6.3: Рівняння Лагерра

Поки що ми використовували метод степеневих рядів для розв'язання рівнянь, які можна вирішити простішими методами. Давайте тепер звернемо увагу на диференціальні рівняння, які не можуть бути розв'язані інакше. Одним з таких прикладів є рівняння Лагерра. Це диференціальне рівняння важливо в квантовій механіці, оскільки воно є одним з декількох рівнянь, які з'являються в квантово-механічному описі атома водню. Розв'язки рівняння Лагерра називаються поліномами Лагерра, і разом з розв'язками інших диференціальних рівнянь утворюють функції, що описують орбіталі атома водню.

Рівняння Лагерра

\[xy''+(1-x)y'+ny=0 \nonumber\]

де\(n=0, 1, 2...\).

Розв'язування рівняння Лагерра n=0

Тут для простоти ми вирішимо рівняння для заданого значення\(n\). Тобто замість того, щоб розв'язувати рівняння для родового значення\(n\), ми вирішимо його спочатку для\(n=0\), потім для\(n=1\), і так далі.

Почнемо з\(n=0\). Тоді диференціальне рівняння стає:

\[xy''+y'-xy'=0. \label{Eq1}\]

Почнемо з припущення, що рішення можна записати як:

\[y(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4 + \ldots \nonumber\]

і тому першою і другою похідними є:

\[\begin{aligned} y'(x) &=a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4... \\[4pt] y''(x) &=2a_2+2\times 3a_3x+3\times 4a_4x^2+4\times 5a_5x^3+5\times 6a_6x^4 + \ldots. \end{aligned} \nonumber\]

Потім ми включимо ці вирази в диференціальне рівняння (Equation\ ref {Eq1}):

\[\begin{aligned} xy''+y'-xy' &= 0 \\[4pt] x(2a_2+2\times 3a_3x+3\times 4a_4x^2+4\times 5a_5x^3+5\times 6a_6x^4 + \ldots)+ (a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4...)-x(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4 + \ldots) &=0 \\[4pt] (2a_2x+2\times 3a_3x^2+3\times 4a_4x^3+4\times 5a_5x^4+5\times 6a_6x^5 + \ldots)+(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4 + \ldots)-(a_1x+ 2a_2 x^2+3a_3x^3+4a_4x^4+5a_5x^5 + \ldots)&=0 \end{aligned} \nonumber\]

Потім ми групуємо терміни в тій же силі\(x\). Однак, щоб уникнути написання довгого рівняння, давайте спробуємо скласти інформацію в таблицю. Другий стовпець містить терміни, які множать кожну ступінь\(x\). Ми знаємо, що кожен з цих термінів повинен бути нульовим, і це дасть нам співвідношення між потрібними нам коефіцієнтами.

\(x^0\)	\(a_1\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_1=0\)
\(x^1\)	\(2a_2+2a_2-a_1\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_2=a_1/4\)
\(x^2\)	\(6a_3+3a_3-2a_2\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_3=a_2\times2/9\)
\(x^3\)	\(12a_4+4a_4-3a_3\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_4=a_3\times3/16\)
\(x^4\)	\(20a_5+5a_5-4a_4\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_5=a_4\times4/25\)

Перший ряд говорить нам про те\(a_1=0\), що, а з інших рядів робимо висновок, що всі інші\(n>1\) коефіцієнти з теж нуль. Нагадаємо\(y(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4...\), що, так рішення просто\(y(x)=a_0\) (тобто рішення є постійним). Це рішення може розчарувати вас, оскільки воно не є функцією\(x\). Не хвилюйтеся, ми отримаємо щось цікавіше в наступному прикладі.

Розв'язування рівняння Лагерра n=1

Давайте подивимося, що відбувається, коли\(n=1\). Диференціальне рівняння стає

\[xy''+y'-xy'+y=0. \label{Eq10}\]

Як завжди, ми починаємо з припущення, що рішення можна записати як:

\[y(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4 + \ldots \nonumber\]

і тому першою і другою похідними є:

\[ \begin{align} y'(x) &=a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4 + \ldots \\[4pt] y''(x) &=2a_2+2\times 3a_3x+3\times 4a_4x^2+4\times 5a_5x^3+5\times 6a_6x^4 + \ldots \end{align} \nonumber\]

а потім підключіть ці вирази до диференціального рівняння (Equation\ ref {Eq10}):

\[\begin{align*} xy''+y'-xy'+y &= 0 \\[4pt] x(2a_2+2\times 3a_3x+3\times 4a_4x^2+4\times 5a_5x^3+5\times 6a_6x^4...)+(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4...)-x(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4...)+(a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4...) &=0 \\[4pt] (2a_2x+2\times 3a_3x^2+3\times 4a_4x^3+4\times 5a_5x^4+5\times 6a_6x^5...)+(a_1+ 2a_2 x+3a_3x^2+4a_4x^3+5a_5x^4...)-(a_1x+ 2a_2 x^2+3a_3x^3+4a_4x^4+5a_5x^5...)+(a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4...) &=0 \end{align*} \nonumber\]

Наступним кроком є згрупування термінів в тій же потужності\(x\). Давайте зробимо таблицю, як ми робили раніше:

\(x^0\)	\(a_1+a_0\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_1=-a_0\)
\(x^1\)	\(2a_2+2a_2-a_1+a_1\)	\(=0\)	\(\rightarrow 4a_2=0\)
\(x^2\)	\(6a_3+3a_3-2a_2+a_2\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_3=a_2\times1/9\)
\(x^3\)	\(12a_4+4a_4-3a_3+a_3\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_4=a_3\times2/16\)
\(x^4\)	\(20a_5+5a_5-4a_4+a_4\)	\(=0\)	\(\rightarrow a_5=a_4\times3/25\)

Ми бачимо, що в даному\(a_1=-a_0\) випадку і\(a_{n>1}=0\). Нагадаємо, що

\[y(x)=a_0+a_1 x + a_2 x^2+a_3x^3+a_4x^4... \nonumber\]

так що рішення є\(y(x)=a_0(1-x)\).

У фізичній хімії ми визначаємо поліноми Лагерра (\(L_n(x)\)) як розв'язку рівняння Лагерра с\(a_0=n!\). Це довільно і дещо залежне від поля. Ви можете знайти інші визначення, але ми будемо дотримуватися,\(n!\) тому що це той, який більш широко використовується у фізичній хімії.

На останніх двох прикладах ми довели, що\(L_0(x)=1\) і\(L_1(x)=1-x\). Ви отримаєте\(L_2(x)\) і\(L_3(x)\) в домашніх завданнях.