7.2: Серія Фур'є

Ряд Фур'є являє собою лінійну комбінацію синусоїдальних і косинусних функцій, і він призначений для представлення періодичних функцій:

\[\label{eq:fourier} f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos\left ( \dfrac{n\pi x}{L} \right )+\sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin\left ( \dfrac{n\pi x}{L} \right )\]

Коефіцієнти\(a_0, a_1,a_2...a_n\) і\(b_1, b_2....b_n\) є константами.

Важливо зауважити, що період синусоїдальних і косинусних функцій у Equation\ ref {eq:fourier} дорівнює\(P=2L/n\) (див. Розділ 1.4). Це означає, що ми будемо змішувати синуси і косинуси періодів\(2L\)\(2L/2\)\(2L/3\),\(2L/4\),, і т.д. як ми побачимо, ця лінійна комбінація призведе до періодичної функції періоду\(P = 2L\).

Крім того, нам потрібні тільки непарні члени (функції синуса) для представлення непарної періодичної функції, тому в цьому випадку всі\(a_n\) коефіцієнти (в тому числі\(a_0\)) будуть дорівнювати нулю. Нам потрібні тільки парні члени (функції косинуса), щоб представляти парну функцію, тому в цьому випадку всі\(b_n\) коефіцієнти будуть дорівнювати нулю. Чому ми не маємо\(b_0\) терміна? Це тому, що\(\sin{(0)}=0\). У випадку з косинусами\(n=0\) термін відокремлюється від суми, але він не зникає тому, що\(\cos{(0)}\neq0\).

Це означає, що непарна періодична функція з періодом\(P=2L\) буде в загальному:

\[f(x)= b_1 \sin{\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)}+b_2 \sin{\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)}+b_3 \sin{\left(\dfrac{3\pi x}{L}\right)}... \nonumber\]

Скажімо, ми хочемо побудувати непарну періодичну функцію періоду\(P=2\pi\). Оскільки період є\(2L\), це означає, що\(L=\pi\):

\[f(x)= b_1 \sin{\left(x\right)}+b_2 \sin{\left(2x\right)}+b_3 \sin{\left(3x\right)}... \nonumber\]

Насправді ми вже бачили такий приклад на малюнку\(7.1.2\) (праворуч). Ця періодична функція, яка побудована з використанням\(b_n=1/n\), має період,\(2\pi\) як ми щойно прогнозували. Давайте подивимося інші приклади з різними коефіцієнтами:

Зверніть увагу, що ми змішуємо функції,\(\sin{\left(x\right)}, \sin{\left(2x\right)},\sin{\left(3x\right)}...\) використовуючи різні коефіцієнти, і завжди створюємо періодичну функцію з періодом\(P=2\pi\).

Повертаючись до Equation\ ref {eq:fourier}, ми знаємо, що різні коефіцієнти створюватимуть різні періодичні функції, але всі вони матимуть крапку\(2L\). Очевидне питання тепер полягає в тому, як обчислити коефіцієнти, які створять потрібну нам функцію. Припустимо, що періодична функція будується періодичним продовженням функції\(f(x)\), яка визначається в інтервалі\([-L,L]\). Одним з прикладів може бути функція Figure\(7.1.5\), яка визначається в інтервалі\([-\pi,\pi]\). Якщо ми створимо періодичне розширення цієї функції, ми створимо періодичну функцію з періодом\(2\pi\). Аналогічно, створивши періодичне розширення функції, визначеної в інтервалі,\([-L,L]\) ми створимо періодичну функцію з періодом\(2L\). Коефіцієнти рівняння\ ref {eq:fourier} обчислюються наступним чином:

\[\label{ao} a_0=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx\]

\[\label{an} a_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)}dx\]

\[\label{bn} b_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)}dx\]

Зверніть увагу, що Equation\ ref {ao} є окремим випадком Equation\ ref {an}, і що у нас немає коефіцієнта,\(b_0\) тому що\(\sin{(0)}=0\). Оскільки Equation\ ref {eq:fourier} являє собою періодичну функцію з крапкою\(2L\), інтеграція виконується протягом одного періоду з центром у нулі (\(L\)тобто половина періоду).

