9.3: Цикл Карно для будь-якої оборотної системи

Щоб показати, що\(\oint dq^{rev}/T=0\) для будь-якої оборотної системи, прийнятої навколо циклу Карно, ми спочатку спостерігаємо, що цикл Карно можна пройти у зворотному напрямку. В цьому випадку робота доставляється двигуну і кількість тепла передається від низькотемпературного резервуара до високотемпературного резервуара. Управляється заднім ходом, двигун Carnot - це холодильник. Припустимо, що у нас є дві однакові ідеально-газові машини Carnot, одна з яких ми працюємо як двигун, а інша - як холодильник. Якщо налаштувати їх так, щоб робочий вихід двигуна приводив в рух холодильник, ефекти від їх спільної роботи скасовуються повністю. Холодильник в точності споживає робочу потужність двигуна. Передача тепла до теплових резервуарів і від них точно компенсується.

Тепер розглянемо ідеальний газовий двигун Карно і будь-який інший реверсивний двигун, який витягує тепло з високотемпературного резервуара і відкидає частину його в низькотемпературний резервуар. Назвемо ці двигуни A і B. Ми припускаємо, що один експлуатується для виробництва роботи в його оточенні (\(w<0\)); інший експлуатується для споживання цієї роботи та передачі чистої теплової енергії від низької температури до високотемпературного резервуара. Нехай чиста робота, виконана за один цикл на верстатах A і B, буде\(w_{netA}\) і\(w_{netB}\), відповідно. Ми можемо вибрати, щоб зробити ці двигуни будь-якого розміру, який нам заманеться. Розміримо їх так, щоб один повний цикл будь-якого двигуна обмінювався однаковою кількістю тепла з високотемпературним резервуаром. Тобто, якщо високотемпературний резервуар подає тепло\(q_{hA}\) двигуну А, то він подає тепло\(q_{hB}=q_{hA}\) до двигуна Б. На рис. 3 схеми цих двигунів. З одним працює як двигун, а інший працює як холодильник, у нас є\(q_{hA}+q_{hB}=0\). Коли і двигун, і холодильник завершили цикл, високотемпературний резервуар повернувся в початковий стан.

Малюнок 3. Підібрано тепловий двигун і холодильник і система, яка поєднує їх.

Ми можемо створити комбінований пристрій, який складається з А, що працює як двигун, В працює як холодильник, і високотемпературного резервуара. На малюнку 3 також наведено діаграму цієї комбінації. Коли він виконає один повний цикл, початковий стан комбінованого пристрою відновлюється. Тому, оскільки Е є функцією стану, ми маємо

\[\begin{align} \Delta E &= w_{netA}+q_{hA}+q_{\ell A}+w_{netB}+q_{hB}+q_{\ell B} \\[4pt] &=w_{netA}+w_{netB}+q_{\ell A}+q_{\ell B} \\[4pt] &=0. \end{align}\]

де ми використовуємо обмеження\(q_{hA}+q_{hB}=0\). Розглянемо можливість того\(w_{netA}+w_{netB}<0\); тобто комбінований пристрій робить чисту роботу над навколишнім середовищем. Тоді,\(\Delta E=0\) має на увазі, що\(q_{\ell A}+q_{\ell B}>0\).

У цьому циклічному процесі комбінований пристрій забирає позитивну кількість тепла від резервуара з постійною температурою і доставляє позитивну кількість роботи в навколишнє середовище. Інших змін ні в системі, ні в оточенні немає. Це порушує машинне положення другого закону. Очевидно, що комбінований пристрій не може працювати так, як ми висунули гіпотезу. Ми робимо висновок, що будь-яка така машина завжди повинна працювати так, що\(w_{netA}+w_{netB}\ge 0\); тобто чиста робота, виконана на комбінованій машині протягом будь-якого повного циклу, повинна бути або нульовою, або деякою позитивною величиною.

\(w_{netA}+w_{netB}\ge 0\)Підсумовуючи це, уточнюємо, що комбінована машина має A, що працює як тепловий двигун, а В працює як холодильник. Тепер, припустимо, що ми змінюємо їх ролі,\(w^*_{netA}\) і нехай і\(w^*_{netB}\) представляємо мережу роботи для зворотної комбінації. Застосовуючи той же аргумент, що і раніше, робимо висновок, що\(w^*_{netA}+w^*_{netB}\ge 0\). Але, оскільки напрямок роботи зворотне для обох машин, ми також повинні мати\(w^*_{netA}=-w_{netA}\) і\(w^*_{netB}=-w_{netB}\). Звідси у нас є\(-w_{netA}-w_{netB}\ge 0\) або\(w_{netA}+w_{netB}\le 0\). Отже, ми робимо висновок, що

\[w_{netA}+w_{netB}=0\]

для будь-яких двох, узгоджених, реверсивних двигунів, що працюють навколо циклу Карно.

Цей висновок можна повторити як умову про ефективність роботи двох машин. Індивідуальний ККД є\({\epsilon }_A=-w_{netA}/q_{hA}\) і\({\epsilon }_B=-w_{netB}/q_{hB}\).

(Рівняння ефективності не впливає напрямок роботи, оскільки зміна напрямку змінює знак кожного енергетичного терміна в циклі. Зміна напрямку операції еквівалентна множенню чисельника і знаменника на мінус одиницю.) Потім, з\(w_{netA}+w_{netB}=0\), випливає, що

\[{\epsilon }_Aq_{hA}+{\epsilon }_Bq_{hB}=0\]

Так як ми розмірами A і B так\(q_{hA}+q_{hB}=0\), що, у нас є

\[\epsilon_Aq_{hA}-{\epsilon }_Bq_{hA}=0\]щоб\[{\epsilon }_A={\epsilon }_B\]

для будь-яких реверсивних двигунів Carnot A і B, що працюють між однаковими двома тепловими резервуарами.

Для ідеального газового двигуна ми знайшли\(\epsilon =1-T_{\ell }/{T_h}\). Для будь-якого реверсивного двигуна Карно у нас є\(\Delta E=0=w_{net}+q_h+q_{\ell }\), так що\(-w_{net}=q_h+q_{\ell }\), і

\[\epsilon =\frac{-w_{net}}{q_h}=1+\frac{q_{\ell }}{q_h}\]

Це означає, що співвідношення ефективності

\[\epsilon =1-\frac{T_{\ell }}{T_h}=1+\frac{q_{\ell }}{q_h}\]

застосовується до будь-якого реверсивного двигуна Карно. Звідси випливає, що інтеграл\(dq^{rev}/T\) навколо циклу Карно дорівнює нулю для будь-якої оборотної системи.

Обґрунтованість цих висновків не залежить від типу роботи, яку виробляє двигун; якщо двигун А є ідеальним газовим двигуном, двигун B може складатися з будь-якої системи і може виробляти будь-які роботи. Отримавши цей результат з машинного твердження другого закону, ми робимо додаткове припущення, що робота тиск-об'єм може бути повністю перетворена на будь-яку іншу форму роботи, і навпаки. Тобто ми припускаємо, що робота, вироблена двигуном А, може оборотно приводити в рух двигун В як рефрижератор, будь то двигуни А і Б виробляють однакові або різні види робіт.