9.4: Зміна ентропії навколо будь-якого циклу для будь-якої оборотної системи

Будь-яка система оборотно проходить будь-яку замкнуту криву на діаграмі тиску - об'єму обмінів працює з оточенням, а область, укладена кривою, представляє обсяг цієї роботи. У попередньому розділі ми знайшли\(\oint{dq^{rev}/T}=0\) для будь-якої системи, яка оборотно проходить цикл Карно. Зараз ми покажемо, що це вірно для будь-якої системи, яка оборотно проходить будь-який замкнутий шлях. Це встановлює, що\(\Delta S\) дорівнює нулю для будь-якої системи, що проходить будь-який замкнутий шлях оборотно, і доводить\(S\), що\(dS=dq^{rev}/T\), визначається, є функцією стану.

Для цього введемо теорему, засновану на досвіді: Діаграма тиску - об'єму для будь-якої оборотної системи може бути викладена перетинаючими лініями, що представляють ізотермічні та адіабатичні шляхи. Ці лінії можуть бути упаковані так щільно, як нам заманеться, так що плитка діаграми тиску - об'єму може бути зроблена так близько, як нам заманеться. Периметр будь-якої з отриманих плиток відповідає доріжці навколо циклу Карно. Враховуючи будь-яку довільну замкнуту криву на діаграмі тиску — об'єму, ми можемо вибрати набір плиток, який просто закриває його. Див. Рисунок 4. Периметр цього набору плиток наближає шлях довільної кривої. Так як облицювання плиткою можна зробити як завгодно тонко, периметр набору плиток можна зробити так, щоб наблизити шлях довільної кривої так точно, як нам заманеться.

Малюнок 4. Облицювання ПВ-площині ізотермами і адіабатами.

Припустимо, що ми обходимо периметр кожної з окремих плиток за годинниковою стрілкою, складаючи\(q^{rev}/T\) по ходу руху. Відрізки цих периметрів діляться на дві групи. Одна група складається з відрізків, які знаходяться по периметру огороджуючого набору плиток. Інша група складається з сегментів, які є загальними для двох плиток. Коли ми обходимо обидві ці плитки за годинниковою стрілкою, спільний сегмент проходить один раз в одному напрямку і один раз в іншому. Коли ми складаємо\(q^{rev}/T\) для цих двох траверс одного і того ж сегмента, ми знаходимо, що сума дорівнює нулю, тому що ми маємо\(q^{rev}/T\) в одному напрямку і\(-q^{rev}/T\) в іншому. Це означає, що сума\(q^{rev}/T\) навколо всіх плиток буде просто дорівнює сумі\(q^{rev}/T\) навколо тих відрізків, які лежать по периметру огороджувальної множини. Тобто у нас є

\[\sum_{ \begin{array}{c} \mathrm{cycle} \\ \mathrm{perimeter} \end{array}} \frac{q^{rev}}{T}+\sum_{ \begin{array}{c} \mathrm{interior} \\ \mathrm{seqments} \end{array}} \frac{q^{rev}}{T}=\sum_{ \begin{array}{c} \mathrm{all} \\ \mathrm{tiles} \end{array}} \left\{\sum_{ \begin{array}{c} \mathrm{tile} \\ \mathrm{perimeter} \end{array}} \frac{q^{rev}}{T}\right\}\]

де\[\sum_{ \begin{array}{c} \mathrm{interior} \\ \mathrm{seqments} \end{array} } \frac{q^{rev}}{T}=0\]

тому що кожен внутрішній сегмент проходить двічі, а два внески скасовуються точно.

