10.10: Залежність Cv від об'єму та Cp від тиску

Last updated
Save as PDF

Page ID: 22168

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Теплоємності речовини збільшуються з температурою. Швидкість збільшення зменшується в міру підвищення температури. Щоб домогтися адекватної точності в розрахунках, нам часто потрібно знати, як залежать теплові потужності від температури. На відміну від цього, залежність теплових потужностей від тиску і обсягу зазвичай незначна; тобто залежність від\(V\) і\(C_V\)\(C_P\) залежність від зазвичай\(P\) можна ігнорувати. Тим не менш, нам потрібно знати, як їх знайти.

Точне рівняння для залежності від легко\(V\) випливає з\(dS\) вираженого як функція\(dT\) і\(C_V\)\(dV\)

\[dS=\frac{C_V}{T}dT+{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_VdV\]

Так як змішані друго-часткові похідні повинні бути рівними, ми маємо

\[{\left[\frac{\partial }{\partial V}\left(\frac{C_V}{T}\right)\right]}_T = {\left[\frac{\partial }{\partial T}{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V\right]}_V\]

і таким чином

\[\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = T \left(\frac{\partial^{\mathrm{2}}P}{\partial T^{\mathrm{2}}}\right)_V\]

Аналогічно\(C_P\) залежність від\(P\) випливає з\(dS\) вираженого у вигляді функції\(dT\) і\(dP\),

\[dS = \frac{C_P}{T}dT + {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_PdP\]Прирівнюючи змішані друго-часткові похідні, ми маємо

\[\left[\frac{\partial }{\partial P}\left(\frac{C_P}{T}\right)\right]_T = \left[ + \frac{\partial }{\partial T}{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P\right]_P\]

і таким чином

\[\left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)_T = -T\left(\frac{\partial ^{\mathrm{2}}V}{\partial T^{\mathrm{2}}}\right)_P\]

Для ідеального газу випливає, що\(C_V\) є незалежним і\(C_P\) незалежним від\(P\).\(V\)

Коли ми використовуємо коефіцієнт теплового розширення для опису зміни обсягу з температурою, ми маємо\[{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P=\alpha V\]

Коли вона адекватна для наближення\(\alpha\) як постійної, інша часткова диференціація щодо температури дає

\[{\left(\frac{\partial C_P}{\partial P}\right)}_T = -T{\left(\frac{\partial \left(\alpha V\right)}{\partial T}\right)}_P = -{\alpha }^{\mathrm{2}}TV\]

Так як\(\mathrm{\alpha }\) зазвичай невеликий, цей результат пророкує слабку\(C_P\) залежність від\(P\). Якщо\(\mathrm{\alpha }\) і\(\mathrm{\beta }\) обидва адекватно наближені як константи, ми маємо від

\[{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V=\frac{\alpha }{\beta }\]що\[{\left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)}_T = T{\left(\frac{\partial \left({\alpha }/{\beta }\right)}{\partial T}\right)}_V\mathrm{=0}\]