4.2: Коливання енергетичного розриву
- Page ID
- 21106
Як коливання енергетичного розриву переходу входять в нелінійний відгук? Як ми робили у випадку лінійних експериментів, ми будемо використовувати друге наближення кумулянтів, щоб пов'язати дипольні кореляційні функції з кореляційною функцією енергетичного розриву\(C_{eg}(\tau)\). Пам'ятаючи, що для випадку взаємодії системної ванни, яка лінійно з'єднує ядерні координати системи та ванни, кумулянтне розширення дозволяє виражати лінійну спектроскопію через функцію лінійної форми\(g(t)\)
\[C_{\mu\mu}(t)=|\mu_{eg}|^2e^{-i\omega_{eg}t}e^{-g(t)} \label{5.2.1}\]
\[g(t)=\int_0^tdt''\int_0^{t''}dt'\underbrace{\frac{1}{\hbar^2}\langle\delta H_{eg}(t')\delta H_{eg}(0)\rangle}_{C_{eg}(t')} \label{5.2.2}\]
\[C_{eg}(\tau)=\langle\delta\omega_{eg}(\tau)\delta\omega_{eg}(0)\rangle \label{5.2.3}\]
\(g(t)\)являє собою складну функцію, для якої уявні компоненти описують ядерний рух, що модулює або зміщує енергетичний проміжок, тоді як реальна частина описує коливання і 46 демпфування, які призводять до розширення лінії. Коли\(C_{eg}(\tau)\) набуває незгасаної коливальної форми\(C_{eg}(\tau)=De^{i\omega_0\tau}\), як ми могли б очікувати для зв'язку електронного переходу в ядерний режим з частотою\(\omega_0\), ми відновлюємо вирази, які ми спочатку вивели для електронної форми поглинання, в якій\(D\) є міцність зчеплення. і пов'язані з фактором Франка-Кондона.
Тут нас цікавлять розбірливі механізми розширення ліній та часова шкала випадкових флуктуацій, що впливають на перехідну енергетичну щілину. Підсумовуючи наші попередні результати, ми можемо виразити функції лінійної форми для коливань енергетичного розриву в однорідній та неоднорідній межі як
Однорідна межа
Коливання ванни нескінченно швидкі, і характеризуються лише величиною:
\[C_{eg}(\tau)=\Gamma\delta(\tau) \label{5.2.4}\]
У цій межі отримуємо феноменологічний результат демпфування
\[g(t)=\Gamma t \label{5.2.5}\]
Що призводить до однорідних лоренціанскіх ліній з шириною\(Γ\).
Неоднорідна межа
Коливання ванни нескінченно повільні, і знову характеризуються величиною, але при цьому немає занепаду кореляцій
\[C_{eg}(\tau)=\Delta^2 \label{5.2.6}\]
Ця межа відновлює гаусову статичну межу та гаусову неоднорідну лінійну форму, де Δ - розподіл частот.
\[g(t)=\frac{1}{2}\Delta^2t^2 \label{5.2.7}\]
проміжний режим
Проміжний режим - це коли енергетичний проміжок коливається за тією ж шкалою часу, що і експеримент. Найпростішим описом є стохастична модель, яка описує втрату кореляції з часовою шкалою.\(\tau_c\)
\[C_{eg}(\tau)=\Delta^2exp(-t/\tau_c) \label{5.2.8}\]
що призводить до
\[g(t)=\Delta^2\tau_c^2\left[exp(-t/\tau_c)+t/\tau_c-1\right] \label{5.2.9}\]
Для довільної форми динаміки лазні ми можемо побудувати\(g(t)\) як суму над незалежними режимами\(g(t)=\sum_ig_i(t)\). Або для безперервного розподілу для режимів ми можемо описати ванну через спектральну щільність\(\rho(\omega)\), яка описує зв'язані ядерні рухи.
\[\rho(\omega)=\frac{1}{2\pi\omega^2}Im\left[\tilde C_{eg}(\omega)\right] \label{5.2.10}\]
\[\begin{aligned} g(t) &= \int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\frac{1}{2\pi\omega^2}\tilde C_{eg}(\omega)\left[exp(-i\omega t)+i\omega t-1\right] \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}d\omega\rho(\omega)\left(\coth{\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)}(1-\cos{\omega t})+i(\sin{\omega t}-\omega t)\right) \end{aligned} \label{5.2.11}\]
Для побудови довільної форми ванни феноменологічна модель броунівського осцилятора дозволяє побудувати ванну\(i\) затухаючих осциляторів,
\[\begin{aligned} C_{eg}''(\omega) &=\sum_i\xi_iC_i''(\omega) \\ C_i''(\omega) &= \frac{\hbar}{m_i}\frac{\omega\Gamma_i}{(\omega_i^2-\omega^2)^2+4\omega^2\Gamma_i^2} \end{aligned} \label{5.2.12}\]
\(\xi_i\)Ось коефіцієнт зв'язку для генератора i.