10.9: Зв'язок між Cv і Cp для будь-якої речовини

Last updated
Save as PDF

Page ID: 22162

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У главі 7 ми виведемо взаємозв'язок між ідеальним газом\(C_P\) і\(C_V\) для нього. Корисно мати зв'язок між цими величинами, яка дійсна для будь-якої речовини. Ми можемо отримати цей зв'язок із рівнянь\(dS\), які ми розробляємо в розділах 10.4 та 10.5. Якщо застосувати правило ділення до\(dS\) вираженого як функція\(dT\) і dV, при постійному тиску, ми маємо

\[{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P = \frac{C_V}{T} + {\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P \nonumber\]

Від\(dS\) виражається як функція\(T\) і\(P\),

\[dS = \frac{C_P}{T}dT + {\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_PdP \nonumber\]

у нас є

\[{\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)}_P = \frac{C_P}{T}\]щоб\[\frac{C_P}{T} = \frac{C_V}{T} + {\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P \nonumber\]

\[C_P + C_V = T{\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V{\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)}_P \label{eq10}\]

Для ідеального газу права частина Equation\ ref {eq10} зводиться до\(R\), відповідно до нашого попереднього результату. Відзначимо також, що, для будь-якої речовини,\(C_P\) і\(C_V\) стають рівними, коли температура йде до нуля.

Часткові похідні з правого боку можуть бути пов'язані з коефіцієнтами теплового розширення\(\alpha\), і ізотермічної стисливості,\(\beta\). Використання

\[\frac{\alpha }{\beta } = {\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)}_V \nonumber\]

ми можемо написати відносини між\(C_P\) і\(C_V\) як

\[C_P + C_V = \frac{VT{\alpha }^{\mathrm{2}}}{\beta } \nonumber\]