2.3: Приклад-лінійний відгук для дворівневої системи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 21113

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Розглянемо схематичний підхід до задачі лінійного поглинання, використовуючи дворівневу систему з нижнім рівнем\(a\) і верхнім рівнем\(b\). У функції лінійної відповіді існує лише одна незалежна кореляційна функція.

\[\begin{aligned} C(t) &= Tr[\mu(t)\mu(0)\rho_{eq}] \\[4pt] &=Tr[\mu\hat G(t)\mu\rho_{eq}]\end{aligned}\label{3.3.1}\]

Про це не потрібно знати перед початком, але корисно враховувати, оскільки воно повинно бути відновлено в кінці. Система буде прийматися для запуску в наземному стані\(\rho_{aa}\). Лінійна реакція дозволяє лише одне вхідне поле взаємодії, яке повинно бути поглинанням, і яке ми приймаємо, щоб бути взаємодією на стороні ket. Тепер ми можемо намалювати дві діаграми:

З цієї діаграми ми можемо почати з опису характеристик сигналу з точки зору індукованої поляризації. Твір полів інциденту вказує:

\[E_1e^{-i\omega_1t+i\bar k_1\cdot\bar r} \Rightarrow P(t)e^{-i\omega_{sig}t+i\bar k_{sig}\cdot\bar r}\label{3.3.2}\]

щоб

\[\omega_{sig}=\omega_1 ~~~~~ \bar k_{sig}=\bar k_1 \label{3.3.3}\]

Як і очікувалося, сигнал буде випромінюватися з тією ж частотою і в тому ж напрямку, що і вхідний промінь. Далі ми можемо записати кореляційну функцію для цього терміна. Робота від низу до верху:

(1) (2) (3) (4)

\ [\ почати {вирівняний} C (t) &=p_ {a}\ лівий [\ mu_ {b a}\ праворуч]\ лівий [e^ {-i\ omega_ {b a} t-\ Gamma_ {b} t}\ праворуч [\ mu_ {a b}\ праворуч]\\ &=p_ {a}\ ліворуч [\
mu_ {a b}\ праворуч]\\\ &=p_ {a}\ left|\ mu_ {b}\ праворуч |^ {2} e^ {-i\ omega_ {b a} t-\ Гамма_ {b a} t}\ кінець {вирівняний}\ мітка {3.3.4}\]

Більш складні способи лікування еволюції часу під\(H_0\) кроком (3) можуть мати форму деяких наших попередніх методів лікування лінії поглинання:

\[\begin{aligned}\hat{G}(\tau) \rho_{a b} & \sim \rho_{a b} \exp \left[-i \omega_{a b} \tau\right] F(\tau) \\&=\rho_{a b} \exp \left[-i \omega_{a b} \tau-g(t)\right] \end{aligned} \label{3.3.5}\]

Зверніть увагу, що можна намалювати чотири можливі перестановки лінійної діаграми при розгляді бічних взаємодій бюстгальтера та кету та початкової популяції в станах a та b:

Однак у цих додаткових діаграмах немає нового динамічного змісту, і вони, як правило, приймаються для розуміння через одну діаграму. Діаграма ii - це лише складний кон'югат екв. (3.3.4), тому додавання цього внеску сигналу дає:

\[C(t)-C^*(t)=2ip_a|\mu_{ba}|^2\sin (\omega_{ba}t)e^{-\Gamma_{ba}t} \label{3.3.6}\]

Облік термічно збудженої популяції спочатку в b призводить до очікуваної дворівневої функції відгуку системи, яка залежить від різниці популяції

\[R(t)=\frac{2}{\hbar}(p_a-p_b)|\mu_{ba}|^2\sin (\omega_{ba}t)e^{-\Gamma_{ba}t} \label{3.3.7}\]