9.26: Проблеми

Проблеми

1. Чи порушує вічний двигун другого роду принцип збереження енергії?

2. Що таке контрапозитив\(\left(\mathrm{SL\ and}\ \sim \mathrm{MSL}\right)\Rightarrow \left(\Delta \hat{S}<0\right)\)? Це теорема логіки, що\(\sim (\mathrm{B\ and\ C})\Rightarrow (\sim B{\mathrm{and}}/{\mathrm{or}}\sim \mathrm{C})\). Інтерпретуйте цю теорему. Враховуючи, що SL є істинним, і\(\sim \left(\mathrm{SL\ and}\ \sim \mathrm{MSL}\right)\) це правда, доведіть, що\(\sim \mathrm{MSL}\) це правда.

3. Макс Планк ввів наступне твердження другого закону:

«Неможливо побудувати двигун, який буде працювати в повному циклі і не виробляти ніякого ефекту, крім підняття ваги і охолодження теплового резервуара».

(Планк, Трактат про термодинаміку, 3-е видання, перекладено з сьомого німецького видання, Dover Publications, Inc., стор 89.) Оскільки ми приймаємо «підняття ваги» як еквівалентне «виробляє роботу в оточенні», твердження Планка відрізняється від нашого машинного твердження лише тим, що дозволяє температурі джерела тепла знижуватися в міру виробництва робіт. Тепер ми можемо запитати, чи має ця різниця якісь матеріальні наслідки. Зокрема, чи можемо ми довести, що заява Планка передбачає наше машинне твердження, або навпаки? (Пропозиція: Припустимо, що у нас є ідентичні машини типу Планка, кожна зі своїм тепловим резервуаром. Розсіюємо тертям роботу, вироблену однією машиною в тепловому резервуарі іншого.)

4. Наші твердження першого і другого законів мають загальний формат: твердження про те, що функція стану існує; оперативне визначення, за допомогою якого можна виміряти функцію стану; заяву властивості, що виставляється цією функцією стану. Висловіть нульовий закон термодинаміки (Глава 1) в цьому форматі.

5. Зразок 0,400 моль\(N_2\) стискається від 5,00 л до 2,00 л, при цьому температура підтримується постійною на рівні 350 К. Припустимо, що\(N_2\) це ідеальний газ. Обчисліть зміну вільної енергії Гельмгольца,\(\Delta A\).

6. Покажіть, що\(\Delta G=\Delta A\) при ідеальному газі відбувається зміна постійної температури.

7. Обчисліть\(\Delta E\)\(\Delta H\), і\(\Delta G\) для процесу в задачі 5.

8. Зразок 0,200 моль ідеального газу, спочатку при 5,00 бар, розширюється оборотно і ізотермічно від 1,00 л до 10,00 л. Розрахуйте\(\Delta E\)\(\Delta H\), і\(\Delta G\) для цього процес.

9. 100,0 г проби чотирихлористого вуглецю стискається з 1,00 бар до 10,00 бар при постійній температурі 20 С. При 20 С чотирихлористий вуглець - рідина, щільність якої дорівнює\(1.5940\ \mathrm{g}\ \mathrm{m}{\mathrm{L}}^{-1}\). Припустимо, що щільність при тиску істотно не змінюється. \(\Delta G\)Для чого потрібен цей процес?

10. Обчисліть зміну вільної енергії Гельмгольца (\(\Delta A\)) в задачі 9.

11. Якщо\(C_V\) постійний, покажіть, що початкова та кінцева температури та обсяги для адіабатичного розширення ідеального газу пов'язані рівнянням\[\left(\frac{T_f}{T_i}\right)=\left(\frac{V_i}{V_f}\right)^{R/C_V}\]

12. При 25 С початковий обсяг одноатомного ідеального газу становить 5 л при 10 бар. Цей газ розширюється до 20 л проти постійного прикладеного тиску в 1 бар.

(a) Чи є цей процес неможливим, спонтанним чи оборотним?

(б) Яка кінцева температура?

