Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.6: Правило ланцюга та правило розділення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    21918

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Якщо у нас є\(f\left(x,y\right)\)\(x\) while і\(y\) є функціями іншої змінної\(u\), правило ланцюга стверджує, що

    \[\frac{df}{du}={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y\frac{dx}{du}+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x\frac{dy}{du}\]

    Якщо\(x\) і\(y\) є функціями змінних\(u\) і\(v\); тобто\(x=x\left(u,v\right)\) і\(y=y\left(u,v\right)\), правило ланцюга для часткових похідних є

    \[{\left(\frac{\partial f}{\partial u}\right)}_v={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y{\left(\frac{\partial x}{\partial u}\right)}_v+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x{\left(\frac{\partial y}{\partial u}\right)}_v\]

    Корисна мнемоніка визнає, що ці рівняння можуть бути створені з загального диференціала шляхом «ділення через» на\(du\). Треба уточнити, що «нові» часткові похідні приймаються з\(v\) утримуваною константою. Це іноді називають правилом розділення.

    Правило поділу є надійним доцільним для генерації нових взаємозв'язків між частковими похідними. Як додатковий приклад, ділення на\(dx\) і визначення того, що будь-яка інша змінна повинна бути постійною, дає дійсне рівняння. Дозволивши w бути змінною, що утримується постійною, отримуємо

    \[\begin{align*} \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_w &=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y\left(\frac{\partial x}{\partial x}\right)_w + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_w \\[4pt] &= \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x \left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)_w \end{align*}\]

    де ми це визнаємо\({\left({\partial x}/{\partial x}\right)}_w=1\). Результатом є лише правило ланцюга для\({\left({\partial f}/{\partial x}\right)}_w\) коли\(f=f\left(x,y\right)\) і\(y=y\left(x,w\right)\); тобто коли\(\ f=f\left(x,y\left(x,w\right)\right)\).

    Якщо ми вимагаємо, щоб\(f\left(x,y\right)\) залишатися постійними в той час як\(x\) і\(y\) змінюватися, ми можемо використовувати правило ділення хоча, щоб отримати інший корисний зв'язок із загального диференціала. Якщо\(f\left(x,y\right)\) постійний,\(df\left(x,y\right)=0\). Це може бути правдою лише в тому випадку, якщо існує взаємозв'язок між\(x\) і\(y\). Щоб знайти цей зв'язок, ми використовуємо правило розділення, щоб знайти,\({\left({\partial f}/{\partial y}\right)}_f\) коли\(f=f\left(x\left(y\right),y\right)\). Розділення

    \[{ df=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_ydx+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_xdy\]

    шляхом\(dy\), і обумовлюючи, що\(f\) є постійним, ми знаходимо

    \[{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_f={\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y{\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_f+{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x{\left(\frac{\partial y}{\partial y}\right)}_f\]

    З тих пір, як\({\left({\partial f}/{\partial y}\right)}_f=0\) і\({\left({\partial y}/{\partial y}\right)}_f=1\), у нас є

    \[{\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)}_x=-{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_y{\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)}_f\]

    У розділі 10 ми виявляємо, що правило поділу є зручним способом генерування термодинамічних відносин.