9.2: Цикл Карно для ідеального газу та концепція ентропії

Історично склалося так, що парова машина була першою машиною для перетворення тепла в роботу, яку можна було експлуатувати у великих масштабах. Паровий двигун зіграв важливу роль у промисловій революції і, отже, у розвитку сучасної технологічно ємної економіки. Вона мала важливе значення і при розробці основних понять термодинаміки. Паровий двигун виробляє роботу, коли гаряча пара під тиском вводиться в циліндр, виводячи поршень назовні. Вал з'єднує поршень з маховиком. Коли сполучний вал досягає свого найбільшого розширення, відпрацьований пар відводиться в атмосферу. Після цього маховик приводить поршень всередину.

Економічна життєздатність парового двигуна походить, частково, від того, що відпрацьований пар може бути відведений в атмосферу в кінці кожного циклу. Однак це не є необхідною особливістю теплових двигунів. Ми можемо розробити двигуни, які по черзі нагрівають і охолоджують неповнену робочу рідину для перетворення теплової енергії в механічну роботу. Двигуни Стірлінга - практичні пристрої такого типу. Двигун Карно - це концептуальний двигун, який використовує реакцію замкнутої системи на зміни температури. Двигун Карно витягує тепло з одного резервуара при фіксованій високій температурі і скидає меншу кількість тепла в другий резервуар при фіксованій більш низькій температурі. Кількість енергії, рівне різниці між цими приростами теплової енергії, з'являється в оточенні як робота.

За один цикл роботи двигуна Карно нехай тепло, що передається в систему від гарячого і холодного резервуарів, буде\(q_h\) і\(q_{\ell }\) відповідно. У нас є\(q_h>0\) і\(q_{\ell }<0\). Нехай чиста робота, виконана в системі, буде\(w_{net}\) і чиста робота, яка з'являється в оточенні бути\({\hat{w}}_{net}\). У нас є

\({\hat{w}}_{net}>0\),\({\hat{w}}_{net}=-w_{net}\), і\(w_{net}<0\). За один цикл роботи двигуна\(\Delta E=0\), і так як

\[\Delta E=q_h+q_{\ell }+w_{net}=q_h+q_{\ell }-{\hat{w}}_{net},\]

з цього випливає\({\hat{w}}_{net}=q_h+q_{\ell }\). Вхід енергії в двигун Карно є\(q_h\), і корисна робота, яка з'являється в оточенні є\({\hat{w}}_{net}\). (Тепло, прийняте низькотемпературним резервуаром\({\hat{q}}_{\ell }=-q_{\ell }>0\), є відпрацьованим продуктом, в тому сенсі, що воно являє собою енергію, яку неможливо перетворити на механічну роботу за допомогою цього циклу. Всі можливі теплові двигуни поділяють цю особливість двигуна Карно. На відміну від цього, машина вічного руху другого роду перетворює весь свій теплозабір в роботу; жодна частина її забору тепла не йде невикористаною.) ККД\(\epsilon\), з яким двигун Карно перетворює вхідну енергію\(q_h\), в корисну вихідну енергію\({\hat{w}}_{net}\), таким чином,

\[\epsilon =\frac{\hat{w}_{net}}{q_h}=\frac{q_h+q_{\ell}}{q_h}=1+\frac{q_{\ell }}{q_h}\]