(c) Знайти\(q\),\(w\),\(\Delta E\), і\(\Delta H\) для цього процесу.

13. Така ж зміна державного досвіду одноатомного ідеального газу в задачі 12 може бути здійснена в два етапи. Нехай крок А буде оборотним охолодженням газу до його кінцевої температури, тоді як тиск підтримується постійним на рівні 10 бар. Нехай кроком В буде оборотне ізотермічне розширення отриманого газу до тиску 1 бар.

(а) Знайти\(q\),,\(w\)\(\Delta E\), і\(\Delta H\) для кроку А.

(b) Знайти\(q\),,\(w\)\(\Delta E\), і\(\Delta H\) для кроку B.

(c) З ваших результатів у (a) та (b) знайдіть\(\ q\),\(w\)\(\Delta E\), і\(\Delta H\) для загального процесу кроку A, а потім крок B.

(d) Порівняйте значення\(q\),\(w\)\(\Delta E\), і\(\Delta H\) що ви знайдете в (c) зі значеннями для того ж загального процесу, який ви знайшли в задачі 12.

(e) Знайти\(\Delta S\) і\(\Delta \hat{S}\) для кроку А.

(f) Знайти\(\Delta S\) і\(\Delta \hat{S}\) для кроку B.

(g) Знайти\(\Delta S\)\(\Delta \hat{S}\), і\(\Delta S_{universe}\) для загального процесу.

14. Припустимо, що процес у задачі 12 відбувається, коли газ знаходиться в тепловому контакті з його оточенням і що температура навколишнього середовища завжди дорівнює кінцевій температурі газу. Знайти\(\Delta \hat{S}\) і\(\Delta S_{universe}\) для цього процесу.

15. При 25 С початковий обсяг одноатомного ідеального газу становить 5 л при 10 бар. Газ розширюється до 20 л, перебуваючи в тепловому контакті з навколишнім середовищем при 125° С. Під час розширення прикладається тиск є постійним і дорівнює рівноважному тиску при кінцевому обсязі і температурі.

(a) Чи є цей процес неможливим, спонтанним чи оборотним?

(б) Знайти\(q\),\(w\),\(\Delta E\),\(\Delta H\), і\(\Delta \hat{S}\) для цього процесу.

(c) Знайти\(\Delta S\) і\(\Delta S_{universe}\) для цього процесу. Щоб знайти\(\Delta S\), необхідно знайти оборотний альтернативний шлях, який впливає на ту саму зміну функцій стану системи.

16. При 60 С щільність води дорівнює\(\mathrm{0.98320\ g}\ {\mathrm{cm}}^{-3}\), тиск пари 19 932 Па, а ентальпія пароутворення -\(42,482\mathrm{\ J}\ {\mathrm{mol}}^{-1}\). Припустимо, що газоподібна вода поводиться як ідеальний газ. Судину, що містить рідку і газоподібну воду, поміщають у ванну з постійною температурою 60 С, а прикладене тиск підтримують на рівні 19 932 Па, при цьому 100 г води випаровується.

(a) Чи є цей процес неможливим, спонтанним чи оборотним?

(б) Знайти\(q\),,\(w\),\(\Delta E\),\(\Delta H\),\(\Delta S\),\(\Delta A\),, і\(\Delta G\) для цього процесу.

(c) Чи\({\left(\Delta S\right)}_{EV}=0\) є критерієм рівноваги, який застосовується до цієї системи? Чому чи чому ні? \({\left(\Delta H\right)}_{SP}=0\)? \({\left(\Delta A\right)}_{VT}=0\)? \({\left(\Delta G\right)}_{PT}=0\)?

17. Ця проблема порівнює ефективність і\(\sum{q/T}\) для одного моля одноатомного ідеального газу, взятого навколо оборотного циклу Карно, з тими ж величинами для того ж газу, взятого навколо незворотного циклу з використанням тих самих двох теплових резервуарів.

