21.10: Проблеми

1. Розглянемо систему з трьома невиродженими квантовими станами\({\epsilon }_1=0.9\ kT\), що мають енергії\({\epsilon }_2=1.0\ kT\), і\({\epsilon }_3=1.1\ kT\). Система містить\(N=3\times {10}^{10}\) молекули. Обчисліть функцію поділу і кількість молекул в кожному квантовому стані, коли система знаходиться в рівновазі. Це рівноважна сукупність населення\(\{N^{\textrm{⦁}}_1,N^{\textrm{⦁}}_2,N^{\textrm{⦁}}_3\}\). \(W_{mp}\)Дозволяти кількість мікростанів, пов'язаних з рівноважною сукупністю населення. Розглянемо набір популяцій, коли\({10}^{-5}\) молекули в\({\epsilon }_2\) переміщуються до кожного з\({\epsilon }_1\) і\({\epsilon }_3\). Це сукупність населення\(\{N^{\textrm{⦁}}_1+{10}^{-5}N^{\textrm{⦁}}_2,\ \ \ N^{\textrm{⦁}}_2-2\times {10}^{-5},\ \ \ N^{\textrm{⦁}}_3+{10}^{-5}N^{\textrm{⦁}}_2\}\). \(W\)Дозволяти кількість мікростанів, пов'язаних з цим нерівноважним набором населення.

(a) Який відсоток молекул переміщається при перетворенні першої популяції, встановленої у другу?

(б) Чим енергії цих двох наборів популяцій відрізняються один від одного?

(в) Знайти\({W_{mp}}/{W}\). Використовуйте наближення Стірлінга і перенесіть стільки значущих цифр, скільки дозволить ваш калькулятор. Вам потрібно не менше шести.

(d) Що демонструє цей розрахунок?

2. Знайти приблизну кількість енергетичних рівнів, для якої\(\epsilon <kt\) > для молекули молекулярної маси\(40\) в коробці об'єму\({10}^{-6}\ {\mathrm{m}}^3\) при\(300\) K.

3. Функція розділення відіграє центральну роль у співвідношенні ймовірності знаходження молекули в конкретному квантовому стані з енергією цього стану. Рівні енергії, доступні для частинки в одновимірній коробці

\[{\epsilon }_n=\frac{n^2h^2}{8m{\ell }^2}\]

де\(m\) - маса частинки і\(\ell\) - довжина ящика. Для молекулярних мас і коробок макроскопічних довжин коефіцієнт\({h^2}/{8m{\ell }^2}\) - дуже мале число. Отже, енергетичні рівні, доступні молекулі в такій коробці, можна вважати фактично неперервними в квантовому числі\(n\). Тобто функція розділення sum може бути наближена інтегралом, в якому змінна інтегралу\(n\), проходить від\(0\) до\(\infty\).

(а) Отримати формулу для функції розділення частинки в одновимірному полі. Інтегральні таблиці дають\[\int^{\infty }_0 \mathrm{exp} \left(-an^2\right) dn=\sqrt{\pi /4a}\]

(b) Очікуване значення енергії молекули задається\[\left\langle \epsilon \right\rangle =kT^2{\left(\frac{\partial { \ln z\ }}{\partial T}\right)}_V\]

\(\left\langle \epsilon \right\rangle\)Для чого потрібна частка в коробці?

(c) Зв'язок між функцією розділу та вільною енергією Гельмгольца на молекулу становить\(A=-kT{ \ln z\ }\). Для молекули в одновимірній коробці ми маємо\(dA=-SdT-\rho \ell\), де\(\rho\) знаходиться пер-молекула «тиск» на торцях коробки і\(\ell\) є довжиною коробки. (Приріст роботи, пов'язаний зі зміною довжини коробки, є\(dw=-\rho \ d\ell\). У цьому співвідношенні\(d\ell\) відбувається поступове зміна довжини коробки і\(\rho\) є одновимірним внеском «тиску» від кожної молекули. \(\rho\)це, звичайно, просто сила, необхідна для того, щоб виштовхнути кінець коробки назовні на відстань\(d\ell\). \(\rho d\ell\)є одновимірним аналогом\(PdV\).) Для одновимірної системи випливає, що\[\rho =-{\left(\frac{\partial A}{\partial \ell }\right)}_T\]

Використовуйте цю інформацію, щоб знайти\(\rho\) молекулу в одновимірній коробці.

(d) Ми можемо знайти\(\rho\) молекулу в одновимірній коробці іншим способом. Внесок на молекулу в тиск тривимірної системи пов'язаний з ймовірностями енергетичного рівня\(P_i\),

\[P^{\mathrm{system}}_{\mathrm{molecule}}=-\sum^{\infty }_{n=1}{P_n}{\left(\frac{\partial {\epsilon }_n}{\partial V}\right)}_T\]

За тим же аргументом, який ми використовуємо для тривимірного випадку, ми знаходимо, що внесок кожної молекули в «тиск» всередині одновимірної коробки є

\[\rho =-\sum^{\infty }_{n=1}{P_n}{\left(\frac{\partial {\epsilon }_n}{\partial \ell }\right)}_T\]

З рівняння енергетичних рівнів частинки в одновимірній коробці знайдіть рівняння для

\[{\left(\frac{\partial {\epsilon }_n}{\partial \ell }\right)}_T\]

(Підказка: Ми можемо висловити цю похідну як просту кратну\({\epsilon }_n\).)

(e) Використовуючи ваш результат з частини (d), показати, що внесок на молекулу\(\rho\), до «одновимірного тиску»\(N\) молекул в одновимірній коробці\[\rho ={2\left\langle \epsilon \right\rangle }/{\ell }\]

(f) Використовуйте результати з частин (b) і (e) для вираження\(\rho\) як функція\(k\)\(T\), і\(\ell\).

(g)\(\mathrm{\Pi }\) Дозволяти тиск системи\(N\) молекул в одновимірній коробці. З вашого результату в частині (c) або частини (f), дайте рівняння для\(\mathrm{\Pi }\). Покажіть, як це рівняння аналогічно рівнянню ідеального газу.