3.11: Глава 3 Проблеми
- Page ID
- 26543
Підкреслений номер задачі або буква проблемної частини вказує на те, що числова відповідь з'являється в Додатку I.
3.1 Припустимо, що у вас є металева пружина, яка підпорядковується закону Гука:\(F=c\left(l-l_{0}\right)\), де\(F\) сила, що чиниться на пружину довжини,\(l, l_{0}\) - це довжина ненаголошеної пружини, а\(c\) постійна пружини. Знайдіть вираз для роботи, виконаної на пружині, коли ви оборотно стискаєте її від довжини\(l_{0}\) до меншої довжини\(l^{\prime}\).
3.2 Апарат, показаний на рис. \(3.22\)складається з фіксованої кількості води та повітря та нестисливої твердої скляної сфери (мармуру), все укладене в жорстку посудину, що спирається на лабораторний стенд. Припустимо, мармур має адіабатичний зовнішній шар, так що його температура не може змінюватися, і що стінки судини також адіабатичні.
Спочатку мармур підвішується над водою. При звільненні він падає через повітря у воду і приходить відпочивати на дні посудини, внаслідок чого вода і повітря (але не мармур) стають трохи теплішими. Процес завершується, коли система повертається в рівноважний стан. Зміна енергії системи під час цього процесу залежить від системи відліку і від того, як система визначена. \(\Delta E_{\text {sys }}\)це зміна енергії в лабораторному кадрі, і\(\Delta U\) це зміна енергії в заданому локальному кадрі.
Для кожного з наступних визначень системи дайте знак (позитивний, негативний або нульовий) обох\(\Delta E_{\text {sys }}\) і\(\Delta U\), і викладіть свої міркування. Візьміть локальний кадр для кожної системи як кадр центру маси.
(а) Система є мармуром.
(б) Система являє собою поєднання води і повітря.
(c) Система являє собою поєднання води, повітря та мармуру.
3.3\(3.23\) На малюнку показано початковий стан апарату, що складається з ідеального газу в колбі, запірного крана, пористої пробки і циліндра, що містить поршень без тертя. Стіни діатермальні, а оточення знаходяться при постійній температурі\(300.0 \mathrm{~K}\) і постійному тиску\(1.00 \mathrm{bar}\).
При відкритті запірного крана газ повільно розсіюється через пористу пробку, а поршень повільно рухається вправо. Процес закінчується, коли тиск вирівнюється і поршень перестає рухатися. Система газова. Припустимо, що під час процесу температура по всій системі відрізняється лише нескінченно від\(300.0 \mathrm{~K}\) і тиск по обидва боки поршня відрізняється лише нескінченно від\(1.00\) бар.
(а) Який із цих термінів правильно описує процес: ізотермічний, ізобарний, ізохорний, оборотний, незворотний?
(б) Обчислити\(q\) і\(w\).
3.4 Розглянемо горизонтальне циліндро-поршневий пристрій, аналогічне показаному на рис. \(3.5\)на сторінці 72. Поршень має масу\(m\). Стінка циліндра діатермальна і знаходиться в тепловому контакті з тепловим резервуаром температури\(T_{\text {ext }}\). Система являє собою кількість\(n\) ідеального газу, обмеженого в циліндрі поршнем.
Початковий стан системи - це стан рівноваги, описане\(p_{1}\) і\(T=T_{\text {ext }}\). Існує постійне зовнішнє тиск\(p_{\text {ext }}\), рівне дворазовому\(p_{1}\), що подає постійну зовнішню силу на поршень. Коли поршень звільняється, він починає рухатися вліво для стиснення газу. Зробіть ідеалізовані припущення, що (1) поршень рухається з незначним тертям; і (2) газ залишається практично рівномірним (оскільки поршень масивний і його рух повільний) і має практично постійну температуру\(T=T_{\text {ext }}\) (оскільки температурне рівноваження швидке).
(a) Опишіть отриманий процес.
(б) Опишіть, як ви могли б обчислити\(w\) і\(q\) протягом періоду, необхідного для того, щоб швидкість поршня знову стала нульовою.
(в) Розрахувати\(w\) і\(q\) протягом цього періоду для\(0.500 \mathrm{~mol}\) газу при\(300 \mathrm{~K}\).