(i) Нехай послідовним кроком оборотного циклу Карно буде a, b, c, і d. ізотермічна стадія а починається з газу, що займає 5,00 л при 600 К і закінчується газом, що займає 20.00 L. Адіабатичний крок розширення b закінчується газом при 300 К. на кроці d до початкового стану. Знайдіть\(P\)\(V\), і\(T\) для газу в кінці кожного кроку цього оборотного циклу. Знайти\(\sum q/\hat{T}\)\(\Delta S\),, а\(\Delta \hat{S}\) для циклу a, b, c, d. яка ефективність цього циклу?

(ii) Припустимо, що після кроку b ідеальний газ нагрівається при постійному обсязі до 400 К шляхом обміну тепла з резервуаром 600 К. Називають цей етап е. після етапу е газ охолоджується при постійному тиску до 300 К контактом з резервуаром 300 К. Назвіть цей крок f. слідуючи кроку f, газ ізотермічно і оборотно стискається при 300 К до того ж\(P\)\(V\), і\(T\) як газ досягає в кінці кроку c. називають цей крок g. знайти\(P\)\(V\), а\(T\) для газу на кінцях кроків e, f і g. хоча кроки е і f не є оборотними, ті ж зміни можуть бути здійснені оборотно, зберігаючи,\(T=\hat{T}\) як газ нагрівається при постійному обсязі (крок е) і охолоджується при постійному тиску (крок f). (Цей момент ми обговорюємо далі в розділі 12.4.) Отже,\({\Delta }_eS=\int^{400\ K}_{300\ K} \frac{C_V}{T}dT\) і\({\Delta }_fS=\int^{400\ K}_{300\ K} \frac{C_P}{T}dT\). Знайти\(\sum q/\hat{T}\),\(\Delta S\), і\(\Delta \hat{S}\), а\(\Delta S_{universe}\) для циклу a, b, e, f, g, d. яка ефективність цього циклу?

(iii) Порівняйте значення\(\sum q/ \hat{T}\) того, що ви отримали в частині (ii) зі значенням\(\sum q/ \hat{T}\) того, що ви отримали в частині (i).

(iv) Теорема Клауса стверджує, що\(\sum q/ \hat{T}=0\) для циклу, пройденого оборотно, і\(\sum q/ \hat{T}<0\) для циклу, пройденого спонтанно. Коментар.

18. Для спонтанного циклу, пройденого під час безперервної зміни температури, теорема Клауса стверджує, що\(\oint{dq/\hat{T}}<0\). Показати, що ця нерівність випливає з результату\(dS>dq/ \hat{T}\), який ми отримали в Розділі 9.15 для будь-якого спонтанного процесу в замкнутій системі.

19. У розділах 9.6 - 9.8 ми робимо висновок, що\(\Delta S+\Delta \hat{S}=0\) необхідний для оборотного процесу,\(\Delta S+\Delta \hat{S}>0\) необхідний для спонтанного процесу, і\(\Delta S+\Delta \hat{S}<0\) необхідний для неможливого процесу. Тобто:\[(\mathrm{Process\ is\ reversible})\ \ \ \Rightarrow \ \left(\Delta S+\Delta \hat{S}=0\right)\] (\(\mathrm{Process\ is\ spontaneous}\))\(\ \ \Rightarrow \left(\Delta S+\Delta \hat{S}>0\right)\), і (\(\mathrm{Process\ is\ impossible}\))\(\ \ \Rightarrow \left(\Delta S+\Delta \hat{S}<0\right)\).

Оскільки ми визначили категорії оборотні, спонтанні та неможливі, щоб вони були вичерпними та взаємовиключними, вірно таке твердження:

\[\sim \left(\mathrm{Process\ is\ spontaneous}\right)\ \mathrm{and}\ \sim \left(\mathrm{Process\ is\ impossible}\right)\]\[\Rightarrow \left(\mathrm{Process\ is\ reversible}\right)\]

(а) Довести, що\(\Delta S+\Delta \hat{S}=0\) достатньо для того, щоб процес був оборотним; тобто довести:\[\left(\Delta S+\Delta \hat{S}=0\right)\ \ \Rightarrow \ \ \left(\mathrm{Process\ is\ reversible}\right)\]

