Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.4: Проблеми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    18313

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Примітка. Деякі з цих результатів ви будете використовувати в розділі 12. Зберігайте копію своєї роботи під рукою, щоб ви могли використовувати її знову, коли це необхідно.

    Проблема\(\PageIndex{1}\)

    Розглянемо наступну періодичну функцію:

    Знімок екрана 2019-10-25 о 12.05.52 PM.png

    • Функція непарна, парна чи ні?
    • Обчислити всі коефіцієнти рядів Фур'є функції вручну (тобто не в Mathematica). Висловіть функцію як ряд Фур'є.
    • У лабораторії: Використовуйте функцію Manipulate в Mathematica для побудови рядів Фур'є. Спостерігайте, як кінцева сума наближається до фактичної трикутної хвилі, коли ви збільшуєте верхню межу суми.

    Проблема\(\PageIndex{2}\)

    Розглянемо періодичну функцію, утворену періодичним продовженням:

    \[f(x)=\left\{\begin{matrix}-1/2 & -1\leq x\leq 0 \\ 1/2 &0<x \leq 1 \end{matrix}\right. \nonumber\]

    • Функція непарна, парна чи ні?
    • Обчислити всі коефіцієнти рядів Фур'є функції вручну (тобто не в Mathematica). Висловіть функцію як ряд Фур'є.
    • У лабораторії: Використовуйте функцію Manipulate в Mathematica для побудови рядів Фур'є.

    Спостерігайте, як кінцева сума наближається до фактичної трикутної хвилі, коли ви збільшуєте верхню межу суми.

    Проблема\(\PageIndex{3}\)

    У квантовій механіці зустрічаються такі функції:

    \(\Phi _m(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{im\phi},\;m=0, \pm 1, \pm2,\pm3...\;and\;0\leq\phi\leq 2\pi\)

    Довести, що ці функції всі нормалізовані, і що будь-які дві функції множини взаємно ортогональні.

    Підказка: Розглянемо випадки\(m=0\) і\(m\neq0\) окремо, і пам'ятайте, що\(e^{im\phi}=1\) коли\(m=0\). Не забувайте враховувати комплексний кон'югат в стані нормалізації!

    Підказка 2: Перевірте главу 2. Можливо, ви вже вирішували цю проблему раніше!