Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.4: Точні диференціали та функції стану

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    21933

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тепер розглянемо загальний випадок неперервної функції\(f\left(x,y\right)\), для якої точний диференціал

    \[df=f_x\left(x,y\right)dx+f_y\left(x,y\right)dy.\]

    Ми хочемо інтегрувати точний диференціал на дуже короткі шляхи, такі як шляхи a і b в розділі 7.3. Оцінимо інтеграл між\(\left(x_0,y_0\right)\) та\(\left(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y\right)\) над шляхами a* та b*, намальованими на малюнку 3.

    Знімок екрана 2019-10-02 в 5.01.07 PM.png
    Малюнок 3. Альтернативні шляхи\(x_0, ~ y_0\) from () to (\(x_0 + \Delta x, ~ y_0 + \Delta y\))
    • Контур a* має два лінійних сегмента. Перший відрізок - це частина лінії\({y=y}_0\), яка\(x\) йде від\(x_0\) до\(x_0+\Delta x\). Уздовж першого відрізка\(\Delta y=0\). Другий відрізок - це частина лінії\({x=x}_0+\Delta x\), яка\(y\) йде від\(y_0\) до\(y_0+\Delta y\). Уздовж другого відрізка,\(\Delta x=0\).
    • Шляхи b* також має два лінійні сегменти. Перший відрізок - це частина лінії\(x=x_0\), яка\(y\) йде від\(y_0\) до\(y_0+\Delta y\). Уздовж першого відрізка,\(\Delta x=0\). Другий відрізок - це частина лінії\({y=y}_0+\Delta y\), яка\(x\) йде від\(x_0\) до\(x_0+\Delta x\). Уздовж другого відрізка,\(\Delta y=0\).

    Уздовж шляху a*, у нас є

    \[{\Delta }_{a^*}f=f_x\left(x_0,y_0\right)\Delta x+f_y\left(x_0+\Delta x,y_0\right)\Delta y\nonumber \]

    Уздовж шляху b*,

    \[{\Delta }_{b^*}f=f_x\left(x_0,y_0+\Delta y\right)\Delta x+f_y\left(x_0,y_0\right)\Delta y\nonumber \]

    У межі як\(\Delta x\) і\(\Delta y\) стати довільно малим, треба мати\({\Delta }_{a^*}f={\Delta }_{b^*}f\), щоб

    \[f_x\left(x_0,y_0\right)\Delta x+f_y\left(x_0+\Delta x,y_0\right)\Delta y=f_x\left(x_0,y_0+\Delta y\right)\Delta x+f_y\left(x_0,y_0\right)\Delta y\nonumber \]

    Переставляючи це рівняння таким чином, що члени в\(f_x\) знаходяться на одній стороні, а члени в\(f_y\) знаходяться на іншій стороні, діливши обидві сторони на\(\Delta x\Delta y\), і приймаючи межу як\(\Delta x\to 0\) і\(\Delta y\to 0\), ми маємо

    \[{\mathop{\mathrm{lim}}_{\Delta x\to 0} \left[\frac{f_y\left(x_0+\Delta x,y_0\right)-f_y\left(x_0,y_0\right)}{\Delta x}\right]\ }={\mathop{\mathrm{lim}}_{\Delta y\to 0} \left[\frac{f_x\left(x_0,y_0+\Delta y\right)-f_x\left(x_0,y_0\right)}{\Delta y}\right]\ }\nonumber \]

    Ці межі є частковою\(f_y\left(x_0,y_0\right)\) похідною по відношенню до\(x\) і по\(f_x\left(x_0,y_0\right)\) відношенню до\(y\). Тобто

    \[{\left[{\frac{\partial }{\partial x}f}_y\left(x_0,y_0\right)\right]}_y={\left[\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f\left(x_0,y_0\right)}{\partial y}\right)\right]}_y=\frac{{\partial }^2f\left(x_0,y_0\right)}{\partial y\partial x}\nonumber \]і\[{\left[{\frac{\partial }{\partial y}f}_x\left(x_0,y_0\right)\right]}_x={\left[\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f\left(x_0,y_0\right)}{\partial x}\right)\right]}_x=\frac{{\partial }^2f\left(x_0,y_0\right)}{\partial x\partial y}\nonumber \]

    Це показує, що якщо\(f\left(x,y\right)\) є безперервною функцією\(x\) і\(y\) чиї часткові похідні існують, то

    \[\frac{{\partial }^2f\left(x_0,y_0\right)}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^2f\left(x_0,y_0\right)}{\partial x\partial y}\nonumber \]

    Змішана друга\(f\left(x,y\right)\) часткова похідна від не залежить від порядку диференціації. Ми також запишемо ці другі часткові похідні як\(f_{xy}\left(x_0,y_0\right)\) і\(f_{yx}\left(x_0,y_0\right)\).

    Підсумовуючи ці моменти, якщо\(f\left(x,y\right)\) є безперервною функцією\(x\) і\(y\), все наступне вірно:

    1. \(f\left(x,y\right)\)являє собою поверхню в тривимірному просторі.
    2. \(f\left(x,y\right)\)є державною функцією.
    3. Загальний диференціал дорівнює\[df={\left({\partial f}/{\partial x}\right)}_ydx+{\left({\partial f}/{\partial y}\right)}_xdy.\nonumber \]
    4. Загальний диференціал точний.
    5. Лінійний інтеграл\(df\) між двома точками не залежить від шляху інтеграції.
    6. Лінійний інтеграл\(df\) навколо будь-якого замкнутого шляху дорівнює нулю:\(\oint{df=0}\).
    7. Змішані други-часткові похідні рівні; тобто\[\frac{{\partial }^2f}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^2f}{\partial x\partial y}\nonumber \]