7.18: Реверсивний проти незворотного тиску та об'єму роботи
- Page ID
- 21910
У розділі 7.16 ми розглянемо тепловіддачу в оборотних процесах. Аналогічні міркування стосуються обміну роботою між системою та її оточенням. Коли ми використовуємо поршень для стиснення газу в балоні, ми повинні докласти достатню внутрішню силу на поршень, щоб подолати зовнішню силу, прикладену газом. У будь-якій реальній системі необхідно також подолати силу тертя, щоб ковзати поршень в циліндр. Ми ігноруємо тертя, уявляючи, що можемо зробити його ефекти довільно малими.
Стиснути газ можна тільки в тому випадку, якщо подається тиск перевищує тиск газу. Якщо прикладене тиск дорівнює тиску газу, поршень залишається нерухомим. Якщо прикладене тиск більше, ніж тиск газу на будь-яку вічно таку малу кількість, газ буде стиснутий. І навпаки, якщо прикладене тиск буде нескінченно менше тиску газу, газ буде розширюватися. Робота, виконана в таких умовах, є оборотною роботою; довільно невелика зміна відносних тисків може змінити напрямок, в якому рухається поршень. Ми підсумовуємо ці умови, кажучи, що оборотний тиск - об'ємна робота може відбуватися лише в тому випадку, якщо система та її оточення знаходяться в механічній рівновазі.
Тепер подумаємо про розрахунок оборотної роботи для ізотермічного стиснення газу шляхом ковзання поршня в циліндр. У будь-якому реальному експерименті ми повинні мати\(P_{applied}>P_{gas}\), і будь-який реальний експеримент обов'язково незворотний. У оборотному експерименті ми маємо\(P_{applied}=P_{gas}=P\), і оборотна робота\(w^{rev}\),
\[\begin{align*} w^{rev} &=\int^{V_2}_{V_1}{-P_{applied}dV} \\[4pt] &=\int^{V_2}_{V_1}{-P_{gas}dV} \end{align*}\nonumber \]
Для одного моля ідеального газу у нас є\(P={RT}/{V}\). Так як температура постійна, оборотна ізотермічна робота стає
\[w^{rev}=\int^{V_2}_{V_1}{-\frac{RT}{V}dV}=-RT{ \ln \frac{V_2}{V_1}\ }\nonumber \]
де\(V_1\) і\(V_2\) - початковий і кінцевий обсяги газу відповідно. Це має просту графічну інтерпретацію. Для ідеального газу при постійній температурі,\(-P_{gas}\) обернено пропорційний\(V_{gas}\). Як намальовано на малюнку 7, оборотна робота відповідає площі між цією кривою і абсцисою і між початковим\(V_1\), і кінцевим\(V_2\) обсягами газу.
На відміну від цього, необоротне розширення відповідає руху поршня\(P_{gas}>P_{applied}\), коли, або еквівалентно,\(-P_{gas}<-P_{applied}\). Тому робота, виконана на газі, менше в оборотному випадку, ніж в необоротному випадку. (Обидва терміни роботи менше нуля. Абсолютне значення оборотної роботи більше абсолютного значення незворотної роботи.) З наших визначень оборотного та незворотного тиску - об'ємної роботи, ми маємо\({dw}^{rev}<{dw}^{irrev}\) і\(\ w^{rev}<w^{irrev}\), до тих пір, поки початковий і кінцевий стани однакові в незворотному процесі, як і в зворотному процесі постійної температури. Затінена область на малюнку 7 представляє роботу, виконану на газі, коли прикладене тиск миттєво знижується до кінцевого тиску\(P_a\), досягнутого газом в реверсивному процесі.
Для оборотного процесу крива тиску - об'єму точно відображає стан газу, коли відбувається збільшення обсягу. Температура газу постійна по цій кривій. Хоча ми можемо простежити аналогічну лінію тиску - об'ємні точки для незворотного розширення, ця лінія не визначає набір проміжних станів, які система займає під час незворотного розширення. Стан газу добре визначено тільки в рівноважному стані, що передує незворотному падінню тиску і в рівноважному стані, яке система в кінцевому підсумку досягає. Зручно описувати ці два процеси як оборотний процес і спонтанний процес, який «приймає систему з одного і того ж початкового стану в той же кінцевий стан». Однак ця мова затьмарює істотний момент. У початковому стані для оборотного процесу ми маємо
\[P_{gas}={RT}/{V_1=P_{applied}}\nonumber \]
У початковому стані для спонтанного процесу ми маємо
\[P_{gas}=\dfrac{RT}{V_1}\nonumber \]
і
\[P_{applied}=\frac{RT}{V_2}\nonumber \]
Ми маємо на увазі, звичайно, те, що значення всіх функцій стану для гіпотетичного початкового стану спонтанного процесу такі ж, як і для рівноважного початкового стану оборотного процесу.
Поки ми можемо сказати, що процес приймає систему з того ж початкового стану в той же кінцевий стан, подібний аргумент може бути зроблений для оборотної і незворотної роботи будь-якого роду. Якою б не була сила, ізотермічна оборотна робота, виконана над системою, завжди менше, ніж незворотна робота по взяттю системи між однаковими двома станами. Це важливий результат. У главі 9 ми знаходимо, що це логічний наслідок другого закону термодинаміки.
Нарешті, розглянемо оборотний процес, в якому система завершує цикл тиску - об'єму. Система проходить замкнутий шлях у площині тиску — об'єм. Такий шлях зображений на малюнку 8. Ми дозволяємо найменшим і найбільшим обсягам, досягнутим протягом циклу, бути\(V_{\ell }\) і\(V_h\), відповідно. Закритий шлях складається з сегмента високого тиску і сегмента низького тиску, які зустрічаються при\(V_{\ell }\) і\(V_h\). На кожному з цих сегментів тиск є функцією обсягу. Ми дозволяємо тиски на сегменти високого і низького тиску бути\(P_h\left(V\right)\) і\(P_{\ell }\left(V\right)\), відповідно. (В інтервалі\(V_{\ell }
У нас є
\[w_h\left(V_{\ell }\mathrm{\to }V_h\right) = \int^{V_h}_{V_{\ell }}{{ + P}_h\left(V\right)dV} = A_h\mathrm{<0}\nonumber \]
Робота, виконана над системою при її проходженні сегмента низького тиску від\(V_{\ell }\) до,\(V_h\) представлена площею\(A_{\ell }\). У нас є
\[w_{\ell }\left(V_{\ell }\to V_h\right)=\int^{V_h}_{V_{\ell }}{{-P}_{\ell }\left(V\right)dV}=A_{\ell }<0\nonumber \]
Коли сегмент низького тиску проходить в зворотному напрямку, ми маємо\(w_{\ell }\left(V_h\to V_{\ell }\right)=-A_{\ell }>0\). Коли система проходить цикл у напрямку проти годинникової стрілки, чиста робота, виконана над системою, є
\[ \begin{align*} w_{net} &=w_h\left(V_{\ell}\to V_h\right)+w_{\ell}\left(V_h\to V_{\ell}\right) \\[4pt] &=\int^{V_h}_{V_{\ell}}{-P_h\left(V\right)dV}+\int^{V_{\ell}}_{V_h}{{-P}_{\ell }\left(V\right)dV} \\[4pt] &=\oint{-P\left(V\right)dV} \\[4pt] &=A_h-A_{\ell }<0 \end{align*}\nonumber \]
Таким чином, чиста робота, виконана в системі, представлена на графіку площею\(A_h-A_{\ell }\), яка є лише (негативною) областю в площині тиску - об'єму, яка обмежена замкнутим контуром.