11.4: Проблеми

Проблема\(\PageIndex{1}\)

Розглянемо оператор,\(\hat A\) визначений у Рівнянні\(11.1.1\), як\(\hat A=\hat x + \dfrac{d}{dx}\). Він лінійний або нелінійний? Обґрунтуйте.

Проблема\(\PageIndex{2}\)

Які з цих функцій є власнимифункціями оператора\(-\frac{d^2}{dx^2}\)? Дайте відповідне власне значення, коли це доречно. У кожному конкретному випадку\(k\) можна розцінювати як постійну.

\[f_1(x)=e^{ikx} \nonumber\]

\[f_2(x)=\cos(kx) \nonumber\]

\[f_3(x)=e^{-kx^2} \nonumber\]

\[f_4(x)=e^{ikx}-cos(kx) \nonumber\]

Проблема\(\PageIndex{3}\)

У квантовій механіці\(x\),\(y\) і\(z\) складові моменту моменту представлені наступними операторами:

\[ \begin{align*} \hat{L}_x &=i\hbar\left(\sin\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\cos\phi}{\tan \theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \\[4pt] \hat{L}_y &=i\hbar\left(-\cos\phi\frac{\partial}{\partial \theta}+\frac{\sin\phi}{\tan \theta}\frac{\partial}{\partial\phi}\right) \\[4pt] \hat{L}_z &=-i\hbar\left(\frac{\partial}{\partial \phi}\right) \end{align*}\]

Оператором для квадрата величини орбітального моменту моменту,\(\hat{L}^2=\hat{L}^2_x +\hat{L}^2_y+\hat{L}^2_z\) є:

\[\hat{L}^2=-\hbar^2\left(\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}+\frac{1}{\tan \theta}\frac{\partial}{\partial\theta}+\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}\right) \nonumber\]

а) Показати, що три 2p орбіталі атома H є власними функціями обох\(\hat{L}^2\) і\(\hat{L}_z\), і визначити відповідні власні значення.

\[\psi_{2p0}=\frac{1}{\sqrt{32\pi a_0^3}}r e^{-r/2 a_0}\cos\theta \nonumber\]

\[\psi_{2p+1}=\frac{1}{\sqrt{64\pi a_0^3}}r e^{-r/2 a_0}\sin\theta e^{i\phi} \nonumber\]

\[\psi_{2p-1}=\frac{1}{\sqrt{64\pi a_0^3}}r e^{-r/2 a_0}\sin\theta e^{-i\phi} \nonumber\]

б) Розрахувати\(\hat{L}_x\psi_{2p0}\). Чи є\(\psi_{2p0}\) і власна функція\(\hat{L}_x\)?

в) Розрахувати\(\hat{L}_y\psi_{2p0}\). Чи є\(\psi_{2p0}\) і власна функція\(\hat{L}_y\)?

Проблема\(\PageIndex{4}\)

Доведіть, що

\[\left[\hat{L}_z,\hat{L}_x\right]=i\hbar \hat{L}_y \nonumber\]

Проблема\(\PageIndex{5}\)

Для системи, що рухається в одному вимірі, оператор імпульсу може бути записаний як

\[\hat p = i \hbar \frac{d}{dx} \nonumber\]

Знайти комутатор\([\hat x, \hat p]\)

Примітка:\(\hbar\) визначається як\(h/{2 \pi}\), де\(h\) константа Планка. Це було визначено, оскільки співвідношення часто\(h/{2 \pi}\) з'являється у квантовій механіці.

Проблема\(\PageIndex{6}\)

Ми продемонстрували, що не\(\psi_1s\) є власною функцією\(\hat T\). Тим не менш, ми можемо обчислити середню кінетичну енергію електрона 1s,\(\left \langle T \right \rangle\). Використовуйте Рівняння\(11.3.1\) для обчислення виразу для\(\left \langle T \right \rangle\).

Проблема\(\PageIndex{7}\)

Використовуйте гамільтоніан рівняння\(11.3.5\) для обчислення енергії електрона в 1-й орбіталі атома водню. Нормована хвильова функція 1-ї орбіти становить:

\[\psi=\frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0} \nonumber\]

Проблема\(\PageIndex{8}\)

Вираз Рівняння\(11.3.1\) може бути використаний для отримання очікуваного (або середнього) значення спостережуваного, представленого оператором\(\hat{A}\).

Стан частинки, обмеженої в одновимірній коробці довжини a, описується наступною хвильовою функцією:

\[\psi(x)=\begin{cases} \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a} \right )& \mbox{ if } 0\leq x\leq a \\ 0 &\mbox{otherwise} \end{cases} \nonumber\]

Оператор імпульсу для одновимірної системи введено в задачу\(\PageIndex{5}\).

а) Отримати вираз для\(\hat{p}^2\) і визначити\(\psi\), чи є власною функцією\(\hat{p}\) і\(\hat{p}^2\). По можливості отримуємо відповідні власні значення.

Підказка:\(\hat{p}^2\) це продукт\(\hat{p}\hat{p}\).

б) Визначте, чи\(\psi\) є власною функцією\(\hat{x}\). По можливості отримуємо відповідні власні значення.

в) Обчислити наступні розрахункові значення:\(\left \langle x \right \rangle\),\(\left \langle p^2 \right \rangle\), і\(\left \langle p \right \rangle\). Порівняйте з власними значеннями, розрахованими в попередніх питаннях.