10.4: Короткий вступ до ймовірності
- Page ID
- 18193
Ми говорили про те, що хвильова функція може бути інтерпретована як ймовірність, але це хороший час, щоб формалізувати деякі поняття і зрозуміти, що ми насправді маємо на увазі під цим.
Почнемо з розгляду (або вивчення) декількох понять теорії ймовірностей. По-перше, випадкова величина - це величина, значення якої піддається варіаціям через випадковість. Наприклад, ми могли б визначити змінну, яка дорівнює кількості днів, коли йде дощ у Феніксі щомісяця, або результату кидання штампу (кількість точок, звернених вгору), або часу, необхідного для наступного автобуса, щоб прибути на автовокзал, або час очікування, який нам доведеться витримати наступного разу, коли ми зателефонуємо клієнту сервісна телефонна лінія. Деякі з цих випадкових величин дискретні; кількість дощових днів або кількість точок, звернених вгору в штампі, може приймати лише зліченну кількість різних значень. Для випадку загибелі результат може бути тільки\(\{1,2,3,4,5,6\}\). На відміну від цього, час очікування - це безперервна випадкова величина. Якщо ви могли виміряти з достатньою точністю, випадкова величина може приймати будь-яке позитивне реальне значення. Повертаючись до фізичної хімії, положення електрона в атомі або молекулі є хорошим прикладом безперервної випадкової величини.
Уявіть собі (за загальним визнанням нерозумно) гру, яка передбачає гортання двох монет. Ви отримуєте по одній точці за кожен хвіст, і дві точки для кожної голови. У грі три можливих результату: 2 очка (якщо вийде два хвоста), 3 очка (якщо вийде один хвіст і одна голова) і 4 очка (якщо вийде дві голови). Результати не мають однакової ймовірності. Імовірність отримання двох голів або двох хвостів дорівнює 1/4, при цьому ймовірність того, що ви отримаєте одну голову і один хвіст - 1/2. Якщо ми визначимо випадкову\(x\) величину (), яка дорівнює кількості очок, які ви отримаєте в одному раунді гри, ми можемо представити ймовірності отримання кожного можливого результату як:
| \(x\) | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| \(P(x)\) | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
Колекція результатів називається простором вибірки. У цьому випадку простір зразка є\(\{2,3,4\}\). Якщо ми додамо\(P(x)\) над зразком простору ми отримаємо, як очікувалося, 1. Іншими словами, ймовірність того, що ви отримаєте результат, який належить до простору вибірки, повинна бути 1, що має сенс, оскільки ми визначили простір вибірки як сукупність усіх можливих результатів. Якщо думати про електрон в атомі, і визначити положення в полярних координатах,\(r\) (відстань від ядра атома) - це випадкова величина, яка може приймати будь-яке значення від 0 до\(\infty\). Простір вибірки випадкової величини\(r\) - це множина позитивних дійсних чисел.
Повертаючись до нашої дискретної змінної\(x\), наш попередній аргумент перетворюється на
\[\sum\limits_{sample\; space}P(x)=1 \nonumber\]
Чи можемо ми виміряти ймовірності? Не точно, але ми можемо виміряти частоту кожного результату, якщо повторити експеримент велику кількість разів. Наприклад, якщо ми граємо в цю гру три рази, ми не знаємо, скільки разів отримаємо 2, 3 або 4 очки. Але якщо ми граємо в гру дуже велику кількість разів, то знаємо, що половину часу ми отримаємо 3 очки, чверть часу отримаємо 2 очка, а ще чверть 4 очка. Імовірність - це частота результату в межі нескінченної кількості випробувань. Формально частота визначається як кількість разів, коли ви отримуєте даний результат, розділений на загальну кількість випробувань.
