Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.5: Визначення того, чи є вираз точним диференціалом

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    21909

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Оскільки точні диференціали мають ці важливі характеристики, цінно знати, чи є даний диференціальний вираз точним чи ні. Тобто, задано диференціальний вираз виду

    \[df=M\left(x,y\right)dx+\ N\left(x,y\right)dy, \label{eq1}\]

    ми хотіли б мати можливість визначити, чи\(df\) є точним чи неточним. Виявляється, існує простий тест на точність:

    тест на точність

    Диференціал у вигляді Equation\ ref {eq1} точний тоді і тільки тоді, коли

    \[\dfrac{\partial M}{ \partial y} = \dfrac{\partial N}{ \partial x}. \label{eq2}\]

    Тобто ця умова є необхідним і достатнім для існування функції\(f\left(x,y\right)\), для якої\(M\left(x,y\right)=f_x\left(x,y\right)\) і\(N\left(x,y\right)=f_y\left(x,y\right)\).

    У § 4 ми демонструємо, що умова необхідна. Тепер ми хочемо показати, що цього достатньо. Тобто ми хочемо продемонструвати: якщо Equation\ ref {eq2} утримувати, то існує таке\(f\left(x,y\right)\), що\(M\left(x,y\right)=f_x\left(x,y\right)\) і\(N\left(x,y\right)=f_y\left(x,y\right)\). Для цього ми покажемо, як знайти функцію\(f\left(x,y\right)\), яка задовольняє задану диференціальну залежність. Якщо ми\(M\left(x,y\right)\) інтегруємо стосовно\(x\), ми маємо\[f\left(x,y\right)=\int{M\left(x,y\right)dx+h\left(y\right)}\]

    де\(h\left(y\right)\) є тільки функція\(y\); це довільна константа в інтеграції щодо\(x\), яку ми виконуємо з\(y\) утримується постійною.

    Щоб завершити доказ, ми повинні знайти\(h\left(y\right)\) таку функцію, щоб це\(f\left(x,y\right)\) задовольняло умовам:

    \[\begin{align} \label{GrindEQ_1} M\left(x,y\right) &=f_x\left(x,y\right)\Leftrightarrow \\[4pt] &=\frac{\partial }{\partial x}\left[\int{M\left(x,y\right)dx+h\left(y\right)}\right] \end{align}\]

    \[\begin{align}\label{GrindEQ_2} N\left(x,y\right) &=f_y\left(x,y\right) \Leftrightarrow \\[4pt] &=\frac{\partial }{\partial y}\left[\int{M\left(x,y\right)dx+h\left(y\right)}\right] \end{align}\]

    Обґрунтованість умови в Equation\ ref {GrindEq_1} випливає відразу з фактів, що порядок диференціювання та інтеграції може бути змінений для неперервної функції, і\(h\left(y\right)\) це тільки функція\(y\), так що\({\partial h}/{\partial x=0}\).

    Щоб знайти\(h\left(y\right)\) таку умову в Equation\ ref {GrindEq_2} задовольняється, ми спостерігаємо, що

    \[\frac{\partial }{\partial y}\left[\int{M\left(x,y\right)dx+h\left(y\right)}\right]=\int{\left(\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y}\right)}dx+\frac{dh\left(y\right)}{dy}\]

    Але так як\[\frac{\partial M\left(x,y\right)}{\partial y} = \frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x}\]

    це стає

    \[\frac{\partial }{\partial y}\left[\int{M\left(x,y\right)dx+h\left(y\right)}\right] = \int{\left(\frac{\partial N\left(x,y\right)}{\partial x}\right)}dx+\frac{dh\left(y\right)}dy =N\left(x,y\right)+\frac{dh\left(y\right)}{dy}\]

    Отже, умова в Equation\ ref {GrindEq_2} виконується тоді і тільки тоді\({dh\left(y\right)}/{dy}=0\), так що\(h\left(y\right)\) це просто довільна константа.