22.5: Рівні енергії для тривимірного гармонічного осцилятора

Одним з найбільш ранніх застосувань квантової механіки стала демонстрація Ейнштейна, що об'єднання статистичної механіки та квантової механіки пояснює температурні зміни теплоємності твердих матеріалів. У розділі 7.14 відзначимо, що теплоємності твердих матеріалів наближаються до нуля у міру наближення температури до абсолютного нуля. Ми також розглянемо закон Дюлонга і Петі, який описує граничну теплоємність багатьох твердих елементів при високих (навколишніх) температурах. Модель Ейнштейна враховує обидва ці спостереження.

Фізична модель, що лежить в основі розвитку Ейнштейна, полягає в тому, що одноатомне тверде тіло складається з атомів, що вібрують про нерухомі точки в решітці. Частинки цього твердого речовини відрізняються один від одного, тому що розташування кожної точки решітки однозначно визначено. Ми припускаємо, що вібрація будь-якого одного атома не залежить від коливань інших атомів у решітці. Ми припускаємо, що вібрація є результатом закону Гука, що відновлює силу

\[\mathop{F}\limits^{\rightharpoonup}=-\lambda \mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}=-\lambda \left(x\mathop{\ i}\limits^{\rightharpoonup}+y\ \mathop{j}\limits^{\rightharpoonup}+z\ \mathop{k}\limits^{\rightharpoonup}\right)\]

тобто нуль, коли атом знаходиться в точці своєї решітки, для чого\(\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}=\left(0,0,0\right)\). Зміна потенційної енергії, коли атом, масою m, рухається від його точки решітки до точки\(\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}=\left(x,y,x\right)\)

\[V=\int^{\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}}_{\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}=\mathop{0}\limits^{\rightharpoonup}}{-\mathop{F}\limits^{\rightharpoonup}\bullet d\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}}=\lambda \int^x_{x=0}{xdx}+\lambda \int^y_{y=0}{ydy}+\lambda \int^z_{z=0}{zdz}=\lambda \frac{x^2}{2}+\lambda \frac{y^2}{2}+\lambda \frac{z^2}{2}\]

Рівняння Шредінгера для цього руху

\[-\frac{h^2}{8{\pi }^2m}\left[\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial z^2}\right]+\lambda \left[\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+\frac{z^2}{2}\right]\psi =\epsilon \psi\]

де\(\psi\) - функція трьох координат переміщення; тобто\(\psi =\psi \left(x,y,z\right)\). Ми припускаємо, що рухи в\(x\)\(y\) -, - і\(z\) -напрямках повністю незалежні один від одного. Коли ми це зробимо, виявляється, що ми можемо висловити тривимірне рівняння Шредінгера як суму трьох одновимірних рівнянь Шредінгера

\[\ \ \ \left[-\frac{h^2}{8{\pi }^2m}\frac{{\partial }^2{\psi }_x}{\partial x^2}+\lambda \frac{x^2{\psi }_x}{2}\right]\]\[+\left[-\frac{h^2}{8{\pi }^2m}\frac{{\partial }^2{\psi }_y}{\partial y^2}+\lambda \frac{y^2{\psi }_y}{2}\right]\]\[+\left[-\frac{h^2}{8{\pi }^2m}\frac{{\partial }^2{\psi }_z}{\partial z^2}+\lambda \frac{z^2{\psi }_z}{2}\right]\]\[=\epsilon \ {\psi }_x+\epsilon {\ \psi }_y+\epsilon \ {\psi }_z\]

де будь-яка\({\psi }^{\left(n\right)}_x\) хвильова функція є тією ж\({\psi }^{\left(n\right)}_y\) функцією\({\psi }^{\left(n\right)}_z\), що і і, і відповідні енергії\({\epsilon }^{\left(n\right)}_x\)\({\epsilon }^{\left(n\right)}_y\), і\({\epsilon }^{\left(n\right)}_z\) мають однакові значення. Енергія тривимірного атомного руху - це просто сума енергій для трьох одновимірних рухів. Тобто,

\[{\epsilon }_{n,m,p}={\epsilon }^{\left(n\right)}_x+{\epsilon }^{\left(m\right)}_y+{\epsilon }^{\left(p\right)}_z,\]

які, для простоти, ми також пишемо як

\[{\epsilon }_{n,m,p}={\epsilon }_n+{\epsilon }_m+{\epsilon }_p.\]