Тепер, навіть якщо у нас немає ніякого способу передбачити результат нашого випадкового експерименту (дурна гра, яку ми описали вище), якби вам довелося робити ставку, ви б не подумали двічі і зробили ставку на\(x=3\) (одну голову і один хвіст). Той факт, що випадкова величина не має передбачуваного результату, не означає, що ми не маємо інформації про розподіл ймовірностей. Повертаючись до нашого атома, ми зможемо передбачити значення,\(r\) при якому ймовірність знаходження електрона найвища, середнє значення\(r\) і т.д. навіть якщо ми знаємо, що\(r\) може приймати значення до\(\infty\), ми знаємо, що набагато більше шансів знайти його дуже близько до ядро (наприклад, в межах ангстреми), ніж далеко (наприклад, один дюйм). Жоден фізичний закон не забороняє електрону знаходитися в 1 дюймі від ядра, але ймовірність того, що це відбувається настільки крихітна, що ми навіть не замислюємося про таку можливість.
Середнє дискретного розподілу
Поговоримо про середнє (або середнє) трохи більше. Яке саме середнє значення випадкової величини? Повертаючись до нашої «гри», це було б середнє значення, яке\(x\) ви отримаєте, якби ви могли грати в гру нескінченну кількість разів. Ви також можете попросити всю планету пограти в гру один раз, і що б виконати те ж саме. Планета не має нескінченної кількості людей, але середнє, яке ви отримаєте при декількох мільярдах випробувань випадкового експерименту (кидання двох монет), повинен бути досить близький до реального середнього. Середнє значення (його також називають середнім) ми будемо позначати кутовими дужками:\(\left \langle x \right \rangle\). Припустимо, ми граємо в цю гру\(10^9\) раз. Очікуємо 3 бали половину часу (частота =\(1/2\)), або в даному випадку\(5\times 10^8\) раз. Ми також очікуємо 2 бали або 4 бали з частотою\(1/4\), так що в цьому випадку\(2.5 \times 10^8\) раз. Що таке середній показник?
\[\left \langle x \right \rangle=\dfrac{1}{4}\times 2+\dfrac{1}{2}\times 3+\dfrac{1}{4}\times 4=3 \nonumber\]
В середньому мільярд людей, які грають в гру (або ви граєте в неї мільярд разів) повинні отримати 3 бали. Це трапляється найбільш ймовірний результат, але це не повинно бути так. Наприклад, якщо просто перевернути одну монету, ви можете отримати 1 очко або 2 бали з однаковою ймовірністю, а середнє значення буде 1,5, що не є найбільш ймовірним результатом. Насправді це навіть не можливий результат!.
Загалом, має сенс, що для дискретної змінної:
\[\label{eq:mean_discrete} \left \langle x \right \rangle=\sum\limits_{i=1}^k P(x_i)x_i\]
де сума виконується по всьому простору вибірки, який містить\(k\) елементи. Тут\(x_i\) є кожен можливий результат, і\(P(x_i)\) є ймовірність отримання цього результату (або частку разів ви отримаєте його, якби ви виконували величезну кількість випробувань).
Безперервні змінні
Як ми перекладаємо все, що ми щойно сказали, в безперервну змінну? Як приклад повернемося до випадкової величини\(r\), яка визначається як відстань електрона в атомі водню від його ядра. Як ми побачимо незабаром, 1-й електрон в атомі водню проводить більшу частину свого часу в межах пари ангстрем від ядра. Ми можемо запитати себе, яка ймовірність того, що електрон буде знайдений саме в 1Å від ядра? Математично, що таке\(P(r=1\) Å)? Відповідь вас розчарує, але ця ймовірність дорівнює нулю, і вона дорівнює нулю для будь-якого значення\(r\). Електрон повинен бути десь, але ймовірність знайти йому якесь конкретне значення\(r\) дорівнює нулю? Так, це саме так, і це наслідок безперервної змінної.\(r\) Уявіть, що ви отримуєте випадкове дійсне число в інтервалі [0,1] (ви могли б зробити це навіть у вашому калькуляторі), і я запитую вас, яка ймовірність того, що ви отримаєте точно\(\pi/4\). У цьому інтервалі є нескінченні дійсні числа, і всі вони однаково вірогідні, тому ймовірність отримання кожного з них є\(1/\infty=0\). Говорити про ймовірності конкретних результатів не дуже корисно в контексті неперервних змінних. Всі результати мають ймовірність нуля, навіть якщо ми інтуїтивно знаємо, що ймовірність знаходження електрона в межах 1Å набагато більше, ніж ймовірність знаходження його на декількох милі. Замість цього ми будемо говорити про щільність ймовірності (\(p(r)\)). Якщо вас бентежить, чому ймовірність того чи іншого результату дорівнює нулю, перевірте відео, перераховане в кінці цього розділу.
