7.17: Вільне розширення газу

Last updated
Save as PDF

Page ID: 21939

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Для розвитку теорії термодинаміки ми повинні вміти моделювати термодинамічні властивості газів як функції тиску, температури та обсягу. Для цього розглянемо процеси, в яких змінюється обсяг газу. Щоб розширення (або стиснення) газу було відтворюваним процесом, слід контролювати обмін теплом між системою та її оточенням. Є два простих способи зробити це. Ми можемо занурити систему в ванну з постійною температурою, температура якої така ж, як і у системи; в цьому випадку\(\Delta T=0\), і можна сказати, що процес є ізотермічним.

Крім того, ми можемо ізолювати систему, щоб вона не могла обмінюватися теплом з навколишнім середовищем; в цьому випадку і процес\(q=0\), як кажуть, є адіабатичним. У § 7 ми знаходимо, що робота, виконана над системою, коли її обсяг змінюється\(dV\) під впливом прикладеного тиску\(P_{applied}\), є

\[dw=-P_{applied}dV.\nonumber \]

Будь-яке розширення системи, в якій прикладається тиск менше тиску в системі, можна назвати вільним розширенням. У розділі 10.14 ми розглядаємо адіабатичне розширення реального газу проти постійного прикладеного тиску - процес, відомий як розширення Джоуля-Томсона. Ми виявляємо, що ми повинні ввести новий параметр - коефіцієнт Джоуля-Томсона - для того, щоб описати поведінку реального газу у вільному розширенні. Коефіцієнт Джоуля-Томсона змінюється в залежності від тиску і температури.

Буквально ізотермічний процес - це той, при якому температура системи залишається однаковою протягом усього процесу. Однак ми часто використовуємо цей термін, щоб означати лише те, що процес відбувається, коли система знаходиться в тепловому контакті з середовищем постійної температури. Вільне розширення газу є незворотним процесом; в принципі, температура газу, що зазнає вільного розширення, не є значущою величиною. Коли ми говоримо про ізотермічне вільне розширення газу, ми маємо на увазі, що кінцева температура така ж, як і початкова температура.

Тут ми розглянемо поведінку ідеальних газів, і почнемо з розгляду граничного випадку вільного розширення, при якому прикладається тиск дорівнює нулю. Фізично це відповідає розширенню системи в (дуже великий) евакуйований контейнер. За цієї умови\(dw=0\) і відбувається зміна енергії\(dE=dq\). За одну моль будь-якої речовини,\(C_V={\left({\partial E}/{\partial T}\right)}_V\). Якщо тільки тиск - об'ємна робота можлива, а прикладене тиск дорівнює нулю, ми маємо\(dE=dq=C_VdT\), і

\[\Delta E=q=\int^{T_2}_{T_1}{C_VdT}\nonumber \]

де\(T_1\) і\(T_2\) знаходяться температури речовини до і після розширення відповідно.

При звичайних температурах\(C_V\) змінюється лише повільно в міру зміни температури. У короткому діапазоні температур зазвичай є хорошим наближенням припустити, що\(C_V\) це постійна. У нас є

\[\Delta E=q=C_V\left(T_2-T_1\right)\nonumber \](один моль будь-якого газу або іншої речовини)

Для одноатомного ідеального газу зміна енергії точно\[\Delta E=q=\frac{3}{2}R\left(T_2-T_1\right)\nonumber \] (один моль одноатомного ідеального газу)

Зміна ентальпії для будь-якого процесу є\(\Delta H=\Delta E+\Delta \left(PV\right)\). Якщо в системі один моль ідеального газу, ми маємо, тому що\(\Delta \left(PV\right)=R\Delta T=R\left(T_2-T_1\right)\),

\[\Delta H=C_V\left(T_2-T_1\right)+R\left(T_2-T_1\right)=\left(C_V+R\right)\left(T_2-T_1\right)=C_P\left(T_2-T_1\right)\nonumber \](один моль будь-якого ідеального газу)

Для ізотермічного вільного розширення проти прикладеного тиску нуля ми маємо\(\Delta T=0\), і тому ні енергія, ні ентальпія газу не змінюється. Так як також\(dw=0\) не може бути обміну теплом з навколишнім середовищем. У нас є

\[w=q=\Delta T=\Delta E=\Delta H=0\nonumber \](вільне розширення, ідеальний газ)

Для адіабатичного вільного розширення ми маємо\(dq=0\) і\(dw=0\), і це випливає знову\(w=q=\Delta T=\Delta E=\Delta H=0\). Ми бачимо, що ізотермічні та адіабатичні розширення ідеального газу у вакуум є еквівалентними процесами. Якщо розширення протистоїть ненульовому прикладеному тиску, два процеси перестають бути рівнозначними.