Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

25.3: Статистика Бозе-Ейнштейна та функція розподілу Бозе-Ейнштейна

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    21815

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Для частинок, які слідують статистиці Бозе-Ейнштейна, ми дозволяємо ймовірність мікростану енергії\(E\) в системі\(N\) -частинки бути\({\rho }^{BE}_{MS,N,E}\). Для ізольованої системи частинок Бозе-Ейнштейна загальна сума ймовірності дорівнює

    \[1=\sum_{\{N_i\}}{W^{BE}\left(N_i,g_i\right){\rho }^{BE}_{MS,N,E}} \label{eq1}\]

    Потрібно знайти\(W^{BE}\left(N_i,g_i\right)\), за кількістю способів віднести нерозрізнювані частинки до квантових станів, якщо якась кількість частинок може займати однаковий квантовий стан.

    Почнемо з розгляду кількості способів, якими\(N_i\) частинки можуть бути віднесені до\(g_i\) квантових станів, пов'язаних з енергетичним рівнем\({\epsilon }_i\). Ми бачимо, що найменша кількість квантових станів, які можна використовувати, - це одне; ми можемо помістити всі частинки в один квантовий стан. З іншого боку, ми не можемо використовувати більше, ніж\(N_i\) квантові стани, які ми використовуємо, коли надаємо кожній частинці свій квантовий стан. Ми можемо розглядати цю проблему як знайти кількість способів ми можемо намалювати стільки, скільки\(g_i\) ящиків навколо\(N_i\) точок. Створимо схему для малювання таких коробок. Припустимо, у нас лінійна рамка, на якій є ряд локацій. Кожне місце може містити одну частинку. Каркас закривається з обох кінців. Між кожною наступною парою місць утримання частинок є щілина, в яку можна вставити стіну. Цей кадр намальований на малюнку 1.

    Знімок екрана 2019-10-17 в 8.43.23 PM.png
    Малюнок 1. Схема призначення частинок Бозе-Ейнштейна для вироджених енергетичних рівнів.

    Коли ми вставляємо\(\left(g_i-1\right)\) стіни в ці щілини, каркас містить\(g_i\) ящики. Ми хочемо мати можливість вставляти стінки так, щоб\(N_i\) частинки розподілялися між\(g_i\) коробками таким чином, щоб ми могли мати будь-яку бажану кількість частинок в будь-якій бажаній кількості коробок. (Звичайно, розміщення стін підпорядковане обмеженням, які ми використовуємо в більшості\(g_i\) ящиків і саме\(N_i\) частинок.) Ми можемо досягти цього, сконструювавши каркас, щоб мати\(\left(N_i+g_i-1\right)\) місця утримання частинок. Щоб переконатися в цьому, ми думаємо про випадок, який вимагає найбільшої кількості місць утримання частинок. Це той випадок, коли всі\(N_i\) частинки знаходяться в одній коробці. (Див. Малюнок 2.) Для цього випадку нам потрібні\(N_i\) зайняті локації і\(\left(g_i-1\right)\) незайняті локації.

    Знімок екрана 2019-10-17 в 8.43.30 PM.png
    Малюнок 2. Максимальний розмір кадру для\(N_i\) частинок у\(g_i\) місцях.

    Тепер розглянемо кількість способів, якими ми можемо вставити\(\left(g_i-1\right)\) стіни в\(\left(N_i+g_i-1\right)\) щілини. Перша стіна може заходити в будь-яку з\(\left(N_i+g_i-1\right)\) щілин. Другий може заходити в будь-який з\(\left(N_i+g_i-1-\left(-1\right)\right)\) або\(\left(N_i+g_i-2\right)\) слотів. Остання стіна може заходити в будь-яку з\(\left(N_i+g_i-1-\left(g_i-2\right)\right)\) або\(\left(N_i+1\right)\) щілин. Загальна кількість способів вставки\(\left(g_i-1\right)\) стін, отже,

    \[\begin{align*} \left(N_i+g_i-1\right)\left(N_i+g_i-2\right)\dots \left(N_i+1\right) &=\frac{\left(N_i+g_i-1\right)\left(N_i+g_i-2\right)\dots \left(N_i+1\right)\left(N_i\right)\dots \left(2\right)\left(1\right)}{N_i!} \\[4pt] &=\frac{\left(N_i+g_i-1\right)!}{N_i!} \end{align*}\]