Альтернативна рецептура

Рівняння\ ref {eq:four'є} часто записується у вигляді:

\[\label{eq:fourier_alt} f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}a_n \cos\left ( \dfrac{n\pi x}{L} \right )+\sum_{n=1}^{\infty}b_n \sin\left ( \dfrac{n\pi x}{L} \right )\]

Якщо ми вирішимо це зробити, нам, звичайно, потрібно повторно визначити коефіцієнт\(a_0\) як:

\[a_0=\dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L}f(x)dx. \nonumber\]

Обидві версії дають, звичайно, одну і ту ж серію, і чи вибираєте ви ту чи іншу - справа смаку. Ви можете побачити дві версії в різних підручниках, тому не плутайте!.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Отримати ряд Фур'є періодичної функції, представленої на малюнку.

Рішення

\(y(x)\)є періодичною функцією з періодом\(P=2\). Вона може бути побудована періодичним продовженням функції\(f(x)=2x\), визначеної в інтервалі\([-1,1]\). Зверніть увагу, що цей інтервал має ширину, рівну періоду, і він зосереджений на нулі.

Оскільки\(y(x)\) непарна, ми не будемо морочитися обчисленням коефіцієнтів\(a_n\). Ми могли б, але ми отримали б нуль для всіх з них. Рівняння\ ref {eq:four'є}, отже, зводиться до:

\[y(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n sin\left ( \dfrac{n\pi x}{L} \right ) \nonumber\]

З Рівняння\ ref {bn} коефіцієнти\(b_n\) обчислюються так:

\[b_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)}dx \nonumber\]

і в цьому випадку тому, що\(L=1\) (половина періоду),

\[b_n=\int_{-1}^{1}(2x)\sin{\left(n\pi x \right)}dx=2\int_{-1}^{1}x\sin{\left(n\pi x \right)}dx \nonumber\]

Примітив\(\int x\sin{\left(a x \right)}dx\) is\(\dfrac{\sin{(ax)}}{a^2}-\dfrac{x \cos{(ax)}}{a}\) (див. Лист формул), так

\[b_n=2\int_{-1}^{1}x\sin{\left(n\pi x \right)}dx=2\left[\dfrac{\sin{(n \pi)}}{(n\pi)^2}-\dfrac{\cos{(n\pi)}}{n \pi}-\left(\dfrac{\sin{(n \pi (-1))}}{(n\pi)^2}-\dfrac{(-1) \cos{(n\pi (-1))}}{n \pi}\right)\right] \nonumber\]

Використовуючи те, що\(\sin{(n\pi)}\) дорівнює нулю і\(\cos{x}\) є парною функцією:

\[b_n=-4\dfrac{ \cos{(n\pi)}}{n \pi} \nonumber\]

Напишемо кілька термінів в таблицю:

\(n\)	\(\cos{(n\pi)}\)	\(b_n\)
\ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 1	\ (\ cos {(n\ pi)}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1	\ (b_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(\dfrac{4}{\pi}\)
\ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 2	\ (\ cos {(n\ pi)}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">1	\ (b_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(-\dfrac{4}{2\pi}\)
\ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 3	\ (\ cos {(n\ pi)}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1	\ (b_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(\dfrac{4}{3\pi}\)
\ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 4	\ (\ cos {(n\ pi)}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">1	\ (b_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(-\dfrac{4}{4\pi}\)
\ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; "> 5	\ (\ cos {(n\ pi)}\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">-1	\ (b_n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(\dfrac{4}{5\pi}\)

Загальним виразом для\(b_n\) є:

\[b_n=4 \dfrac{(-1)^{n+1}}{n\pi} \nonumber\]

Серіал

\[y(x)=\sum_{n=1}^{\infty}b_n sin\left ( \dfrac{n\pi x}{L} \right ) \nonumber\]

це тоді:

\[\label{eq:sawtooth} \displaystyle{\color{Maroon}y(x)=\dfrac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} sin\left (n\pi x \right )}\]

Як і у випадку з серією Тейлора, Equation\ ref {eq:sawtooth} є точним, якщо включити нескінченні члени ряду. Якщо ми обрізаємо ряд, використовуючи скінченну кількість членів, ми створимо наближення. \(\PageIndex{1}\)На малюнку показаний приклад з термінами 1, 2, 3 і 8.