(б) Довести, що\(\Delta S+\Delta \hat{S}>0\) достатньо для того, щоб процес був спонтанним; тобто довести:\[\left(\Delta S+\Delta \hat{S}>0\ \right)\ \Rightarrow \ \ \left(\mathrm{Process\ is\ spontaneous}\right)\]

(c) Довести, що\(\Delta S+\Delta \hat{S}<0\) достатньо для того, щоб процес був неможливим; тобто довести:\[\left(\Delta S+\Delta \hat{S}<0\right)\ \ \Rightarrow \ \ \left(\mathrm{Process\ is\ impossible}\right)\]

20. Позначте послідовні кроки в оборотному циклі Карно A, B, C і D, де A - точка, в якій тиск найбільший.

(а) Намалюйте шлях ABCD у\(P\) —\(V\) просторі.

(b) Намалюйте шлях ABCD у\(T\) —\(dq^{rev}/T\) просторі.

(c) Намалюйте шлях ABCE в\(T\) —\(q^{rev}\) просторі.

(d) Намалюйте шлях BCDA в\(T\) —\(q^{rev}\) просторі.

(e) Намалюйте шлях CDAB у\(T\) —\(q^{rev}\) просторі.

(d) Намалюйте шлях DABC в\(T\) —\(q^{rev}\) просторі.

21. Припустимо, що земна атмосфера є чистим азотом і що вона поводиться як ідеальний газ. Припустимо, що молярна енергія цього азоту є постійною і що його молярні зміни ентропії адекватно моделюються\(d\overline{S}=\left({C_V}/{T}\right)dT+\left({R}/{\overline{V}}\right)d\overline{V}\). Для цієї атмосфери показують, що\[{\left(\frac{\partial T}{\partial h}\right)}_E=\frac{-\overline{M}g}{C_V}\] де висота над\(h\) земною поверхнею,\(\overline{M}\) знаходиться молярна маса азоту (\(0.0280\ \ \mathrm{kg}\ {\mathrm{mol}}^{-1}\)),\(g\) є прискорення за рахунок гравітації (\(\mathrm{9.80}\ \mathrm{m}\ {\mathrm{s}}^{-1}\)), і\(C_V\) є постійно-об'ємною теплоємністю (\(20.8\ \mathrm{J}\ {\mathrm{K}}^{-1}\ {\mathrm{mol}}^{-1}\)). [Пропозиція: Запишіть загальний диференціал для\(\overline{E}=\overline{E}\left(\overline{S},\overline{V},h\right)\). Що таке\({\left({\partial \overline{E}}/{\partial \overline{S}}\right)}_{\overline{V},h}\)\({\left({\partial \overline{E}}/{\partial \overline{V}}\right)}_{\overline{S},h}\), і\({\left({\partial \overline{E}}/{\partial h}\right)}_{\overline{S},\overline{V}}\)?]

Якщо температура на рівні моря 300 К, яка температура на вершині гори 3000 м?

22. Припустимо, що земна атмосфера є чистим азотом і що вона поводиться як ідеальний газ. Припустимо, що молярна ентальпія цього азоту є постійною і що його молярні зміни ентропії адекватно моделюються\(d\overline{S}=\left({C_P}/{T}\right)dT-\left({R}/{P}\right)dP\). Для цієї атмосфери показують, що\[{\left(\frac{\partial T}{\partial h}\right)}_S=\frac{-\overline{M}g}{C_P}\] де\(h\) висота над земною поверхнею,\(\overline{M}\) знаходиться молярна маса азоту (\(0.0280\ \ \mathrm{kg}\ {\mathrm{mol}}^{-1}\)),\(g\) є прискорення за рахунок гравітації (\(\mathrm{9.80}\ \mathrm{m}\ {\mathrm{s}}^{-1}\)), і\(C_P\) є теплоємність постійного тиску (\(29.1\ \mathrm{J}\ {\mathrm{K}}^{-1}\ {\mathrm{mol}}^{-1}\)). [Пропозиція: Запишіть загальний диференціал для\(\ \overline{H}=\overline{H}\left(\overline{S},P,h\right)\). Що таке\({\left({\partial \overline{H}}/{\partial \overline{S}}\right)}_{P,h}\)\({\left({\partial \overline{H}}/{\partial P}\right)}_{\overline{V},h}\), і\({\left({\partial \overline{H}}/{\partial h}\right)}_{\overline{S},\overline{V}}\)?]

