18.3: Рівняння Шредінгера для частинки в коробці

Задача, яка зазвичай називається частинкою в коробці, забезпечує зручну ілюстрацію принципів, пов'язаних з налаштуванням та вирішенням рівняння Шредінгера. Крім того, що це хороша ілюстрація, проблема також виявляється корисним наближенням до багатьох фізичних систем. Постановка проблеми проста. У нас є частка маси\(m\), яка обмежена рухатися тільки в одному вимірі. Для локацій в\(0\le x\le \ell\) інтервалі частка має нульову потенційну енергію. Для місць поза цим діапазоном частка має нескінченну потенційну енергію. Оскільки частинка не може мати нескінченну енергію, це означає, що вона ніколи не зможе знайти свій шлях у місцях поза інтервалом\(0\le x\le \ell\). Ми можемо думати про цю частку як кульку, що рухається на дроті, з зупинками, розташованими на дроті в\(x=0\) і в\(x=\ell\). Ми також можемо думати про це як про те, що обмежується одновимірною коробкою довжини\(\ell\), яка є точкою зору, представленою назвою. Частинка в коробковій моделі наведена на малюнку 1.

Малюнок 1. Потенційна енергія проти відстані для частинки в коробці.

Потенціальні енергетичні обмеження означають, що амплітуда хвильової функції частинки повинна дорівнювати нулю\(\psi \left(x\right)=0\), коли значення\(x\) лежить в інтервалі

\[ - \infty x < 0\]

або

\[ \ell < x < + \infty\]

Припускаємо, що ймовірність знаходження частинки не може різко змінитися при зміні її розташування на довільно малу величину. Це означає, що хвильова функція повинна бути безперервною, і з цього випливає, що\(\psi \left(0\right)=0\) і\(\psi \left(\ell \right)=0\). Усередині коробки рівняння Шредінгера частинки

\[-\left(\frac{h^2}{8{\pi }^2m}\right)\frac{d^2\psi }{dx^2}=E\psi\]

і ми шукаємо ті функції\(\psi \left(x\right)\), які задовольняють як це диференціальне рівняння, так і рівняння обмежень\(\psi \left(0\right)=0\) і\(\psi \left(\ell \right)=0\). Виявляється, таких рішень нескінченно багато\({\psi }_n\), кожне з яких відповідає унікальному енергетичному рівню,\(E_n\).

Щоб знайти ці рішення, ми спочатку здогадуємося, керуючись нашими міркуваннями в § 2, - що рішення будуть мати форму\[\psi \left(x\right)=A{\mathrm{sin} \left(ax\right)\ }+B{\mathrm{cos} \left(bx\right)\ }\]

Рішення повинно задовольняти

\[\psi \left(0\right)=A{\mathrm{sin} \left(0\right)\ }+B{\mathrm{cos} \left(0\right)\ }=B{\mathrm{cos} \left(0\right)=0\ }\]

так що\(B=0\). На іншому кінці коробки ми повинні мати

\[\psi \left(\ell \right)=A{\mathrm{sin} \left(a\ell \right)\ }=0\]

що означає\(a\ell =n\pi\), що, де\(n\) є будь-яке ціле число:\(n\ =1,\ 2,\ \dots .\) Отже, у нас є

\[a={n\pi }/{\ell }\]

і єдиними рівняннями запропонованої форми, які задовольняють умовам на кінцях коробки, є

\[{\psi }_n\left(x\right)=A{\mathrm{sin} \left({n\pi x}/{\ell }\right)\ }\]

Щоб перевірити, чи задовольняють ці рівняння Шредінгера, перевіряємо

\[-\left(\frac{h^2}{8{\pi }^2m}\right)\frac{d^2}{dx^2}\left[A{\mathrm{sin} \left(\frac{n\pi x}{\ell }\right)\ }\right]=E_n{\psi }_n\]

і знайти

\[\left(\frac{h^2}{8{\pi }^2m}\right){\left(\frac{n\pi }{\ell }\right)}^2\left[A{\mathrm{sin} \left(\frac{n\pi x}{\ell }\right)\ }\right]=\left(\frac{n^2h^2}{8{m\ell }^2}\right){\psi }_n=E_n{\psi }_n\]

так що хвильові функції дійсно\({\psi }_n\left(x\right)=A{\mathrm{sin} \left({n\pi x}/{\ell }\right)\ }\) є рішеннями, а енергія\(E_n\), пов'язана з хвильовою\({\psi }_n\left(x\right)\) функцією

\[E_n=\frac{n^2h^2}{8{m\ell }^2}\]

Ми бачимо, що енергетичні значення квантуються; хоча існує нескінченно багато енергетичних рівнів\(E_n\), лише дуже конкретні дійсні числа - ті, які наведено рівнянням вище, відповідають енергіям, які може мати частинка. Якщо ми намалюємо перші кілька хвилевих функцій\({\psi }_n\left(x\right)\), то побачимо, що всередині коробки завжди\({\psi }_n\left(x\right)\) є\(n-1\) місця, в яких нуль. Ці місця називаються вузлами. Як тільки ми дізнаємося\(n\), ми знаємо кількість вузлів, і ми можемо намалювати загальну форму відповідної хвильової функції. Перші три хвильові функції та їх квадрати намальовані на малюнку 2.

Малюнок 2. Хвильові функції для частинки в коробці.

На даний момент ми знайшли повний набір нескінченно багатьох рішень, крім параметра\(A\). Для визначення\(A\) ми інтерпретуємо\({\psi }^2\left(x\right)\) як функцію щільності ймовірності, і вимагаємо, щоб ймовірність знаходження частинки в коробці дорівнювала одиниці. Це означає, що

\[1=\int^{\ell }_0{A^2{{\mathrm{sin}}^2 \left(\frac{n\pi x}{\ell }\right)\ }dx}=A^2\int^{\ell }_0{\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{\mathrm{cos} \left(\frac{2n\pi x}{\ell }\right)\ }\right]dx}=A^2\left(\frac{\ell }{2}\right)\]

так що\(A=\sqrt{2/\ell }\), і кінцеві хвильові функції

\[{\psi }_n\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\ell }}{\mathrm{sin} \left(\frac{n\pi x}{\ell }\right)\ }\]