Ми можемо узагальнити наш розгляд теплових двигунів, щоб включити будь-яку серію змін, при яких замкнута система обмінюється теплом з навколишнім середовищем при більш ніж одній температурі, доставляє позитивну кількість роботи в навколишнє середовище та повертається до початкового стану. Ми використовуємо цикл Карно та машинне твердження другого закону для аналізу систем, які забезпечують роботу тиску та обсягу в навколишнє середовище. Розглядаються як оборотні, так і незворотні системи. Почнемо з розгляду оборотних циклів Карно. Якщо будь-яка система оборотно проходить будь-який замкнутий шлях на діаграмі тиску - об'єму, область, укладена контуром, являє собою роботу тиску та обсягу, що обмінюється між системою та її оточенням. Якщо площа не дорівнює нулю, температура системи змінюється протягом циклу. Якщо цикл оборотний, всі теплопередачі, які відбуваються, повинні відбуватися оборотно. Ми можемо застосувати наші міркування про оборотні цикли до будь-якої замкнутої системи, що містить будь-яку колекцію хімічних речовин, до тих пір, поки будь-які фазові зміни або хімічні реакції, що відбуваються, роблять це оборотно. Це означає, що всі фазові та хімічні зміни, які відбуваються в системі, повинні швидко пристосовуватися до нових положень рівноваги, які накладаються на них, оскільки система оборотно проходить цикл Карно.

Малюнок 2. Ідеальний газовий цикл Карно. Зверніть увагу, що вісь тиску стискається: В Р наноситься малюнок проти V.

На малюнку 2 ми опишемо роботу реверсивного двигуна Карно, в якому робоча рідина є ідеальним газом. Позначаємо початковий тиск системи, обсяг і температуру\(P_1\)\(V_1\), і\(T_h\). З цього початкового стану ми змушуємо ідеальний газ піддаватися оборотному ізотермічному розширенню, в якому він поглинає кількість тепла\(q_h\), з високотемпературного теплового резервуара при\({\hat{T}}_h\). Ми позначаємо тиск, обсяг і температуру в кінці цього ізотермічного розширення як\(P_2\)\(V_2\), і\(T_h\). На другому кроці ми оборотно і адіабатично розширюємо ідеальний газ, поки його температура не впаде до температури другого низькотемпературного резервуара тепла. Ми позначаємо тиск, обсяг і температуру в кінці цього адіабатичного розширення як\(P_3\)\(V_3\), і\(T_{\ell }\). Починаємо зворотну частину циклу з оборотного і ізотермічного стиснення ідеального газу при температурі холодного резервуара. Ми продовжуємо це оборотне ізотермічне стиснення до тих пір, поки ідеальний газ не досягне тиску і обсягу, від якого адіабатичне стиснення просто поверне його в початковий стан. Ми позначаємо тиск, обсяг і температуру в кінці цього ізотермічного стиснення\(P_4\)\(V_4\), і\(T_{\ell }\). Під час цього кроку ідеальний газ віддає кількість тепла\(q_{\ell }<0\), в низькотемпературний резервуар. Нарешті, ми оборотно і адіабатично стискаємо ідеальний газ до початкового тиску, обсягу та температури.

Для високотемпературного ізотермічного кроку ми маємо\[-q_h=w_h=-RT_h \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)\]

а для низькотемпературного ізотермічного кроку ми маємо

\[-q_{\ell }=w_{\ell }=-RT_{\ell } \ln \left(\frac{V_4}{V_3}\right)\]

Для адіабатичного розширення і стиснення ми маємо\[q_{exp}=q_{comp}=0\]

Відповідними енергетичними і трудовими термінами є

\[{\Delta }_{exp}E=w_{exp}=\int^{T_{\ell }}_{T_h}{C_VdT}\]

для адіабатичного розширення і

\[{\Delta }_{comp}E=w_{comp}=\int^{T_h}_{T_{\ell }}{C_VdT}\]

для адіабатичного стиснення. Інтеграли теплоємності однакові за винятком напрямку інтеграції; вони дорівнюють нулю, і ми маємо\(w_{exp}+w_{comp}=0\). Чиста робота, виконана в системі, - це сума роботи за ці чотири кроки,\(w_{net}=w_h+w_{exp}+w_{\ell }+w_{comp}=w_h+w_{\ell }\). Введення тепла відбувається у високотемпературного резервуара, так що\(q_h>0\). Відведення тепла відбувається у низькотемпературного резервуара, так що\(q_{\ell }<0\).

