6.1: Вступ до розв'язків силових рядів диференціальних рівнян

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18405

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

У главі 5 ми розглянули метод розв'язання лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку з постійними коефіцієнтами. Багато важливих диференціальних рівнянь у фізичній хімії є однорідними лінійними диференціальними рівняннями другого порядку, але не мають постійних коефіцієнтів. Наступні приклади є всі важливі диференціальні рівняння у фізичних науках:

Рівняння Ерміта:\[y''-2xy'+2ny=0 \nonumber\]
Рівняння Лагерра:\[xy''+(1-x)y'+ny=0 \nonumber\]
Рівняння Лежандра:\[(1-x^2)y''-2xy'+l(l+1)y=0 \nonumber\]

Ці рівняння не мають постійних коефіцієнтів, оскільки деякі\(y, y'\) члени множаться і\(y''\) є функціями\(x\). Для того, щоб вирішити ці диференціальні рівняння, будемо вважати, що рішення\(y(x)\), може бути виражено у вигляді ряду Маклоріна:

\[\label{eq:eq1}y(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^{n}=a_0+a_1 x + a_2 x^2...a_n x^n.\]

Цей метод дасть нам ряд як рішення, але на даний момент ми знаємо, що нескінченний ряд - це один із способів представлення функції, тому ми не будемо занадто здивовані. Наприклад, замість того, щоб отримати\(e^x\) як рішення, ми отримаємо ряд\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}x^n\), який, звичайно, представляє те саме. Чи означає це, що нам потрібно знати всі серії, щоб мати можливість розпізнати, яка функція представлена серією, яку ми отримали як відповідь? Не зовсім. Ми побачимо, що цей метод корисний, коли рішення може бути виражено лише у вигляді ряду, але не як відомої функції. Навіть якщо це так, для простоти ми побачимо, як метод працює з проблемою, рішенням якої є відома функція. Потім ми перейдемо до проблеми, рішення якої може бути виражено лише у вигляді ряду.