac {T\ subs {c}} {T\ subs {h}}\ tag {4.3.14}\ cond {(двигун Карно)}\ кінець {зібрати} У Eqs. 4.3.13 і 4.3.14,\(T\subs{c}\) і\(T\subs{h}\) є температурами за шкалою ідеального газу. Як ми бачили, ці рівняння повинні бути дійсними для будь-якої робочої речовини; не потрібно вказувати як умову валідності, що система є ідеальним газом.

Співвідношення\(T\subs{c}/T\subs{h}\) позитивне, але менше одного, тому ефективність менше, ніж одиниця, як виведено раніше. Цей висновок є ілюстрацією заяви Кельвіна-Планка другого закону: Тепловий двигун не може мати ККД єдності - тобто він не може за один цикл перетворити всю енергію, передану теплом з одного теплового резервуара, в роботу. Приклад, показаний на рис. 4.5, з\(\epsilon = 1/4\), must\(T\subs{c}/T\subs{h} = 3/4\) have (наприклад,\(T\subs{c} = 300\K\) і\(T\subs{h} = 400\K\)).

Майте на увазі, що двигун Карно працює оборотно між двома тепловими резервуарами. Вираз Eq. 4.3.14 дає ефективність цього виду ідеалізованого теплового двигуна тільки. Якщо будь-яка частина циклу виконується необоротно, розсіювання механічної енергії призведе до того, що ККД буде нижчим, ніж теоретичне значення, дане еквалайзером 4.3.14.

4.3.4 Термодинамічна температура

Негативне співвідношення\(q\subs{c}/q\subs{h}\) для циклу Карно залежить лише від температур двох теплових резервуарів. Кельвін (1848 р.) запропонував використовувати це співвідношення для встановлення «абсолютної» температурної шкали. Фізична величина, яка зараз називається термодинамічною температурою, визначається співвідношенням\ begin {gather}\ s {\ frac {T\ subs {c}} {T\ subs {h}} =-\ frac {q\ subs {c}} {q\ subs {h}}\ tag {4.3.15}\ cond {(цикл Карно)}\ кінець {зібрати} Тобто співвідношення термодинамічні температури двох теплових колекторів рівні, на визначення, до відношення абсолютних величин тепла, що передається на ізотермічних етапах циклу Карно, що працює між цими двома температурами. В принципі, вимірювання\(q\subs{c}/q\subs{h}\) протягом циклу Карно в поєднанні з певним значенням термодинамічної температури одного з теплових колекторів може встановити термодинамічну температуру іншого теплового резервуара. Це визначене значення забезпечується потрійною точкою H\(_2\) O; її термодинамічна температура визначається як саме\(273.16\) кельвіни.

Подібно до того, як вимірювання газовим термометром в межі нульового тиску встановлюють шкалу ідеальної температури газу (п. 2.3.5), поведінка теплового двигуна в реверсивному межі встановлює термодинамічну температурну шкалу. Однак зауважте, що реверсивний двигун Карно, який використовується як «термометр» для вимірювання термодинамічної температури, є лише теоретичною концепцією, а не практичним інструментом, оскільки повністю оборотний процес не може відбуватися на практиці.

Тепер можна обґрунтувати твердження в п. 2.3.5 про те, що температурна шкала ідеального газу пропорційна термодинамічній температурній шкалі. Як Eq. 4.3.13, так і Eq. 4.3.15 прирівнюють відношення\(T\subs{c}/T\subs{h}\) до\(-q\subs{c}/q\subs{h}\); але тоді як\(T\subs{c}\) і\(T\subs{h}\) відносяться в еквалайзері 4.3.13 до ідеальних газових температур теплових резервуарів, в Eq. 4.3.15 вони відносяться до термодинамічних температур. Це означає, що співвідношення ідеально-газових температур двох тіл дорівнює відношенню термодинамічних температур одних і тих же тіл, і тому дві шкали пропорційні один одному. Коефіцієнт пропорційності є довільним, але повинен бути одиницею, якщо в обох масштабах використовується одна і та ж одиниця (наприклад, кельвіни). Таким чином, як зазначено в п. 2.3.5, дві шкали, виражені в кельвінів, ідентичні.