Цей набір плитки має ще одну важливу властивість. Оскільки кожна окрема плитка являє собою оборотний цикл Карно, ми знаємо, що

\[\sum_{ \begin{array}{c} \mathrm{tile} \\ \mathrm{perimeter} \end{array} }{\frac{q^{rev}}{T}}=0\]

навколо кожної окремої плитки. Оскільки сума навколо кожної плитки дорівнює нулю, сума всіх цих сум дорівнює нулю. Звідси випливає, що сума\({q^{rev}}/{T}\) по периметру огороджувальної множини дорівнює нулю:

\[\sum_{ \begin{array}{c} \mathrm{cycle} \\ \mathrm{perimeter} \end{array} }{\frac{q^{rev}}{T}}=0\]

Поклавши площину тиску - об'єму так щільно, наскільки це необхідно, ми можемо зробити периметр огороджуючого набору якомога ближче до будь-якої замкнутої кривої. Приріст тепла стає довільно малим, і

\[\mathop{\mathrm{lim}}_{q^{rev}\to {dq}^{rev}} \left[\sum_{ \begin{array}{c} cycle \\ perimeter \end{array} } \frac{q^{rev}}{T}\right]\ =\oint{\frac{dq^{rev}}{T}}=0\]Для будь-якого реверсивного двигуна, що виробляє тиск - обсяг роботи, ми маємо\(\oint{dS=0}\) навколо будь-якого циклу.

Ми можемо розширити цей аналіз, щоб дійти такого ж висновку для реверсивного двигуна, який виробляє будь-яку форму роботи. Щоб переконатися в цьому, розглянемо теорему укладання плитки більш ретельно. Коли ми говоримо, що адіабати та ізотерми плиткою площину тиску - об'єму, ми маємо на увазі, що кожна точка в площині тиску - об'єм перетинається одним і лише одним адіабатом і однією і лише однією ізотермою. Коли можлива лише робота з тиском - об'єм, кожна точка площини тиску - об'єм представляє унікальний стан системи. Тому теорема плиткового покриття стверджує, що кожен стан системи змінного тиску може бути досягнуто по одному і тільки одному адіабату і одній і тільки одній ізотермі.

З досвіду робимо висновок, що це твердження залишається вірним для будь-якої форми роботи. Тобто кожен стан будь-якої оборотної системи може бути досягнуто однією і тільки однією ізотермою і одним і тільки одним адіабатом при виконанні будь-якої форми роботи. Якщо можлива більш ніж одна форма роботи, для кожної форми роботи є адіабет. Якщо змінюється\({\theta }_1\) і\({\theta }_2\) змінюється енергія системи, то вплив на енергію системи не обов'язково однакові. Загалом,\({\mathit{\Phi}}_1\) це не те ж саме\({\mathit{\Phi}}_2\), де

\[{\mathit{\Phi}}_i={\left(\frac{\partial E}{\partial {\theta }_i}\right)}_{V,{\theta }_{m\neq i}}\]

З § 3 ми знаємо, що реверсивний двигун Карно, який виконує будь-яку форму роботи, може бути узгоджений з реверсивним ідеальним газовим двигуном Карно таким чином, що двигуни паралельно завершують послідовні ізотермічні та адіабатичні кроки. На кожному кроці кожен двигун відчуває однакові зміни тепла, роботи, енергії та ентропії, як і інший. Подібно до того, як ми можемо побудувати оборотний цикл Карно ідеального газу як замкнутий шлях у просторі тиску та обсягу, ми можемо побудувати цикл Карно, що виробляє будь-яку іншу форму роботи як замкнутий шлях із послідовними ізотермічними та адіабатичними кроками у\({\mathit{\Phi}}_i{--\theta }_i\) просторі. Так само, як будь-який замкнутий шлях у просторі тиску - обсяг може бути плиткою (або нарощений з) довільно малими оборотними циклами Карно, тому будь-який замкнутий шлях у\({\mathit{\Phi}}_i{--\theta }_i\) просторі може бути облицьований такими циклами. Тому аргумент, який ми використовуємо, щоб показати, що\(\oint{dS=0}\) для будь-якого замкнутого оборотного циклу в просторі тиску - об'єм однаково добре застосовується до замкнутого оборотного циклу, в якому тепло використовується для отримання будь-якої іншої форми роботи.