25.2: Статистика Фермі-Дірака та функція розподілу Фермі-Дірака

Last updated
Save as PDF

Page ID: 21806

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо загальну суму ймовірності для системи частинок, яка слідує за статистикою Фермі-Дірака. Як і раніше, ми дозволяємо\({\epsilon }_1\)\({\epsilon }_2\),,...\({\epsilon }_i\),,... бути енергіями послідовних енергетичних рівнів. Ми дозволяємо\(g_1\)\(g_2\),,...\(g_i\),,.... бути виродженнями цих рівнів. Ми дозволяємо\(N_1\)\(N_2\),,...\(N_i\),,.... бути кількістю частинок у всіх вироджених квантових станах заданого енергетичного рівня. Імовірність знаходження частинки в квантовому стані залежить від кількості частинок в системі; ми маємо\(\rho \left(N_i,{\epsilon }_i\right)\) скоріше ніж\(\rho \left({\epsilon }_i\right)\). Отже, ми не можемо генерувати загальну суму ймовірності шляхом розширення рівняння на кшталт

\[1={\left(P_1+P_2+\dots +P_i+\dots \right)}^N.\]

Однак ми продовжуємо припускати:

На кінцеву підмножину наборів населення, доступних системі, припадає майже вся ймовірність, коли система утримується в середовищі з постійною температурою.
По суті, однакова кінцева підмножина множин населення припадає майже на всю ймовірність, коли система ізольована.
Всі мікростани, які мають задану енергію, мають однакову ймовірність. Ми дозволяємо цій ймовірності бути\({\rho }^{FD}_{MS,N,E}\).

Як і раніше, загальна сума ймовірності буде мати вигляд\[1=\sum_{\{N_i\}}{W^{FD}\left(N_i,{\epsilon }_i\right)}{\rho }^{FD}_{MS,N,E}\]

Кожен такий термін відображає той факт, що існують\(W^{FD}\left(N_i,{\epsilon }_i\right)\) способи помістити\(N_1\) частинки в\(g_1\) квантові стани енергетичного рівня\({\epsilon }_1\), а\(N_2\) частинки в\(g_2\) квантові стани енергетичного рівня\({\epsilon }_2\), і, загалом,\(N_i\) частинки в\(g_i\) квантові стани енергетичного рівня\({\epsilon }_i\). Однак на відміну від статистики Больцмана ймовірності різні для послідовних частинок, тому коефіцієнт\(W^{FD}\) відрізняється від коефіцієнта поліноміального, або термодинамічної ймовірності\(W\). Натомість ми повинні виявити кількість способів помістити\(N_i\) нерозрізнені частинки у\(g_i\) вироджені квантові стани енергії,\({\epsilon }_i\) коли даний квантовий стан може містити не більше однієї частинки.

Ці умови можуть бути виконані тільки в тому випадку, якщо\(g_i\ge N_i\). Якщо покласти\(N_i\) частинки в квантові стани енергії\({\epsilon }_i\), то є

\(g_i\)способи розміщення першої частки, але тільки
\(g_i-1\)способи розміщення другого, і
\(g_i-2\)способи розміщення третього, і
...
\(g_i-\left(N_i-1\right)\)способи розміщення останньої з\(N_i\) частинок.

Це означає, що є

\[\left(g_i\right)\left(g_i-1\right)\left(g_i-2\right)\dots \left(g_i-\left(N_i+1\right)\right)=\]

\[=\frac{\left(g_i\right)\left(g_i-1\right)\left(g_i-2\right)\dots \left(g_i-\left(N_i+1\right)\right)\left(g_i-N_i\right)\dots \left(1\right)}{\left(g_i-N_i\right)!}=\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!}\]

способи розміщення\(N_i\) частинок. Оскільки частинки не можна відрізнити один від одного, ми повинні виключити призначення, які відрізняються лише способом\(N_i\) перестановки частинок. Для цього ми повинні розділити на\(N_i!\). Кількість способів введення\(N_i\) нерозрізнених частинок в\(g_i\) квантові стани з не більш ніж однією частинкою в квантовому стані становить\[\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!N_i!}\]

Число способів занесення нерозрізнених частинок Фермі-Дірака популяції\(\{N_1\mathrm{,\ }N_2\mathrm{,\dots ,\ }N_i\mathrm{,\dots }\}\) в наявні енергетичні стани становить

\[W^{FD}\left(N_i,g_i\right)=\left[\frac{g_1!}{\left(g_1-N_1\right)!N_1!}\right]\times \left[\frac{g_2!}{\left(g_2-N_2\right)!N_2!}\right]\times \dots \times \left[\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!N_i!}\right]\times \dots =\prod^{\infty }_{i=1}{\left[\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!N_i!}\right]}\]

так що загальна сума ймовірності для системи Фермі-Дірака стає

\[1=\sum_{\{N_j\}}{\prod^{\infty }_{i=1}{\left[\frac{g_i!}{\left(g_i-N_i\right)!N_i!}\right]}{\left[{\rho }^{FD}\left({\epsilon }_i\right)\right]}^{N_i}}\]