Графік\(p(r)\) показаний\(\PageIndex{1}\) на малюнку для випадку 1-ї орбіти атома водню. Знову ж таки, ми наголошуємо, що\(p(r)\) не вимірює ймовірність, що відповідає кожному значенню\(r\) (яка дорівнює нулю для всіх значень\(r\)), а замість цього вимірює щільність ймовірності. Ми вже представили цю ідею на сторінці
Формально функція щільності ймовірності (\(p(r)\)), визначається таким чином:
\[\label{eq:coordinates_pdf} P(a\leq r\leq b)=\int\limits_{a}^{b}p(r)dr\]
Це означає, що ймовірність того, що випадкова величина\(r\) приймає значення в інтервалі,\([a,b]\) є інтегралом функції щільності ймовірності від\(a\) до\(b\). За дуже малий інтервал:
\[\label{eq:coordinates_pdf2} P(a\leq r\leq a+dr)=p(a)dr\]
На закінчення, хоча\(p(r)\) поодинці нічого фізично не означає,\(p(r)dr\) є ймовірність того, що змінна\(r\) приймає значення в інтервалі між\(r\) і\(r+dr\). Наприклад, повертаючись до малюнка\(\PageIndex{1}\),\(p(1\) Å) = 0.62, що зовсім не означає, що 62% часу ми знайдемо електрон рівно 1Å від ядра. Натомість ми можемо використовувати його для обчислення ймовірності того, що електрон знаходиться у дуже вузькій області навколо 1Å. Наприклад,\(P(1\leq r\leq 1.001)\approx 0.62\times 0.001=6.2\times 10^{-4}\). Це лише наближення, оскільки число 0,001, хоча і набагато менше 1, не є нескінченно малим.
Загалом, поняття функції щільності ймовірностей легше зрозуміти в контексті Equation\ ref {eq:coordinates_pdf}. Можна обчислити ймовірність того, що електрон знаходиться на відстані коротше 1Å як:
\[P(0\leq r\leq 1)=\int\limits_{0}^{1}p(r)dr \nonumber\]
і на відстані більше 1Å, але коротше, ніж 2Å як
\[P(1\leq r\leq 2)=\int\limits_{1}^{2}p(r)dr \nonumber\]
Звичайно ймовірність того, що електрон знаходиться десь у Всесвіті, дорівнює 1, так:
\[P(0\leq r\leq \infty)=\int\limits_{0}^{\infty}p(r)dr=1 \nonumber\]
Ми ще не писали\(p(r)\) явно, але ми зробимо це найближчим часом, щоб ми могли виконати всі ці інтеграції та отримати ймовірності, розглянуті вище.
Плуталися про функції безперервної щільності ймовірності? Це відео може допомогти! http: //tinyurl.com/m6tgoap
Середнє значення безперервного розподілу
Для неперервної випадкової величини\(x\) Equation\ ref {eq:mean_discrette} стає:
\[\label{eq:mean_continuous} \left \langle x \right \rangle = \int\limits_{all\,outcomes}p(x) x \;dx\]
Повертаючись до нашого атома:
\[\label{eq:mean_r} \left \langle r \right \rangle = \int\limits_{0}^{\infty}p(r) r \;dr\]
Знову ж таки, ми повернемося до цього рівняння, як тільки отримаємо потрібний\(p(r)\) нам вираз. Але перш ніж це зробити, давайте розширити цю дискусію на більше змінних. Поки що ми обмежили нашу дискусію однією координатою, тому величина\(P(a\leq r\leq b)=\int\limits_{a}^{b}p(r)dr\) представляє ймовірність того, що координата\(r\) приймає значення між\(a\) і\(b\), незалежно від значень\(\theta\) і\(\phi\). Ця область простору являє собою сферичну оболонку, представлену на\(\PageIndex{2}\) малюнку світло-блакитним кольором. Сфери на малюнку вирізані для наочності, але, звичайно, ми маємо на увазі всю оболонку, яка визначається як область між двома концентричними сферами радіусів\(a\) і\(b\).
