7.3: Ортогональні розширення

Примітка

Як зазначено в розділі 7.2, коефіцієнти\ ref {eq:fourier} визначаються так:

\[\label{ao} a_0=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx\]

\[\label{an} a_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)}dx\]

\[\label{bn} b_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)}dx\]

Ідея вираження функцій як лінійної комбінації функцій заданої базової множини є більш загальною, ніж те, що ми щойно бачили. Синуси та косинуси - це не єдині функції, які ми можемо використовувати, хоча вони є особливим хорошим вибором для періодичних функцій. Існує фундаментальна теорема в теорії функцій, яка стверджує, що ми можемо побудувати будь-яку функцію, використовуючи повний набір ортонормальних функцій.

Термін ортонормальний означає, що кожна функція в множині нормалізується, і що всі функції множини взаємно ортогональні. Для функції в одному вимірі умова нормалізації:

\[\label{eq:fourier_normalization} \int_{-\infty }^{\infty }{\left | f (x) \right |}^2\; dx=1\]

Дві функції\(f(x)\) і\(g(x)\), як кажуть, ортогональні, якщо:

\[\label{eq:fourier_orthogonal} \int_{-\infty }^{\infty }{f (x) g^*(x) }\; dx=0\]

Ідея про те, що ви можете побудувати функцію з лінійною комбінацією ортонормальних функцій, аналогічна ідеї побудови вектора в трьох вимірах шляхом об'єднання векторів,\(\vec{v_1}=\{(1,0,0)\}, \vec{v_2}=\{(0,1,0)\},\vec{v_3}=\{(0,0,1)\},\) які, як ми всі знаємо, взаємно ортогональні і мають одиничну довжину.

Базова множина, яку ми використовуємо для побудови ряду Фур'є:

\[\{1, \sin{(\frac{\pi}{L} x)}, \cos{(\frac{\pi}{L} x), \sin{(2\frac{\pi}{L} x)}, \cos{(2\frac{\pi}{L} x)}, \sin{(3\frac{\pi}{L} x)}}, \cos{(3\frac{\pi}{L} x)}...\} \nonumber\]

Доведемо, що ці функції взаємно ортогональні в інтервалі\([0,2L]\) (одному крапці).

Для прикладу доведемо, що\(\sin{(n\frac{\pi}{L} x)}\) і\(1\) є ортогональними:

\[\int sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=-\frac{L}{n\pi}cos\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) \nonumber\]

\[\int_{0}^{2L} sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=-\frac{L}{n\pi}cos\left (2n\pi \right )+\frac{L}{n\pi}cos(0)=\frac{L}{n\pi}\left ( 1-cos(2n\pi) \right )=0 \nonumber\]

Ми також можемо довести,\(\sin{(nx)}\) що будь-який ортогональний до будь-якого\(\cos{(nx)}\):

\[\int sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) \cos\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=-\frac{L}{4n\pi}\cos\left (\frac{2n\pi x}{L} \right ) \nonumber\]

\[\int_{0}^{2L} \sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) cos\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=-\frac{L}{4n\pi}\cos\left (4n\pi\right )+\frac{L}{4n\pi}\cos (0)=0 \nonumber\]

Дотримуючись тієї ж процедури, ми також можемо довести, що

\[\int \sin\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) \sin\left (\frac{m\pi x}{L} \right )dx=0\;n\neq m \nonumber\]

\[\int \cos\left (\frac{n\pi x}{L} \right ) \cos\left (\frac{m\pi x}{L} \right )dx=0\;n\neq m \nonumber\]

Функції, що використовуються в рядах Фур'є, взаємно ортогональні. Чи нормалізуються вони?

\[\int_{0}^{2L} \sin^2\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=L \nonumber\]

\[\int_{0}^{2L} \cos^2\left (\frac{n\pi x}{L} \right )dx=L \nonumber\]

\[\int_{0}^{2L} 1^2\;dx=2L \nonumber\]

Їх немає! Функції\(1/2L, \frac{1}{L}\sin{(\frac{\pi}{L} x)}\) і\(\frac{1}{L}\cos{(\frac{\pi}{L} x)}\) нормалізуються, тому можна стверджувати, що наш ортонормальний набір повинен бути:

\[\{\frac{1}{2L},\frac{1}{L} \sin{(\frac{\pi}{L} x)},\frac{1}{L} \cos{(\frac{\pi}{L} x),\frac{1}{L} \sin{(2\frac{\pi}{L} x)}, \frac{1}{L}\cos{(2\frac{\pi}{L} x)}}, ...\} \nonumber\]

а серія повинна бути написана так:

\[\label{eq:fourier2} f(x)=c_0\frac{1}{2L}+\frac{1}{L}\sum_{n=1}^{\infty}c_n \cos\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )+\frac{1}{L}\sum_{n=1}^{\infty}d_n \sin\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )\]

де ми використовували\(c\) літери і\(d\) щоб відрізнити ці коефіцієнти від визначених у Рівняннях\ ref {ao},\ ref {an} і\ ref {bn}.

Однак якщо порівняти цей вираз з рівнянням\ ref {eq:fourier}:

\[\label{eq:fourier} f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n cos\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )+\sum_{n=1}^{\infty}b_n sin\left ( \frac{n\pi x}{L} \right )\]

ми бачимо, що це лише питання того, як ми визначаємо коефіцієнти. Коефіцієнти в Рівнянні\ ref {eq:fourier} дорівнюють коефіцієнтам рівняння\ ref {eq:fourier2}, поділеним на\(L\). Іншими словами, коефіцієнти в Equation\ ref {eq:fourier} вже містять константу\(L\) (подивіться на Рівняння\ ref {ao},\ ref {an} і\ ref {bn}), тому ми можемо записувати синуси і косинуси, не записуючи множник\(1/L\) кожен раз.

На закінчення безліч

\[\{1, \sin{\left(\frac{\pi}{L} x\right)}, \cos{\left(\frac{\pi}{L} x\right), \sin{\left(2\frac{\pi}{L} x\right)}, \cos{\left(2\frac{\pi}{L} x\right)}, \sin{\left(3\frac{\pi}{L} x\right)}}, \cos{\left(3\frac{\pi}{L} x\right)}...\} \nonumber\]

не є строго ортонормальним способом написання, але це один раз ми включаємо константу\(L\) в коефіцієнти. Тому косинуси і синуси утворюють повний набір, що дозволяє висловити будь-яку іншу функцію, використовуючи лінійну комбінацію її членів.

Існують і інші ортонормальні множини, які використовуються в квантовій механіці для вираження різноманітних функцій. Просто пам'ятайте, що ми можемо побудувати будь-яку функцію, використовуючи повний набір ортонормальних функцій.

Ми можемо побудувати будь-яку функцію, використовуючи повний набір ортонормальних функцій.