Щоб знайти функцію розподілу Фермі-Дірака, ми шукаємо сукупність,\(\{N_1\mathrm{,\ }N_2\mathrm{,\dots ,\ }N_i\mathrm{,\dots }\}\) для якої\(W^{FD}\) є максимумом, з урахуванням обмежень

\[N=\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}\]і\[E=\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}{\epsilon }_i\]

Мнемонічна функція стає

\[F^{FD}_{mn}=\sum^{\infty }_{i=1}{ \ln g_i!\ } -\sum^{\infty }_{i=1}{\left[\left(g_i-N_i\right){ \ln \left(g_i-N_i\right)\ }-\left(g_i-N_i\right)\right]}-\sum^{\infty }_{i=1}{\left[N_i{ \ln N_i-N_i\ }\right]+\alpha \left[N-\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}\right]} +\ \beta \left[E-\sum^{\infty }_{i=1}{N_i}{\epsilon }_i\right]\]

Ми шукаємо те,\(N^{\textrm{⦁}}_i\) для чого\(F^{FD}_{mn}\) є екстремум; тобто\(N^{\textrm{⦁}}_i\) задовольняє

\[ \begin{align*} 0&=\frac{\partial F^{FD}_{mn}}{\partial N_i}=\frac{g_i-N^{\textrm{⦁}}_i}{g_i-N^{\textrm{⦁}}_i}+{ \ln \left(g_i-N^{\textrm{⦁}}_i\right)\ }-1-\frac{N^{\textrm{⦁}}_i}{N^{\textrm{⦁}}_i}-{ \ln N^{\textrm{⦁}}_i\ }+1-\alpha -\beta {\epsilon }_i \\[4pt] &={ \ln \left(g_i-N^{\textrm{⦁}}_i\right)\ }-{ \ln N^{\textrm{⦁}}_i\ }-\alpha -\beta {\epsilon }_i \end{align*}\]

Вирішуючи для\(N^{\textrm{⦁}}_i\), знаходимо

\[N^{\textrm{⦁}}_i=\frac{g_ie^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}{1+e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}\]

або, рівнозначно,

\[\frac{N^{\textrm{⦁}}_i}{g_i}=\frac{1}{1+e^{\alpha }e^{\beta {\epsilon }_i}}\]

Якщо\(1\gg e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}\) (або\(1\ll e^{\alpha }e^{\beta {\epsilon }_i}\)), функція розподілу Фермі-Дірака зводиться до функції розподілу Больцмана. Легко помітити, що це так. Від

\[N^{\textrm{⦁}}_i=\frac{g_ie^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}{1+e^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}}\approx g_ie^{-\alpha }e^{-\beta {\epsilon }_i}\]

і\(N=\sum^{\infty }_{i=1}{N^{\textrm{⦁}}_i}\), у нас є

\[N=e^{-\alpha }\sum^{\infty }_{i=1}{g_i}e^{-\beta {\epsilon }_i}=e^{-\alpha }z\]

Звідси випливає, що\(e^{\alpha }={z}/{N}\). З\(\beta ={1}/{kT}\), ми визнаємо, що\({N^{\textrm{⦁}}_i}/{N}\) це розподіл Больцмана. Для займаних енергетичних рівнів\(e^{-\beta {\epsilon }_i}=e^{-\epsilon_i}/{kT}\approx 1\); інакше,\(e^{-\beta \epsilon_i}=e^{-\epsilon_i/kT}<1\). Це означає, що розподіл Фермі-Дірака спрощує розподіл Больцмана будь-коли\(1\gg e^{-\alpha }\). Ми можемо проілюструвати, що це зазвичай так, розглядаючи функцію розділення для ідеального газу.

Використовуючи функцію поступального розділення для одного моля одноатомного ідеального газу з розділу 24.3, ми маємо

\[\begin{align*} e^{\alpha } &=\frac{z_t}{N}=\left[\frac{2\pi mkT}{h^2}\right]^{3/2} \frac{\overline{V}}{\overline{N}} \\[4pt] &=\left[\frac{2\pi mkT}{h^2}\right]^{3/2} \frac{kT}{P^0} \end{align*}\]

Для ідеального газу молекулярної маси\(40\) при\(300\) К і\(1\) барі знаходимо\(e^{\alpha }=1.02\times {10}^7\) і\(e^{-\alpha }=9.77\times {10}^{-8}\). Зрозуміло, що умова, яку ми припускаємо, демонструючи, що розподіл Фермі-Дірака спрощує розподіл Больцмана, задовольняється молекулярними газами при звичайних температурах. Значення\(e^{\alpha }\) зменшується в міру зниження температури і молекулярної маси. Щоб знайти\(e^{\alpha }\approx 1\) для себе молекулярний газ, необхідно враховувати дуже низькі температури.

Тим не менш, розподіл Фермі-Дірака має важливі застосування. Поведінка електронів у провіднику може бути змодельована на припущенні, що електрони поводяться як газ Фермі-Дірака, енергетичні рівні якого описуються моделлю частинок в коробці.