Що робити, якщо нас цікавлять і кути? Припустимо, що ми хочемо ймовірність того, що електрон знайдений між\(r_1\) і\(r_2\)\(\theta_2\),\(\theta_1\) і,\(\phi_1\) і\(\phi_2\). Цей обсяг показаний на рис\(\PageIndex{3}\). Імовірність, що нас цікавить, така:
\[P(r_1\leq r\leq r_2, \theta_1\leq \theta \leq \theta_2, \phi_1 \leq \phi \leq\phi_2)=\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2}\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}p(r,\theta,\phi)\;r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi \nonumber\]
Зверніть увагу, що ми інтегруємо в сферичні координати, тому нам потрібно використовувати відповідний диференціал об'єму.
Ця функція щільності ймовірності\(p(r,\theta,\phi)\), саме те, що\(|\psi(r,\theta,\phi)|^2\) представляє! Ось чому ми говорили, що\(|\psi(r,\theta,\phi)|^2\) це щільність ймовірності. Функція\(|\psi(r,\theta,\phi)|^2\) не представляє ймовірності сама по собі, але вона робить, коли інтегрована між межами інтересу. Припустимо, ми хочемо знати ймовірність того, що електрон в 1-й орбіталі атома водню знаходиться між\(r_1\)\(\theta_1\) і\(r_2\)\(\theta_2\), і,\(\phi_1\) і\(\phi_2\). Відповідь на це питання:
\[\int\limits_{\phi_1}^{\phi_2}\int\limits_{\theta_1}^{\theta_2}\int\limits_{r_1}^{r_2}|\psi_{1s}|^2\;r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi \nonumber\]
Повертаючись до випадку, показаного на малюнку\(\PageIndex{2}\), ймовірність того, що\(r\) приймає значення між\(a\) і\(b\) незалежно від значень кутів, є ймовірність, що\(r\) лежить між\(a\) і\(b\), і\(\theta\) приймає значення між 0 і\(\pi\), і\(\phi\) приймає значення від 0 до\(2\pi\):
\[\label{eq:coordinates9} P(a\leq r\leq b)=P(a\leq r\leq b,0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq \phi \leq 2\pi)=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{a}^{b}|\psi_{1s}|^2\;r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi\]
Функція радіальної щільності
Поки що встановлено, що\(|\psi(r,\theta,\phi)|^2\) є функцією щільності ймовірності в сферичних координатах. Ми можемо виконати потрійні інтеграли для обчислення ймовірності знаходження електрона в різних областях простору (але не в конкретній точці!). Часто корисно знати ймовірність знаходження електрона в орбіталі на будь-якій заданій відстані від ядра. Це дозволяє сказати, на якій відстані від ядра найімовірніше знаходиться електрон, а також наскільки щільно або вільно пов'язаний електрон в конкретному атомі. Це виражається функцією радіального розподілу\(p(r)\), яка побудована\(\PageIndex{1}\) на малюнку для 1-ї орбіти атома водню.
Іншими словами, ми хочемо, щоб версія\(|\psi(r,\theta,\phi)|^2\), яка не залежить від кутів. Ця нова функція буде\(r\) тільки функцією, і може бути використана, серед іншого, для обчислення середнього\(r\), найбільш ймовірного значення, ймовірності\(r\), що\(r\) лежить в заданому діапазоні відстаней і т.д.
