5.5: Проблеми

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18289

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Проблема\(\PageIndex{1}\)

Вирішіть наступні завдання початкового значення:

\(\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{dx}{dt}-2x=0; \;x(0)=1; \;x'(0)=0\)
\(\frac{d^2x}{dt^2}+6\frac{dx}{dt}+9x=0; \;x(1)=0; \;x'(1)=1\)
\(\frac{d^2x}{dt^2}+9x=0; \;x(\pi/3)=0; \;x'(\pi/3)=-1\)
\(\frac{d^2x}{dt^2}-2\frac{dx}{dt}+2x=0; \;x(0)=1; \;x'(0)=0\)

Проблема\(\PageIndex{2}\)

Простий гармонічний генератор складається з тіла, що рухається по прямій під впливом сили, величина якої пропорційна\(x\) зміщенню тіла з точки рівноваги, і напрямок якого - до цієї точки. \[\label{ode2:spring_1} F=-k(x-x_0)\]Сила діє в напрямку, протилежному напрямку зміщення. Константа\(k\) - це міра того, наскільки тверда або м'яка пружина.

Закон руху Ньютона стверджує, що сила, прикладена до об'єкта, дорівнює його масі, помноженій на його прискорення. Змінна\(h=x-x_0\) являє собою зміщення пружини від її неспотвореної довжини, а прискорення - друга похідна зміщення. Тому:\[\label{ode2:spring_2} F=m\frac{d^2h(t)}{dt^2}\]

Поєднуючи рівняння\ ref {ode2:spring_1} і\ ref {ode2:spring_2} отримаємо:\[\label{ode2:spring_3} m\frac{d^2h(t)}{dt^2}=-kh(t)\]

який є диференціальним рівнянням другого порядку. Зверніть увагу, що\(m\) (маса тіла) і\(k\) (постійна пружина) не є функціями\(x\).

Припустимо, що зміщення\(h\) і швидкість\(h'\) в часі\(t=0\) є:\(h(0) = A\) і\(h'(0)=0\). Фізично це означає, що зміщення за часом нуль є\(A\), а тіло знаходиться в стані спокою.

\(\bullet\)Отримати вираз для\(h(t)\).

\(\bullet\)Який період дії функції ви знайшли вище?

У наведеному вище прикладі ми припустили, що сили внаслідок тертя були незначними. Якщо осцилятор рухається у в'язкому середовищі, нам потрібно включити тертя в рівняння Ньютона. Сила внаслідок тертя пропорційна швидкості маси (\(h'(t)\)), а напрямок протилежне зміщенню. Тому:

\[\label{ode2:spring_4} m\frac{d^2h(t)}{dt^2}=-kh(t)-\gamma \frac{dh(t)}{dt}\]

де\(\gamma\) - константа, яка залежить від в'язкості середовища.

\(\bullet\)Отримати вираз для\(h(t)\). Вам доведеться розглядати випадки\(\gamma^2<4mk\),\(\gamma^2=4mk\) причому\(\gamma^2>4mk\) окремо. Відповіді надруковані нижче, щоб ви могли перевірити свої результати. Обов'язково показуєте всі свої роботи крок за кроком.

\(\gamma^2<4mk\):
\[h(t)=Ae^{-\gamma t/2m}\left[\cos\left(\frac{at}{2m}\right)+\frac{\gamma}{a}\sin\left(\frac{at}{2m}\right)\right], a=\sqrt{4mk-\gamma^2} \nonumber\]
\(\gamma^2=4mk\):
\[h(t)=A\left(1+\frac{\gamma}{2m}t\right)e^{-\gamma t/2m} \nonumber\]
\(\gamma^2>4mk\):
\[h(t)=\frac{A}{2}e^{-\gamma t/2m}\left[\left(e^{at/2m}+e^{-at/2m}\right)+\frac{\gamma}{a}\left(e^{at/2m}-e^{-at/2m}\right)\right], a=\sqrt{\gamma^2-4mk} \nonumber\]

Проблема\(\PageIndex{3}\)

Знайдіть власні функції (\(f(x)\)) та власні\(\lambda\) значення наступних крайових задач:

\(-\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\lambda f(x)\),\(f(0)=0, f'(1)=0\)
\(-\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\lambda f(x)\),\(f'(0)=0, f(\pi)=0\)