3.5 Ця задача призначена для перевірки твердження на сторінці 60 про те, що для типових термодинамічних процесів, в яких змінюється висота центру мас, зазвичай це гарне наближення, щоб встановити\(w\) рівне\(w_{\text {lab. }}\). Циліндр, показаний на рис. \(3.24\)на попередній сторінці має вертикальну орієнтацію, тому висота центру маси газу, обмеженого поршнем, змінюється в міру ковзання поршня вгору або вниз. Система газова. Припустимо, що газ азот\(\left(M=28.0 \mathrm{~g} \mathrm{~mol}^{1}\right)\) при\(300 \mathrm{~K}\), а спочатку вертикальна довжина\(l\) газової колонки дорівнює одному метру. Розглядайте азот як ідеальний газ, використовуйте локальну рамку центру маси і візьміть центр маси, щоб бути в середній точці газової колонки. Знайти різницю між значеннями\(w\) і\(w_{\text {lab }}\), вираженими у відсотках\(w\), коли газ розширюється оборотно і ізотермічно до подвійного його початкового обсягу.
3.6\(3.25\) На малюнку зображений ідеальний газ, обмежений поршнем без тертя у вертикальному циліндрі. Система - газова, а межа - адіабатична. Спускається зусилля на поршень можна варіювати, змінюючи вагу поверх нього.
(а) Показати, що коли система знаходиться в рівноважному стані, тиск газу задається тим,\(p=\)\(m g h / V\) де\(m\) об'єднана маса поршня і вага,\(g\) - це прискорення вільного падіння, і\(h\) це висота поршня, показана на малюнку.
(б) Спочатку об'єднана маса поршня і вага становить\(m_{1}\), поршень знаходиться на висоті\(h_{1}\), а система знаходиться в рівноважному стані з умовами\(p_{1}\) і\(V_{1}\). Початкова температура -\(T_{1}=p_{1} V_{1} / n R\). Припустимо, що на поршень раптово ставиться додаткова вага, так що\(m\) збільшується від\(m_{1}\) до\(m_{2}\), в результаті чого поршень опускається, а газ стискається адіабатично і спонтанно. Градієнти тиску в газі, форма тертя, врешті-решт змушують поршень відпочити в кінцевому положенні\(h_{2}\). Знайти кінцевий обсяг\(V_{2}\), як функція\(p_{1}, p_{2}, V_{1}\), і\(C_{V} .\) (Припустимо, що теплоємність газу\(C_{V}\), не залежить від температури.) Підказка: Потенційна енергія оточення змінюється на\(m_{2} g \Delta h\); оскільки кінетична енергія поршня і ваг дорівнює нулю на початку і кінці процесу, а межа адіабатична, внутрішня енергія газу повинна змінюватися на\(-m_{2} g \Delta h=-m_{2} g \Delta V / A_{\mathrm{s}}=-p_{2} \Delta V\).
(c) Може здатися, що, зробивши вагу, розміщену на поршні, досить великим,\(V_{2}\) можна зробити якомога ближче до нуля. Насправді, однак, це не так. Знайдіть вирази для\(V_{2}\) і\(T_{2}\) в межі, як\(m_{2}\) наближається нескінченність, і оцініть\(V_{2} / V_{1}\) в цій межі, якщо теплоємність є\(C_{V}=(3 / 2) n R\) (значення для ідеального одноатомного газу при кімнатній температурі).
3.7 Тверда крива на рис. \(3.7\)показує шлях оборотного адіабатичного розширення або стиснення фіксованої кількості ідеального газу. Інформація про газ наведена в підписі до малюнка. Для стиснення по цьому шляху, починаючи з\(V=0.3000 \mathrm{dm}^{3}\)\(T=300.0 \mathrm{~K}\) і закінчуючи на\(V=0.1000 \mathrm{dm}^{3}\), знайдіть кінцеву температуру до\(0.1 \mathrm{~K}\) і роботу.
3.8\(3.26\) На малюнку показано початковий стан апарату, що містить ідеальний газ. При відкритті запірного крана газ переходить в евакуйований посудину. Система газова. Знайти\(q, w\), причому\(\Delta U\) при наступних умовах.
(а) Судини мають адіабатичні стінки.
(б) Судини мають діатермальні стінки, що знаходяться в тепловому контакті з водяною банєю\(300 . \mathrm{K}\), що підтримується, і кінцева температура в обох судинах-це\(T=300 . \mathrm{K}\).
3.9 Розглянемо оборотний процес, при якому вал системи А на рис. \(3.11\)робить один оборот в бік збільшення\(\vartheta\). Покажіть, що гравітаційна робота ваги така ж, як і робота вала, задана\(w=m g r \Delta \vartheta\).
Таблиця 3.2 Дані для завдання 3.10. Значення взяті з паперу Джоуля 1850\(^{a}\) і були перетворені в одиниці СІ.