Ми вже ввели цю функцію в Equation\ ref {eq:coordinates_pdf}. Питання зараз полягає в тому, як ми отримуємо\(p(r)\) від\(|\psi(r,\theta,\phi)|^2\)? Давайте порівняємо рівняння\ ref {eq:coordinates_pdf} з рівнянням\ ref {eq:coordinates9}:
\[P(a\leq r\leq b)=\int\limits_{a}^{b}p(r)dr \nonumber\]
\[P(a\leq r\leq b)=P(a\leq r\leq b,0 \leq \theta \leq \pi, 0 \leq \phi \leq 2\pi)=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{a}^{b}|\psi(r,\theta,\phi)|^2\;r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi \nonumber\]
Ми робимо висновок, що
\[\int\limits_{a}^{b}p(r)dr=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{a}^{b}|\psi(r,\theta,\phi)|^2\;r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi \nonumber\]
Всі\(s\) орбіталі є реальними функціями\(r\) тільки, тому\(|\psi(r,\theta,\phi)|^2\) не залежить від\(\theta\) або\(\phi\). У цьому випадку:
\[\int\limits_{a}^{b}p(r)dr=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{a}^{b}\psi^2(r)\;r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi=\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi \int\limits_{0}^{\pi}\sin\theta \;d\theta \int\limits_{a}^{b}\psi^2(r)\;r^2 dr=4\pi\int\limits_{a}^{b}\psi^2(r)\;r^2 dr \nonumber\]
Тому для\(s\) орбітальної,
\[p(r)=4\pi\psi^2(r)\;r^2 \nonumber\]
Наприклад, нормалізована хвильова функція 1-ї орбіти є рішенням Приклад\(10.1\):\(\dfrac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0}\). Тому для 1-ї орбіти:
\[\label{eq:coordinates10} p(r)=\dfrac{4}{a_0^3}r^2e^{-2r/a_0}\]
Рівняння\ ref {eq:coordinates10} побудовано на малюнку\(\PageIndex{1}\). Для того, щоб створити цю ділянку, нам потрібно значення\(a_0\), яке є константою, відомою як радіус Бора, і дорівнює\(5.29\times10^{-11}m\) (або 0,526 Å). Подивіться на позицію максимуму\(p(r)\); вона трохи вище 0.5Å і точніше, точно на\(r=a_0\)! Тепер зрозуміло, чому\(a_0\) відомий як радіус: це відстань від ядра, на якому знаходження єдиного електрона атома водню найбільше. У певному\(a_0\) сенсі, це радіус атома, хоча ми знаємо, що це не зовсім так, оскільки електрон не обертається навколо фіксованого,\(r\) як вважали вчені давно.
Загалом, для будь-якого типу орбітальних,
\[\int\limits_{a}^{b}p(r)dr=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{a}^{b}|\psi(r,\theta,\phi)|^2\;r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi=\int\limits_{a}^{b}{\color{Red}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}|\psi(r,\theta,\phi)|^2\;r^2 \sin\theta\; d\theta d\phi} dr \nonumber\]
У правій частині рівняння ми просто змінили порядок інтеграції, щоб мати\(dr\) останній, і колір закодований вираз, щоб ми могли легко ідентифікувати\(p(r)\) як:
\[\label{eq:p(r)} p(r)=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}|\psi(r,\theta,\phi)|^2\;r^2 \sin\theta\; d\theta d\phi\]
Рівняння\ ref {eq:p (r)} - це математична формулювання того, що ми хотіли: функція щільності ймовірності, яка не залежить від кутів. Ми інтегруємо\(\phi\) і\(\theta\) тому, що нам залишилося, являє собою залежність с\(r\).
Ми можемо помножити обидві сторони на\(r\):
\[rp(r)=r\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\color{Red}|\psi(r,\theta,\phi)|^2}{\color{OliveGreen}r^2 \sin\theta\; d\theta d\phi}=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}{\color{Red}|\psi(r,\theta,\phi)|^2}r{\color{OliveGreen}r^2 \sin\theta\; d\theta d\phi} \nonumber\]
і використовувати рівняння\ ref {eq:mean_r} для обчислення\(\left \langle r \right \rangle\)
\[\label{eq:coordinates12} \left \langle r \right \rangle = \int\limits_{0}^{\infty}{\color{Magenta}p(r) r} \;dr=\int\limits_{0}^{\infty}{\color{Magenta}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}|\psi(r,\theta,\phi)|^2r\;r^2 \sin\theta\; d\theta d\phi}dr\]
Кольори в цих виразах спрямовані на те, щоб допомогти вам відстежувати, звідки походять різні терміни.
