7.21: Проблеми

1. Які з наступних диференціальних виразів точні?

а.\(df=ydx+xdy\)

б.\(df=2xy^2dx+2x^2ydy\)

c.\(df=2xydx+2x^2ydy\)

д.\(df=\left[\left(1-xy\right)e^{-xy}\right]dx-\left[x^2e^{-xy}\right]dy\)

е.\(df=\left({\mathrm{cos} x\ }{\mathrm{cos} y\ }\right)dx-\left({\mathrm{sin} x{\mathrm{sin} y\ }\ }\right)dy\)

ф.\(df=\left({\mathrm{cos} x\ }{\mathrm{cos} y\ }\right)dx-\left({\mathrm{sin} y\ }\right)dy\)

2. Покажіть,\(df=e^{-y}dx-xe^{-y}dy\) що точно. Знайти\(f\left(x,y\right)\), інтегруючи\(dx\) термін. Знайти\(f\left(x,y\right)\), інтегруючи\(dy\) термін.

3. Мармур маси\(m\) вільно рухатися по поверхні, висота якої над\(x,y\) -площині є\(h=ax^2+by^2\).

а Яка гравітаційна потенційна енергія мармуру виражена як функція\(x\) і\(y\),\(E\left(x,y\right)\)?

б. сила, яку відчуває мармур через гравітацію, є векторною функцією\[\mathop{f}\limits^{\rightharpoonup}\left(x,y\right)=-\mathrm{\nabla }E\left(x,y\right)=-{\left(\frac{\partial E}{\partial x}\right)}_y\mathop{i}\limits^{\rightharpoonup}-{\left(\frac{\partial E}{\partial y}\right)}_x\mathop{j}\limits^{\rightharpoonup}\] Що знаходиться\(\mathop{f}\limits^{\rightharpoonup}\left(x,y\right)\) на цій поверхні?

c Що таке диференціал\(E\)? \(dE\)Точний чи неточний?

d Векторний опис загального шляху,\(\left\{\left(x,y\right)\right\}\), - вектор положення\(\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}=x\mathop{i}\limits^{\rightharpoonup}+y\mathop{j}\limits^{\rightharpoonup}\), і т\(d\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}=dx\mathop{\ i}\limits^{\rightharpoonup}+dy\ \mathop{j}\limits^{\rightharpoonup}\). д. Якщо ми штовхаємо мармур вгору по поверхні від точки\(\left(0,0,E\left(0,0\right)\right)\) до точки\(\left(2,2,E\left(2,2\right)\right)\) вздовж шляху\(y=x\), висловити\(d\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}\) як векторну функцію\(dx\).

е Якщо ми штовхнемо мармур по шляху в частині d з силою, досить великою, щоб подолати силу тяжіння, що таке приріст роботи\(dw\), пов'язаний з приростом руху,\(d\mathop{r}\limits^{\rightharpoonup}\)?

f Скільки роботи ми повинні зробити, якщо ми будемо переміщати мармур від\(\left(0,0,E\left(0,0\right)\right)\) до точки\(\left(2,2,E\left(2,2\right)\right)\) вздовж шляху в частині d, використовуючи силу в частині е? Який взаємозв'язок між цим обсягом роботи і зміною енергії мармуру під час цього процесу?

м Припустимо, що ми штовхаємо мармур вгору по поверхні від точки\(\left(0,0,E\left(0,0\right)\right)\) до точки\(\left(2,2,E\left(2,2\right)\right)\) уздовж шляху\(y={x^2}/{2}\). Яке векторне опис цього шляху?

h Скільки роботи ми повинні зробити, якщо ми будемо переміщати мармур з точки\(\left(0,0,E\left(0,0\right)\right)\) в точку\(\left(2,2,E\left(2,2\right)\right)\) вздовж шляху в частині g, використовуючи силу в частині b? Порівняйте цей результат з вашим результатом у частині f Поясніть.

4. Розглянемо площину,\(f\left(x,y\right)=1-2x-3y\). \(df\)Для чого потрібна ця поверхня? Оцініть\(\Delta f=f\left(1,1\right)-f\left(-1,-1\right)\) шляхом інтеграції\(df\) по кожному з наступних шляхів:

а.\(y=x\)

б.\(y=x^3\)

c.\(y=1+x-x^2\)

д.\(y={\mathrm{sin} \left({\pi x}/{2}\right)\ }\)

5. \(\mathrm{2.00}\)Мольний зразок одноатомного ідеального газу розширюється оборотно і ізотермічно при\(\mathrm{350}\) K від\(\mathrm{5.82}\)\(\mathrm{58.20}\) L до L. Скільки роботи робиться на газі? Які бувають\(q\)\(\Delta E\), і\(\Delta H\) для газу в цьому процесі?

6. \(\mathrm{2.00}\)Мольний зразок одноатомного ідеального газу розширюється необоротно від\(\mathrm{5.82}\) L до\(\mathrm{58.20}\) L при постійному прикладеному тиску, рівному кінцевому тиску газу. Початкова і кінцева температури\(\mathrm{350}\) К. скільки роботи проводиться на газі? Які бувають\(q\)\(\Delta E\), і\(\Delta H\) для газу в цьому процесі? Порівняйте\(w\),\(\ q\),\(\Delta E\), і\(\Delta H\) для цього процесу з відповідними величинами для процесу в задачі 5. Порівняйте початковий і кінцевий стани газу з відповідними станами в задачі 5.

7. \(\mathrm{2.00}\)Мольний зразок одноатомного ідеального газу розширюється оборотно і адиабатично від\(\mathrm{5.82}\) L до\(\mathrm{58.20}\) L. Початкова температура\(\mathrm{350}\) К. Яка кінцева температура? Які початкові і кінцеві тиски? Скільки проводиться робота на газі? Які бувають\(q\)\(\Delta E\), і\(\Delta H\) для газу в цьому процесі?

8. Рівняння стану для «газу твердої сфери» -\(n\) це\(P\left(V-nb\right)=nRT\), де число молів і\(b\) молярний об'єм твердих сфер. Скільки роботи проводиться на цьому газі, коли n молів його розширюються оборотно і ізотермічно від\(V_1\) до\(V_2\)?

9. Власне кажучи, чи може спонтанне розширення реального газу бути ізотермічним? Чи може він бути безкоштовним? Чи може він бути адіабатичним? Чи може оборотне розширення газу бути ізотермічним? Чи може він бути безкоштовним? Чи може він бути адіабатичним?

10. Розглянемо машину, яка працює в циклі і перетворює тепло в більший обсяг роботи. Що трапилося б з енергією Всесвіту, якби цією машиною можна було працювати в зворотному напрямку?

11. Покажіть, що твір тиску і обсягу має одиниці енергії.

12. Наведіть контрприклад, щоб довести, що кожне з наступних пропозицій є помилковим:

а Якщо\(X\) є державною функцією,\(\ X\) зберігається.

b. якщо\(X\) велика величина, яка задовольняє\(X+\hat{X}=0\),\(X\) є державною функцією.

---

Нотатки

\(^{1}\)Оскільки температура води збільшується і процес повинен бути оборотним, ми повинні підтримувати температуру теплового резервуара трохи\(dT\) більше, ніж температура води протягом усього процесу. Ми можемо досягти цього, використовуючи кількість ідеального газу в якості теплового резервуара. Зворотно стискаючи ідеальний газ, ми можемо оборотно доставити необхідне тепло при збереженні необхідної температури. Розглянемо цю операцію далі в розділі 12.5.