Використовуйте це наближення для обчислення температури на вершині гори 3000 м, коли температура на рівні моря становить 300 К.

23. Туристи часто говорять, що, як правило, температура на горі знижується на 1 С за кожні 100 м збільшення висоти. Чи відповідає це правило відносинам, що розвиваються в задачах 21 і 22? У цих проблемах ми припускаємо, що температура атмосфери ідеального газу змінюється залежно від висоти, але молярна енергія або ентальпія цього не робить. Чи суперечить це припущення принципу, що енергія і ентальпія ідеального газу залежать тільки від температури?

24. Виведіть барометричну формулу (розділ 2.10) з припущень, що земна атмосфера є ідеальним газом, молярна маса якого є\(\overline{\boldsymbol{M}}\) і температура якого і вільна енергія Гіббса не залежать від висоти.

25. Працюючи заднім ходом, двигун Карно споживає роботу\(\left(w>0\right)\) і передає тепло\(\left(q_{\ell }>0\right)\) від низькотемпературного резервуара до високотемпературного резервуара\(\left(q_h<0\right)\). Робота, виконана машиною, перетворюється на тепло, яке скидається в високотемпературний резервуар. За один цикл роботи машини,\(\Delta E=q_{\ell }+q_h=0\). Для холодильника або теплового насоса, що працює в режимі кондиціонування повітря, нас цікавить кількість відведеного тепла\(\left(q_{\ell }\right)\) на одиницю витраченої енергії\(\left(w\right)\). Визначимо коефіцієнт продуктивності як\(COP\left(cooling\right)={q_{\ell }}/{w}\). Це на максимумі для реверсивного двигуна Карно. Показати, що теоретичний максимум -\(\epsilon\) це\[COP\left(cooling\right)=\frac{1-\epsilon }{\epsilon }=\frac{T_{\ell }}{T_h-T_{\ell }}\] де реверсивний ККД Carnot-двигуна,\[\epsilon =1-\frac{T_{\ell }}{T_h}\] 26. Для теплового насоса, що працює в режимі опалення - як «піч» - нас цікавить кількість тепла, що надходить в опалювальний простір\(\left(-q_h\right)\) на одиницю витраченої енергії\(\left(w\right)\). Визначимо коефіцієнт продуктивності як\(COP\left(heating\right)=-{q_h}/{w}\). Покажіть, що теоретичний максимум\[COP\left(heating\right)=\frac{1}{\epsilon }=\frac{T_h}{T_h-T_{\ell }}\]

27. Для\(T_{\ell }=300\ \mathrm{K}\) і\(T_h=500\ \mathrm{K}\), обчислити теоретичні максимуми для\(COP\left(cooling\right)\) і\(COP\left(heating\right)\).

28. Знайдіть теоретичний максимум\(COP\left(cooling\right)\) для холодильника\(40\ \mathrm{F}\) в кімнаті за адресою\(72\ \mathrm{F}\).

29. Знайдіть теоретичний максимум\(COP\left(cooling\right)\) для теплового насоса, який утримує приміщення\(72\ \mathrm{F}\) при температурі зовнішнього повітря\(100\ \mathrm{F}\).

30. Знайдіть теоретичний максимум\(COP\left(heating\right)\) для теплового насоса, який утримує приміщення\(72\ \mathrm{F}\) при температурі зовнішнього повітря\(32\ \mathrm{F}\).

Нотатки

\({}^{1}\)Вступ до поняття внутрішньої ентропії та її застосувань див. Ілля Пригогін, Вступ до термодинаміки незворотних процесів, Міжнаукові видавці, 1961.