Давайте розглянемо рівняння\ ref {eq:coordinates12} детальніше. В основному, ми щойно дійшли висновку, що:
\[\label{eq:coordinates13} \left \langle r \right \rangle = \int\limits_{all\;space}|\psi|^2r\;dV\]
де\(dV\) - диференціал об'єму в сферичних координатах. Ми знаємо, що\(\psi\) нормалізується, тому
\[\int\limits_{all\;space}|\psi|^2\;dV=1 \nonumber\]
Якщо помножити ціле число на\(r\), отримаємо\(\left \langle r \right \rangle\). Розширення цієї ідеї ми обговоримо, коли говоримо про операторів. А поки давайте використаємо Equation\ ref {eq:coordinates13} для обчислення\(\left \langle r \right \rangle\) для 1s орбіталі.
Приклад\(\PageIndex{1}\)
Обчисліть середнє значення\(r\)\(\left \langle r \right \rangle\), для електрона в 1-й орбіталі атома водню. Нормована хвильова функція 1-ї орбіти, виражена в сферичних координатах, становить:
\[\psi_{1s}=\dfrac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}e^{-r/a_0} \nonumber\]
Рішення
Середнє значення\(r\) становить:
\[\left \langle r \right \rangle=\int\limits_{0}^{\infty}p(r)r\;dr \nonumber\]
або
\[\left \langle r \right \rangle = \int\limits_{all\;space}|\psi|^2r\;dV \nonumber\]
Різниця між першим виразом і другим виразом полягає в тому, що в першому випадку ми вже інтегрували над кутами\(\theta\) і\(\phi\). Другий вираз є потрійним інтегралом, оскільки\(|\psi|^2\) все ще зберігає кутову інформацію.
У нас немає\(p(r)\), тому або отримуємо його спочатку\(|\psi|^2\), або безпосередньо використовуємо\(|\psi|^2\) та виконуємо потрійну інтеграцію:
\[\left \langle r \right \rangle = \int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}|\psi(r,\theta,\phi)|^2r\;{\color{Red}r^2 \sin\theta\; d\theta d\phi dr} \nonumber\]
Вираз, виділений червоним кольором, є диференціалом гучності.
Для цієї орбітальної
\[|\psi(r,\theta,\phi)|^2=\dfrac{1}{\pi a_0^3}e^{-2r/a_0} \nonumber\]
а потім,
\[\left \langle r \right \rangle = \dfrac{1}{\pi a_0^3}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-2r/a_0}r^3\;dr\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi\int\limits_{0}^{\pi}\sin\theta\; d\theta=\dfrac{4}{a_0^3}\int\limits_{0}^{\infty}e^{-2r/a_0}r^3\;dr \nonumber\]
З листа формул:
\(\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax}dx=\dfrac{n!}{a^{n+1}},\; a>0, n\)є натуральним числом.
Ось,\(n=3\) і\(a= 2/a_0\).
\[\dfrac{4}{a_0^3}\int\limits_{0}^{\infty}r^3e^{-2r/a_0}\;dr=\dfrac{4}{a_0^3}\times \dfrac{3!}{(2/a_0)^4}=\dfrac{3}{2}a_0 \nonumber\]
\[\displaystyle{\color{Maroon}\left \langle r \right \rangle=\dfrac{3}{2}a_0} \nonumber\]
З Прикладу ми помічаємо\(\PageIndex{1}\), що в середньому ми очікуємо побачити електрон на відстані від ядра, рівному 1,5 рази\(a_0\). Це означає, що якби ви могли виміряти\(r\), і ви виконуєте це вимірювання на великій кількості атомів водню, або на одному і тому ж атомі багато разів, ви б, в середньому, побачили електрон на відстані від ядра\(r=1.5 a_0\). Однак ймовірність побачити електрон найбільша на\(r=a_0\) (сторінці). Ми бачимо, що середнє значення розподілу не обов'язково повинно дорівнювати значенню, при якому ймовірність найвища 2.