Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

25.1: Квантова статистика

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    21805

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Розробляючи теорію статистичної термодинаміки та функції розподілу Больцмана, ми припускаємо, що молекули помітні і що будь-яка кількість молекул в системі може мати однаковий квантово-механічний опис. Ці припущення не справедливі для багатьох хімічних систем. На щастя, виявляється, що більш суворе ставлення \({}^{1,2}\)до умов, накладених квантовою механікою, зазвичай призводить до тих же висновків, що і лікування Больцмана. Обробка Больцмана може стати недостатньою, коли система складається з маломасових частинок (наприклад, електронів) або коли температура системи близька до абсолютного нуля.

    У цьому розділі ми вносимо деякі зміни, які роблять нашу статистичну модель більш суворою. Розглядаються системи, що містять велику кількість частинок. Ми розглядаємо наслідки, які принципи квантової механіки мають на можливі стани рівноваги, але ми продовжуємо вважати, що частинки інакше не чинять сили один на одного. Виведено функції розподілу для статистичних моделей, що задовольняють квантово-механічні обмеження на кількість частинок, які можуть займати певний квантовий стан. Наша основна мета полягає в тому, щоб продемонструвати, що більш суворі моделі зводяться до функції розподілу Больцмана для більшості хімічних систем в загальних лабораторних умовах.

    Ми використовували квантовий механічний результат, що дискретні енергетичні рівні молекули або іншої частинки можуть бути позначені\({\epsilon }_1\)\({\epsilon }_2\),,...,\({\epsilon }_i\),.... Ми припустили, що ми можемо поставити будь-яку кількість ідентифікованих частинок в будь-який з цих енергетичних рівнів. Ми також припустили, що ми можемо відрізнити одну частинку від іншої, щоб ми могли знати енергію будь-якої конкретної частинки. Насправді ми, можливо, не зможемо розрізнити частинки. У цьому випадку ми можемо знати, скільки частинок мають задану енергію, але ми не можемо відрізнити частинки, які мають цю енергію один від одного. Більш того, існує квантово-механічна теорема про кількість частинок, які можуть займати квантовий стан. Якщо частинки мають інтегральний\(\left(0,\ \ 1,\ \ 2,\ \dots .\right)\) спін, будь-яка їх кількість може займати однаковий квантовий стан. Такі частинки, як кажуть, слідують статистиці Бозе-Ейнштейна. Якщо з іншого боку, частинки мають напівінтегральний\(\left({1}/{2},\ \ {3}/{2},\ \ {5}/{2,}\dots .\right)\) спин, то тільки одна з них може займати даний квантовий стан. Такі частинки, як кажуть, слідують статистиці Фермі-Дірака.

    Протони, нейтрони та електрони мають спін\({1}/{2}\). Спін атома або молекули - це всього лише сума спинив складових його елементарних частинок. Якщо кількість протонів, нейтронів і електронів непарна, атом або молекула підпорядковуються статистиці Фермі-Дірака. Якщо вона рівна, атом або молекула підкоряються статистиці Бозе-Ейнштейна. Для більшості молекул при температурах, які не надто близькі до абсолютного нуля, передбачувана різниця в поведінці незначна. Однак ізотопи гелію забезпечують важливе випробування теорії. Близько абсолютного нуля поведінка помітно\({He}^3\) відрізняється від поведінки\({He}^4\). Різниця узгоджується з очікуваною різницею між поведінкою спінової\({1}/{2}\) частинки (\({He}^3\)) та поведінкою спінової\(0\) частинки (\({He}^4\)).