7.20: Адіабатичні розширення ідеального газу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 21902

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо ідеальний газ, який піддається оборотному адіабатичному розширенню з початкового стану\(T_1\), заданого відомими значеннями\(V_1\) і, до нового стану\(V_2\), в якому значення обсягу, відомо, але значення температури\(T_2\), не відомо. Для адіабатичного оборотного процесу\(q=0\), і\(w=\Delta E\). Так як\({\left({\partial E}/{\partial T}\right)}_V=C_V\), у нас\(dE=C_VdT\), щоб

\[w=\Delta E=\int^{T_2}_{T_1}{C_V}dT\]

Для будь-якого газу можна вважати, що він\(C_V\) приблизно постійний в невеликому діапазоні температур. Приймаючи\(C_V\) бути постійним в інтервалі\(T_1<t_2\) >, ми маємо\(w=\Delta E=C_V\left(T_2-T_1\right)\). Ми отримуємо зміну ентальпії від

\[\Delta H=\Delta E+\Delta \left(PV\right)=\Delta E+\Delta \left(RT\right)=C_V\left(T_2-T_1\right)+R\left(T_2-T_1\right)=C_P\left(T_2-T_1\right)\]

де ми використовуємо результат ідеального газу з розділу 7.16,\(C_P=C_V+R\).

Хоча ці співвідношення дають значення різних термодинамічних величин з точки зору різниці температур\(T_2-T_1\), нам ще належить знайти кінцеву температуру,\(T_2\). Щоб знайти\(T_2\), повертаємося до першого закону:\(dE=dq+dw\). Замінюючи\(dE\)\(dq\), і\(dw\), і, використовуючи ідеальне рівняння газу, ми маємо

\[C_VdT=-PdV=-\frac{RT}{V}dV\]

з якого, шляхом поділу змінних, ми маємо

\(\int^{T_2}_{T_1}{C_V}\frac{dT}{T}=-R\int^{V_2}_{V_1}{\frac{dV}{V}}\)(один моль ідеального газу, оборотне адіабатичне розширення)

Якщо ми знаємо\(C_V\) як функцію температури, ми можемо інтегруватися, щоб знайти зв'язок між\(T_1\),\(T_2\),\(V_1\), і\(V_2\). З огляду на будь-які три з цих величин, ми можемо використовувати це співвідношення, щоб знайти четверту. Якщо\(C_V\) не залежить від температури, як це для одноатомного ідеального газу, ми маємо

\[ \ln \frac{T_2}{T_1} =-\frac{R}{C_V} \ln \frac{V_2}{V_1} =\frac{R}{C_V} \ln \frac{V_1}{V_2} = \ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{R/C_V}\]

щоб

\[\frac{T_2}{T_1}= \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{R/C_V}\](одноатомний ідеальний газ, оборотне адіабатичне розширення)

Для спонтанного адіабатичного розширення ідеального газу проти постійного прикладеного тиску ми маємо\(dq=0\), так що\(dE=dw\), і\(C_VdT=-P_{applied}dV\). З огляду на початкові умови, можна знайти кінцеву температуру від

\[\int^{T_2}_{T_1}{C_VdT}=\int^{V_2}_{V_1}{-P_{applied}dV}=-P_{applied}\left(\frac{RT_2}{P_{applied}}-\frac{RT_1}{P_1}\right)=R\left(\frac{P_{applied}T_1}{P_1}-T_2\right)\](спонтанний адіабатичний процес)

Зміни інших функцій стану потім можна обчислити з наведених вище співвідношень. У цьому спонтанному адіабатичному процесі всі інші термодинамічні величини відрізняються від величин оборотного адіабатичного процесу, який досягає того ж кінцевого обсягу.