Для одного циклу реверсивного, ідеально підходить газовий двигун Carnot,

\[\epsilon =1+\frac{q_{\ell}}{q_h}=1+\frac{RT_{\ell } \ln \left({V_4}/{V_3}\right)}{RT_h \ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)}\]

Оскільки два адіабатичні кроки передбачають однакові граничні температури, енергія ідеального газу залежить лише від температури, і\(dE=dw\) для обох кроків ми бачимо з розділу 9.7-9.20, що

\[\int^{T_{\ell }}_{T_h}{\frac{C_V}{T}}dT=-\int^{V_3}_{V_2}{\frac{R}{V}}dV=-R{ \ln \left(\frac{V_3}{V_2}\right)\ }\]

і

\[\int^{T_h}_{T_{\ell }}{\frac{C_V}{T}}dT=-\int^{V_1}_{V_4}{\frac{R}{V}}dV=-R{ \ln \left(\frac{V_1}{V_4}\right)\ }\]

Інтеграли над\(T\) однакові, за винятком напрямку інтеграції. Вони підсумовуються нулю, так що\(-R{ \ln \left({V_3}/{V_2}\right)\ }-R{ \ln \left({V_1}/{V_4}\right)\ }=0\) і

\[\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}\]

Використовуючи цей результат, другим рівнянням для реверсивного ККД двигуна Карно стає

\[\epsilon =1-\frac{T_{\ell }}{T_h}\]

Прирівнюючи наші вирази для ККД реверсивного двигуна Карно, знаходимо

\[\epsilon =1+\frac{q_{\ell }}{q_h}=1-\frac{T_{\ell }}{T_h}\]з яких ми маємо

\[\frac{q_h}{T_h}+\frac{q_{\ell }}{T_{\ell }}=0\]

Так як тепловіддачі в адіабатичних кроках немає,\(q_{exp}=q_{comp}=0,\) і ми можемо записати цю суму як

\[\sum_{cycle}{\frac{q_i}{T_i}}=0\]

Якщо розділити шлях навколо циклу на велику кількість дуже коротких відрізків, межа цієї суми як\(q_i\) стати дуже маленькою дорівнює

\[\oint{\frac{dq^{rev}}{T}}=0\]

де верхній індекс «\(rev\)» служить нагадуванням про те, що цикл повинен бути пройдений оборотно. Тепер ми можемо визначити нову функцію\(S\), за допомогою диференціального виразу

\[dS=\frac{dq^{rev}}{T}\]

У цьому вираженні\(dS\) є поступове зміна,\(S\) що відбувається, коли система оборотно поглинає невеликий приріст тепла\({dq}^{rev}\), при певній температурі,\(T\). Для ідеального газу, що проходить цикл Карно, ми показали, що

\[\Delta S=\oint{dS}=\oint{\frac{dq^{rev}}{T}}=0\]

\(S\)це, звичайно, функція ентропії, описана в нашій ентропії на основі твердження другого закону.

Тепер ми хочемо побачити, що машинне твердження другого закону дозволяє нам зробити висновок про властивості\(S\). Оскільки зміна\(S\) дорівнює нулю, коли ідеальний газ йде навколо повного циклу Карно, ми можемо припустити, що\(S\) це функція стану. Звичайно, той факт, що\(\Delta S=0\) навколо одного конкретного циклу не доводить, що\(S\) це функція стану. Якщо\(S\) це функція стану, це повинно бути правдою, що\(\Delta S=0\) навколо будь-якого циклу взагалі. Зараз ми доведемо це для будь-якого оборотного циклу.

Доказ має два кроки. У першому ми покажемо, що\(\oint{dq^{rev}/T}=0\) для машини, яка використовує будь-яку реверсивну систему, що працює між двома тепловими резервуарами з постійною температурою, для перетворення тепла в роботу. На другому кроці ми покажемо, що\(\oint{dq^{rev}/T}=0\) для будь-якої системи, яка оборотно проходить будь-який замкнутий шлях.