9.11: Третя заява другого закону

Last updated
Save as PDF

Page ID: 21905

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо ще одне часто цитується альтернативне твердження другого закону, яке, для зручності довідки, ми називаємо температурним твердженням другого закону:

Постановка другого закону на основі температури

Спонтанна передача тепла від більш холодного тіла до більш теплого тіла неможлива.

В обговоренні нижче ми називаємо це твердження пропозицією\(\mathrm{TSL}\). Під «тілом» ми просто маємо на увазі будь-яку систему або об'єкт. Під «спонтанною передачею тепла» ми маємо на увазі, що передача теплової енергії може бути ініційована шляхом приведення двох тіл в контакт один з одним або шляхом забезпечення передачі променистої енергії між ними. Околиці не працюють і не обмінюються теплом ні з одним резервуаром; в оточенні немає жодних змін.

Ми можемо показати, що твердження на основі ентропії та постановка другого закону на основі температури еквівалентні: З огляду на визначення ентропії, одне має на увазі інше.

Почнемо з того, що покажемо, що заяву на основі ентропії має на увазі затвердження другого закону на основі температури. Тобто ми доводимо\(\mathrm{SL}\Rightarrow \mathrm{TSL}\). Для цього доведемо\(\sim \mathrm{TSL}\Rightarrow \sim \mathrm{SL}\). Тобто ми припускаємо, що можлива мимовільна передача тепла від більш холодного до більш теплого тіла і показуємо, що це призводить до протиріччя ентропного постановки другого закону. Нехай кількість тепла, отриманого більш теплим тілом\(dq_{warmer}>0\), буде, а температури більш теплих і холодних тіл нехай будуть\(T_{warmer}\) і\(T_{colder}\) відповідно. У нас\(T_{warmer}-T_{colder}>\) 0. Більш холодне тіло отримує тепло

\(dq_{colder}=-dq_{warmer}<0\). Робимо приріст тепла настільки маленьким, щоб не було значної зміни температури будь-якого тіла. Ніяких інших змін не відбувається. Два тіла є єдиними частинами Всесвіту, які постраждали. Нехай зміни ентропії для більш теплих і холодних тіл будуть\(dS_{colder}\) і\(dS_{warmer}\), відповідно.

Щоб знайти\(dS_{colder}\) і\(dS_{warmer}\) ми повинні знайти оборотний шлях для здійснення тих самих змін. Це просто. Ми можемо впливати однаково однакові зміни в більш теплому тілі, передаючи тепло\(q_{warmer}>0\), до нього через контакт з якимось третім тілом, температура якого нескінченно більша, ніж\(T_{warmer}\). Цей процес оборотний, і зміна ентропії є\(dS_{warmer}={dq_{warmer}}/{T_{warmer}}\). Аналогічним чином відбувається зміна ентропії для більш холодного тіла\(dS_{colder}={dq_{colder}}/{T_{colder}=-{dq_{warmer}}/{T_{colder}}}\). Звідси випливає, що

\[ \begin{aligned} dS_{universe} & =dS_{warmer}+dS_{colder} \\ ~ & =\frac{dq_{warmer}}{T_{warmer}}-\frac{dq_{warmer}}{T_{colder}} \\ ~ & =-dq_{warmer}\left(\frac{T_{warmer}-T_{colder}}{T_{warmer}T_{colder}}\right) \\ ~ & <0 \end{aligned}\]

Однак якщо\({dS}_{universe}<0\) для спонтанного процесу другий закон (\(\mathrm{SL}\)) повинен бути помилковим. Ми показали, що порушення температурного твердження має на увазі порушення ентропного положення другого закону:\(\sim \mathrm{TSL}\Rightarrow \sim \mathrm{SL}\), так що\(\mathrm{SL}\Rightarrow \mathrm{TSL}\).

Не менш легко показати, що твердження на основі температури має на увазі на основі ентропії твердження другого закону. Для цього ми припускаємо, що заяву на основі ентропії є помилковим і показуємо, що це означає, що оператор на основі температури повинен бути помилковим. За наведеними вище аргументами, зміна ентропії, яку переживає Всесвіт під час обміну приростом тепла, є

\[{dS}_{universe}=-dq_{warmer}\left(\frac{T_{warmer}-T_{colder}}{T_{warmer}T_{colder}}\right)\]

Якщо на основі ентропії твердження другого закону є помилковим, то\({dS}_{universe}<0\). Звідси випливає, що\(dq_{warmer}>0\); тобто спонтанний процес передає тепло від більш холодного до більш теплого тіла. Це суперечить твердженню, заснованому на температурі. Тобто\(\sim \mathrm{SL}\Rightarrow \sim \mathrm{TSL}\), так що\(\mathrm{TSL}\Rightarrow \mathrm{SL}\).