Рисунок\(\PageIndex{1}\): Пилоподібна періодична функція прикладу 7.1 накладена на функції\ frac {4} {\ pi}\ sum_ {n=1} ^m\ frac {(-1) ^ {n+1}} {n}\ sin (n\ pi x)\) з\(m = 1, ~ 2, ~ 3\) і\(8\). (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Отримати ряд Фур'є квадратної хвилі, утвореної періодичним продовженням функції:

\[f(x)=\left\{\begin{matrix}0 & -\pi\leq x\leq 0 \\ 1 &0<x\leq \pi \end{matrix}\right. \nonumber\]

Рішення

Періодичне розширення функції\(f(x)\) виробляє періодичну функцію з періодом\(2\pi\):

Власне кажучи, результуюча періодична функція не є ні парною, ні непарною, тому нам потрібно буде обчислити всі коефіцієнти. Однак ви можете помітити, що функція була б непарною, якби ми віднімали 1/2 з усіх точок. Іншими словами, періодична функція, яку ми шукаємо, буде постійною (\(a_0\)) плюс непарна періодична функція (синусоїдальний ряд). Розрахуємо константу, але з цього обговорення повинно бути очевидно, що ми отримаємо\(a_0/2=1/2\). Ми також розрахуємо інші\(a_n\) коефіцієнти, але тепер знаємо, що всі вони будуть дорівнювати нулю.

Перший коефіцієнт,\(a_0\) це (Рівняння\ ref {ao}):

\[a_0=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)dx \nonumber\]

Ось,\(L=\pi\) (половина періоду), так:

\[a_0=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1dx=1 \nonumber\]

де ми використовували те, що\(f(x)=0\) в інтервалі\(-\pi<x<0\). Коефіцієнти\(a_n\) є (Рівняння\ ref {an})

\[a_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos{\left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)}dx=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\cos{\left(n x \right)}dx=\dfrac{1}{\pi}\left.\begin{matrix}\left ( \dfrac{sin(n\pi))}{n} \right )\end{matrix}\right|_0^\pi=0 \nonumber\]

Коефіцієнти\(b_n\) є (Рівняння\ ref {bn})

\[b_n=\dfrac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin{\left(\dfrac{n\pi x}{L} \right)}dx=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}\sin{\left(n x \right)}dx=\dfrac{1}{\pi}\left.\begin{matrix}\left ( -\dfrac{cos(n\pi))}{n} \right )\end{matrix}\right|_0^\pi=-\dfrac{1}{\pi n}(\cos{(n\pi)}-cos{(0)})=\dfrac{1-\cos{(n\pi)}}{n\pi} \nonumber\]

Давайте подивимося кілька термінів у таблиці:

\(n\)	1	2	3	4	5	6
\ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(\cos{(n\pi)}\)	-1	1	-1	1	-1	1
\ (n\)» style="вирівнювання тексту: центр; ">\(b_n\)	\(\dfrac{2}{\pi}\)	\(0\)	\(\dfrac{2}{3\pi}\)	\(0\)	\(\dfrac{2}{5\pi}\)	0

Ряд є (Рівняння\ ref {eq:Фур'є})

\[f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n cos\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right)+\sum_{n=1}^{\infty}b_n sin\left( \dfrac{n\pi x}{L} \right) \nonumber\]

і з отриманими нами коефіцієнтами ми можемо написати:

\[f(x)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi}\sin{(x)}+\dfrac{2}{3\pi}\sin{(3x)}+\dfrac{2}{5\pi}\sin{(5x)}... \nonumber\]

або більш елегантно:

\[\displaystyle{\color{Maroon}\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{\pi} \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2n+1}\sin{[(2n+1)x]}} \nonumber\]

Зверніть увагу, що, як і очікувалося, у нас є синусовий ряд (який представляє і непарну періодичну функцію) плюс константа (яка «штовхає» функцію вгору).

Потрібна допомога? Посилання нижче містять розв'язані приклади.

Зовнішні посилання:

• Приклад ряду Фур'є I: http://www.youtube.com/watch?v=jzzpxqVohhI
• Приклад ряду Фур'є II: http://www.youtube.com/watch?v=edwG9x5v3Xo