\({ }^{a}\)Сф. [91], с. 67, експеримент\(5 .\)
\({ }^{b}\) Розрахований з мас і питомої теплоємності матеріалів.
3.10 Ця задача проведе вас через розрахунок механічного еквівалента тепла, використовуючи дані одного з експериментів Джеймса Джоуля з лопатевим колесним апаратом (див. Експериментальні дані зібрані в таблиці 3.2.
У кожному своєму досліді Джоуль дозволяв вагах апарату опускатися на підлогу двадцять разів з висоти близько\(1.6 \mathrm{~m}\), використовуючи кривошип для підняття ваг перед кожним спуском (див. Рис. \(3.14\)на сторінці 89). Весло колесо зачепилося з вагами через ролик і струни тільки тоді, коли гирі опускалися. Кожен спуск займав близько 26 секунд, а весь експеримент тривав 35 хвилин. Джоуль вимірював температуру води за допомогою чутливого ртутного термометра в склі як на початку, так і в кінці експерименту.
Для цілей розрахунків визначте систему, яка повинна бути комбінація судна, його вміст (включаючи весло колесо і воду), і його кришку. Всі енергії вимірюються в лабораторному кадрі. Ігноруйте невелику кількість робіт з розширення, що відбуваються в експерименті. Це допомагає концептуально думати про кімнату підвалу, в якій Джоуль встановив свій апарат як ефективно ізольований від решти Всесвіту; тоді єдине оточення, яке потрібно враховувати для розрахунків, - це частина кімнати поза системою.
(а) Обчисліть зміну гравітаційної потенційної енергії\(E_{\mathrm{p}}\) свинцевих ваг під час кожного з спусків. Для прискорення вільного падіння в Манчестері, Англія (де Джоуль проводив експеримент) використовують значення\(g=9.813 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\). Ця зміна енергії являє собою зменшення енергії оточення і була б рівною за величиною і протилежною за знаком перемішувальної роботи, виконаної в системі, якби не було інших змін в оточенні.
(б) Обчисліть кінетичну енергію\(E_{\mathrm{k}}\) спадних ваг безпосередньо перед тим, як вони досягли підлоги. Це являє собою збільшення енергії оточення. (Ця енергія розсіювалася в теплову енергію в оточенні, коли ваги прийшли відпочивати на підлозі.)
(в) Джоуль встановив, що під час кожного спуску ваг тертя в струн і шківів зменшувалося кількість робіт, виконаних на системі\(2.87 \mathrm{~J}\). Ця величина являє собою збільшення теплової енергії оточення. Джоуль також вважав незначне розтягнення струн при підвішуванні на них ваг: коли гирі прийшли упиратися в підлогу, напруга знімалася і потенційна енергія струн змінювалася на\(-1.15 \mathrm{~J}\). Знайдіть сумарну зміну енергії оточення протягом всього експерименту від усіх описаних ефектів до цього моменту. Майте на увазі, що ваги за час експерименту опускалися в 20 разів.
(d) Дані в таблиці\(3.2\) показують, що зміна температури системи під час експерименту була
\ [
\ Delta T =( 289.148-288.829)\ mathrm {K} =+0,319\ mathrm {~K}
\]
Судно веслового колеса не мало теплоізоляції, а температура повітря була трохи тепліше, тому під час експерименту відбулася передача деякого тепла в систему. З процедури корекції, описаної Джоулем, зміна температури, яка відбулася б, якби судно було ізольовано, оцінюється як\(+0.317 \mathrm{~K}\).
Використовуйте цю інформацію разом з вашими результатами з частини (c) для оцінки роботи, необхідної для підвищення температури одного грама води на один кельвін. Це «механічний еквівалент тепла» при середній температурі системи під час експерименту. (Як згадувалося на стор. 87, Джоуль отримав значення на\(4.165 \mathrm{~J}\) основі всіх 40 його експериментів.)
3.11 Зверніться до апарату, зображеному на рис. \(3.1\)на сторінці 61. Припустимо, маса зовнішньої ваги є\(m=1.50 \mathrm{~kg}\), опір електричного резистора є\(R_{\mathrm{el}}=5.50 \mathrm{k} \Omega\), а прискорення вільного падіння -\(g=9.81 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\). Протягом якого періоду часу потрібно буде працювати зовнішній елемент, забезпечуючи різницю електричних потенціалів\(|\Delta \phi|=1.30 \mathrm{~V}\), щоб викликати таку ж зміну стану системи, що і зміна, коли вага тоне\(20.0 \mathrm{~cm}\) без електромонтажних робіт? Припустимо, обидва процеси відбуваються адіабатично.