Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

7.1: Вступ до серії Фур'є

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    18312

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    У главі 3 ми дізналися, що функція\(f(x)\) може бути виражена у вигляді ряду в степенях до тих\(x\) пір\(f(x)\), поки всі її похідні є кінцевими\(x=0\). Потім ми розширили цю ідею до повноважень\(x-h\) і назвали ці серії «Серія Тейлора». Якщо функції\(h=0\), що утворюють базову множину, є повноваження\(x: x^0, x^1, x^2...\), а в більш загальному\(h\neq0\) випадку базовими функціями є\((x-h)^0, (x-h)^1, (x-h)^2...\)

    Повноваження\(x\) або не\((x-h)\) є єдиним вибором базових функцій для розширення функції з точки зору ряду. Насправді, якщо ми хочемо створити ряд, який буде швидко сходитися, так що ми можемо обрізати, якщо лише через кілька термінів, це гарна ідея, щоб вибрати основні функції, які мають якомога більше спільного з функцією, яку потрібно представити. Якщо ми хочемо представити періодичну функцію, корисно використовувати базовий набір, що містить функції, які самі по собі є періодичними. Для прикладу розглянемо наступний набір функцій\(\sin{(nx)},\;n=1, 2, ..., \infty\):

    basisset.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Деякі приклади сімейства функцій\(\sin{(nx)}\). Зліва направо:\(\sin{(x)},\sin{(2x)},\sin{(3x)}\) і\(\sin{(10x)}\) (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

    Ми можемо змішати кінцеве число цих функцій, щоб створити періодичну функцію, як показано на лівій панелі малюнка\(\PageIndex{2}\), або нескінченне число функцій для отримання періодичної функції, як показано праворуч. Зверніть увагу, що нескінченна кількість синусоїдних функцій створює функцію з прямими лініями! Ми побачимо, що ми можемо створювати всілякі періодичні функції, просто змінюючи коефіцієнти (тобто числа, що множать кожну функцію синуса).

    fourier1.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Приклади періодичних функцій, які є лінійними комбінаціями\(sin{(nx)}\) (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

    Поки все звучить нормально, але у нас проблема. \(\sin{nx}\)Функції всі непарні, і тому будь-яка лінійна комбінація буде виробляти непарну періодичну функцію. Нам може знадобитися представляти парну функцію, або функцію, яка не є ні непарним, ні парним. Це говорить нам про те, що нам потрібно розширити наш базовий набір, щоб включити навіть функції, і я сподіваюся, ви погодитеся з очевидним вибором є функції косинуса\(\cos{(nx)}\).

    Нижче наведено два приклади парних періодичних функцій, які створюються шляхом змішування скінченного (лівого) або нескінченного (правого) числа косинусних функцій. Зверніть увагу, що обидва є навіть функціями.

    Знімок екрана 2019-10-25 о 11.18.18 AM.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\): Приклади періодичних функцій, які є лінійними\(\cos (nx)\) комбінаціями функцій (CC BY-NC-SA; Marcia Levitus)

    Перш ніж рухатися далі, потрібно переглянути кілька понять. По-перше, оскільки ми будемо мати справу з періодичними функціями, нам потрібно визначити період функції. Як ми бачили в розділі 1.4, функція\(f(x)\), як кажуть, періодична з періодом,\(P\) якщо\(f(x)=f(x+P)\). Наприклад, період функції Figure\(\PageIndex{4}\) дорівнює\(2\pi\).

    period1.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Періодична функція з періодом\(P=2\pi\) (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)

    Як ми запишемо рівняння для цієї періодичної функції? Нам просто потрібно вказати рівняння функції між\(-P/2\) і\(P/2\). Цей діапазон показаний червоною пунктирною лінією на малюнку\(\PageIndex{4}\), і, як ви бачите, він має ширину крапку, і він зосереджений навколо\(x=0\). Якщо у нас є ця інформація, нам просто потрібно розширити функцію вліво і вправо, щоб створити періодичну функцію:

    period2.jpg
    Малюнок\(\PageIndex{4}\) (CC BY-NC-SA; Марсія Левітус)