10.3: Оновлення електронних квантових чисел

Кожен електрон в атомі описується чотирма різними квантовими числами.

• Основне квантове число:\(n=1,2,3...\infty\). Він визначає загальний розмір і енергію орбіти.
• Квантове число моменту моменту:\(l=0,1, 2...(n-1)\). Це пов'язано з формою орбіти. У хімії ми зазвичай використовуємо літери\(s,p,d,f...\) для позначення орбітальної с\(l=0, 1,2, 3...\). Наприклад, для 1-ї орбітальної,\(n=1\) і\(l=0\).
• Магнітне квантове число:\(m_l=-l, -l+1,...,0,...l-1, l\). У ньому вказується орієнтація орбіти. За\(p\) орбітальну, наприклад,\(l=1\) і тому\(m_l\) можна взяти значення\(-1, 0, 1\). Загалом, існують\(2l+1\) значення\(m_l\) для заданого значення\(l\). Саме тому\(p\) орбіталі бувають групами по 3,\(d\) орбіталі - групами по 5 і т.д.
• Спін квантове число:\(m_s=-1/2\) або\(1/2\). Принцип виключення Паулі стверджує, що жоден два електрони в одному атомі не може мати однакових значень для всіх чотирьох своїх квантових чисел. Це означає, що не більше двох електронів можуть займати одну і ту ж орбіталь, і що два електрони в одній орбіталі повинні мати протилежні спини.

Перші три квантові числа визначають конкретну орбіталь, яку займає електрон. Наприклад, орбітальна\(2p_{-1}\) - це орбітальна с\(n=2\),\(l=1\) і\(m_l=-1\). Два електрона протилежного спина можуть займати цю орбіталь.

Поки ми були обмежені 1s орбіталі, але тепер, коли нам зручніше номенклатура орбіталів, ми можемо почати робити деякі математики з орбіталями, які мають більш складні вирази.

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Після вирішення рівняння Шредінгера для атома водню отримаємо наступний вираз для\(2p_{+1}\) орбіти:

\[\psi_{2p_{+1}}=Are^{-r/(2a_0)}\sin\theta e^{i\phi} \nonumber\]

як завжди, отримуємо константу\(A\) з умови нормалізації. Розрахувати\(A\).

Рішення

У трьох вимірах умова нормалізації становить:

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dV=1 \nonumber\]

Тому що орбіталь виражається в сферичних координатах:

\[\int\limits_{all\;space} |\psi|^2\;dV=\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\psi^*(r,\theta,\phi)\psi(r,\theta,\phi)\,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi=1 \nonumber\]

Для цієї конкретної орбіти:

\[\psi_{2p_{+1}}=Are^{-r/(2a_0)}\sin\theta e^{i\phi} \nonumber\]

\[\psi_{2p_{+1}}^*=Are^{-r/(2a_0)}\sin\theta e^{-i\phi} \nonumber\]

\[\psi_{2p_{+1}}^* \psi_{2p_{+1}}=A^2r^2e^{-r/(a_0)}\sin^2\theta \left(e^{i\phi}e^{-i\phi}\right)=A^2r^2e^{-r/(a_0)}\sin^2\theta \nonumber\]

Отже,

\[\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty}\psi^*(r,\theta,\phi)\psi(r,\theta,\phi)\,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi =\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty} {\color{Red}A^2r^2e^{-r/(a_0)}\sin^2\theta} \,{\color{Blue}r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi}=1 \nonumber\]

де частина integrand, виділена синім кольором, походить від диференціала обсягу (\(dV\)), а частина червоним походить від\(|\psi|^2\). Нам потрібно інтегрувати весь вираз, так:

\[\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty} A^2r^2e^{-r/(a_0)}\sin^2\theta \,r^2\sin\theta\,dr d\theta d\phi=A^2\int\limits_{0}^{2\pi}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\sin^3\theta \,dr d\theta d\phi=A^2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\,dr \nonumber\]

---

\[\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi=2\pi \nonumber\]

---

\[\int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta=? \nonumber\]

З листа формул:\(\int sin^3(ax)\, dx=\frac{1}{12a}\cos(3ax)-\frac{3}{4a}\cos(ax)+C\) так,

\[\int_{0}^{\pi} sin^3\theta\, d\theta=\frac{1}{12}\cos(3\pi)-\frac{3}{4}\cos(\pi)-\frac{1}{12}\cos(0)+\frac{3}{4}\cos(0)=\frac{1}{12}(-1)-\frac{3}{4}(-1)-\frac{1}{12}(1)+\frac{3}{4}(1)=\frac{4}{3} \nonumber\]

---

\[\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\,dr=? \nonumber\]

З листа формул:

\(\int_{0}^{\infty}x^ne^{-ax}dx=\frac{n!}{a^{n+1}},\; a>0, n\)є натуральним числом.

Ось,\(a=1/a_o\) і\(n=4\), так:

\[\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\,dr=\frac{4!}{(1/a_0)^5}=24a_0^5 \nonumber\]

---

Збираємо три частини разом:

\[A^2\int\limits_{0}^{2\pi}d\phi \int\limits_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta\int\limits_{0}^{\infty} r^4e^{-r/(a_0)}\,dr=A^2\times 2\pi\times \frac{4}{3}\times 24a_0^5=64a_0^5\pi A^2=1 \nonumber\]

Рішення для\(A\):

\[A=\frac{1}{8\left(a_0^5 \pi\right)^{1/2}} \nonumber\]

Отже, нормалізована орбітальна

\[\displaystyle{\color{Maroon}\psi_{2p_{+1}}=\frac{1}{8\left(a_0^5 \pi\right)^{1/2}}re^{-r/(2a_0)}\sin\theta e^{i\phi}} \nonumber\]