Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

1.5: Об'єднання операцій симетрії - «Групове множення»

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    17555

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Тепер ми дослідимо, що відбувається, коли ми застосовуємо дві операції симетрії послідовно. Як приклад розглянемо\(NH_3\) молекулу, яка відноситься до\(C_{3v}\) точкової групи. Розглянемо, що станеться, якщо застосувати\(C_3\) обертання з подальшим \(\sigma_v\)відображенням. Ми пишемо цю комбіновану операцію \(\sigma_v\)\(C_3\)(коли написано, операції симетрії оперують річчю безпосередньо праворуч, так само, як це роблять оператори в квантовій механіці - тому нам доводиться працювати назад справа наліво від позначення, щоб отримати правильний порядок, в якому застосовуються оператори). Як ми незабаром побачимо, порядок, в якому застосовуються операції, важливий.

    альт

    \(\sigma_v\)\(C_3\)Комбінована операція еквівалентна \(\sigma_v''\), яка також є операцією симетрії\(C_{3v}\) точкової групи. Тепер давайте подивимося, що станеться, якщо ми застосуємо оператори в зворотному порядку, тобто\(C_3\)\(\sigma_v\) (\(\sigma_v\)далі \(C_3\)).

    альт

    Знову ж таки,\(C_3\)\(\sigma_v\) комбінована операція еквівалентна іншій операції групи точок, на цей раз \(\sigma_v'\).

    Є два важливих моменти, які ілюструються цим прикладом:

    1. Важливий порядок, в якому застосовуються дві операції. Для двох операцій симетрії\(A\) і\(B\),\(AB\) не обов'язково те ж саме\(BA\), що, тобто операції симетрії взагалі не коммутують. У деяких групах елементи симетрії їздять на роботу; такі групи, як кажуть, є абелівськими.
    2. Якщо послідовно застосовувати дві операції з однієї групи точок, результат буде еквівалентний іншій операції з групи точок. Операції симетрії, які пов'язані один з одним іншими операціями симетрії групи, належать до одного і того ж cl ass. В\(NH_3\), три дзеркальні площини \(\sigma_v\), \(\sigma_v'\)і \(\sigma_v''\)належать до одного класу (пов'язані один з одним за допомогою\(C_3\) обертання), як\(C_3^+\) і обертання і\(C_3^-\) ( обертання проти годинникової стрілки і за годинниковою стрілкою навколо головної осі, пов'язані один з одним вертикальною дзеркальною площиною

    Ефекти застосування двох операцій симетрії послідовно в межах заданої групи точок узагальнено в таблицях множення gro up. Як приклад, повна таблиця групового множення для\(C_{3v}\) використання операцій симетрії, як визначено на малюнках вище, наведена нижче. Операції, написані вздовж першого рядка таблиці, виконуються першими, а потім ті, які написані в першому стовпці (зверніть увагу, що таблиця зміниться, якщо ми вибрали назву \(\sigma_v\), \(\sigma_v'\)і \(\sigma_v''\)в деякому іншому порядку).

    \[\begin{array}{l|llllll} C_{3v} & E & C_3^+ & C_3^- & \sigma_v & \sigma_v' & \sigma_v'' \\ \hline E & E & C_3^+ & C_3^- & \sigma_v & \sigma_v' & \sigma_v'' \\ C_3^+ & C_3^+ & C_3^- & E & \sigma_v' & \sigma_v'' & \sigma_v \\ C_3^- & C_3^- & E & C_3^+ & \sigma_v'' & \sigma_v & \sigma_v' \\ \sigma_v & \sigma_v & \sigma_v'' & \sigma_v' & E & C_3^- & C_3^+ \\ \sigma_v' & \sigma_v' & \sigma_v & \sigma_v'' & C_3^+ & E & C_3^- \\ \sigma_v'' & \sigma_v'' & \sigma_v' & \sigma_v & C_3^- & C_3^+ & E \end{array} \label{5.1}\]