    Ця сума більше, ніж відповідь, яку ми шукаємо, оскільки вона включає всі перестановки стін. При цьому не має значення, чи займає перша, друга або остання стіна задану щілину. Тому отриманий нами вираз надмірно підраховує кількість\(\left(g_i-1\right)!\), яку ми шукаємо за фактором, який є кількістю способів перестановки\(\left(g_i-1\right)\) стін. Тому ми маємо, що\(N_i\) частинки можуть бути віднесені до\(g_i\) квантових станів в

    \[\frac{\left(N_i+g_i-1\right)!}{N_i!\left(g_i-1\right)!}\]

    способи, а значить

    \[ \begin{align*} W^{BE}\left(N_i,g_i\right) &=\left[\frac{\left(N_1+g_1-1\right)!}{\left(g_1-1\right)!N_1!}\right]\times \left[\frac{\left(N_2+g_2-1\right)!}{\left(g_2-1\right)!N_2!}\right]\times \dots \times \left[\frac{\left(N_i+g_i-1\right)!}{\left(g_i-1\right)!N_i!}\right]\times \dots \\[4pt] &=\prod^{\infty }_{i=1}{\left[\frac{\left(N_i+g_i-1\right)!}{\left(g_i-1\right)!N_i!}\right]} \end{align*}\]

    так що загальна сума ймовірностей для системи Бозе-Ейнштейна стає (через Equation\ ref {eq1}):

    \[1=\sum_{\{N_j\}}{\prod^{\infty }_{i=1}{\left[\frac{\left(N_i+g_i-1\right)!}{\left(g_i-1\right)!N_i!}\right]}}{\left[{\rho }^{BE}\left({\epsilon }_i\right)\right]}^{N_i}\]

    Щоб знайти функцію розподілу Бозе-Ейнштейна, ми шукаємо сукупність,\(\{N_1\mathrm{,\ }N_2\mathrm{,\dots ,\ }N_i\mathrm{,\dots }\}\) для якої\(W^{BE}\) є максимумом, з урахуванням обмежень

    \[N=\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}\]і\[E=\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}{\epsilon }_i\]

    Мнемонічна функція

    \[F^{BE}_{mn}=\sum^{\infty }_{i=1}{\left[\left(N_i+g_i-1\right){ \ln \left(N_i+g_i-1\right)-\left(N_i+g_i-1\right)\ }-N_i{ \ln N_1+N_i\ }-\left(g_i-1\right){ \ln \left(g_i-1\right)+\left(g_i-1\right)\ }\right]}+\alpha \left(N-\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}\right)+\beta \left(E-\sum^{\infty }_{i=1}{N_i{\epsilon }_i}\right)\]

    Ми шукаємо те,\(N^{\textrm{⦁}}_i\) для чого\(F^{BE}_{mn}\) є екстремум; тобто\(N^{\textrm{⦁}}_i\) задовольняє

    \[\begin{align*} 0&=\frac{\partial F^{BE}_{mn}}{\partial N^{\textrm{⦁}}_i} \\[4pt] &=\frac{N^{\textrm{⦁}}_i+g_i-1}{N^{\textrm{⦁}}_i+g_i-1}+{ \ln \left(N^{\textrm{⦁}}_i+g_i-1\right)-1-\frac{N^{\textrm{⦁}}_i}{N^{\textrm{⦁}}_i}-{ \ln N^{\textrm{⦁}}_i\ }\ }+1-\alpha -\beta {\epsilon }_i \\[4pt]&=-{ \ln \frac{N^{\textrm{⦁}}_i}{N^{\textrm{⦁}}_i+g_i-1}\ }-\alpha -\beta {\epsilon }_i \end{align*}\]

    Вирішуючи для\(N^{\textrm{⦁}}_i\), знаходимо

    \[N^{\textrm{⦁}}_i=\frac{\left(g_i-1\right)e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}{1-e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}\approx \frac{g_ie^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}{1-e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}\]

    де останній вираз використовує той факт, що зазвичай\(g_i\) є дуже великою кількістю, тому помилка, введена заміною на, як правило,\(\left(g_i-1\right)\) незначна\(g_i\). Якщо\(1\gg e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}\) функція розподілу Бозе-Ейнштейна зводиться до функції розподілу Больцмана. Як ми знаходимо в розділі 25.2, це завжди стосується молекулярного газу при температурі навколишнього середовища.

    Нотатки

    \({}^{1}\)Річард Толман, Принципи статистичної механіки, Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979, стор 367-378. (Це перевидання книги, спочатку опублікованої в 1938 році Oxford University Press.)

    \({}^{2}\)Малком Доул, Вступ до статистичної термодинаміки, Prentice Hall, Inc., Нью-Йорк, 1954, стор. 206-215.