5.3: Звичайні диференціальні рівняння другого порядку з граничними умовами

Примітка

Цей розділ також доступний у форматі відео: http://tinyurl.com/n8tgbf6

Можливо, ви помітили, що всі приклади, які ми обговорювали досі в цьому розділі, включають початкові умови, або, іншими словами, умови, оцінені за однаковим значенням незалежного значення. Тепер ми побачимо, як граничні умови породжують важливі наслідки у розв'язках диференціальних рівнянь, які надзвичайно важливі при описі атомних і молекулярних систем. Почнемо з того, що запитаємо себе, чи всі крайові задачі за участю однорідних ОДУ другого порядку мають нетривіальні розв'язки. Тривіальне рішення - це\(y(x)=0\) рішення будь-якої однорідної ОДА, але це рішення не особливо цікаве з фізичної точки зору. Для прикладу вирішимо наступну проблему:

\[y''(x)+3y(x)=0; \;y('0)=0; \;y(1)=0 \nonumber\]

Дотримуючись тієї ж процедури, яку ми використовували в попередніх прикладах, ми отримуємо наступне загальне рішення:

\[y(x)=a\cos(\sqrt{3}x)+b\sin(\sqrt{3}x) \nonumber\]

Перша гранична умова\(y'(0)=0\):

\[y'(x)=-\sqrt{3}a\sin(\sqrt{3}x)+\sqrt{3}b\cos(\sqrt{3}x)\rightarrow y'(0)=\sqrt{3}b=0 \rightarrow b=0 \nonumber\]

Тому поки що у нас є\(y(x)=a \cos({\sqrt{3}x})\). Друга гранична умова\(y(1)=0\), так

\[y(1)=a \cos{\sqrt{3}}=0\rightarrow a=0 \nonumber\]

Тому єдиним конкретним рішенням для цих конкретних граничних умов є\(y(x)=0\) тривіальне рішення. Давайте змінимо питання і запитуємо себе зараз, чи є якесь число\(\lambda\), щоб рівняння

\[y''(x)+\lambda y(x)=0; \;y'(0)=0; \;y(1)=0 \nonumber\]

має нетривіальне рішення. Наше загальне рішення залежить від того\(\lambda\), позитивне чи негативне. Якщо у\(\lambda>0\) нас є

\[y(x)=a\cos(\sqrt{\lambda}x)+b\sin(\sqrt{\lambda}x) \nonumber\]

Зверніть увагу, що ми використовуємо результати, отримані в попередніх розділах, але вам потрібно буде показати всі свої роботи!

Якщо у\(\lambda<0\) нас є

\[y(x)=ae^{\sqrt{ |\lambda|}x}+be^{-\sqrt{ |\lambda|}x} \nonumber\]

де\(|\lambda|\) - абсолютна величина\(\lambda\).

Давайте\(\lambda<0\) спочатку розглянемо випадок. Перша гранична умова має на увазі

\[y'(x)= \sqrt{|\lambda|}a e^{\sqrt{ |\lambda|}x} -\sqrt{|\lambda|}b e^{-\sqrt{ |\lambda|}x}\rightarrow y'(0)=\sqrt{|\lambda|}(a-b)=0\rightarrow a=b \nonumber\]

і тому\(y(x)=a\left(e^{\sqrt{ |\lambda|}x}+e^{-\sqrt{ |\lambda|}x}\right)\). Використання другої граничної умови:

\[y(1)=a\left(e^{\sqrt{ |\lambda|}}+e^{-\sqrt{ |\lambda|}}\right)=0\rightarrow a=0 \nonumber\]

Тому, якщо\(\lambda <0\), рішення завжди\(y(x)=0\), банальне рішення.

Давайте подивимося, що станеться, якщо\(\lambda >0\). Загальним рішенням є\(y(x)=a\cos(\sqrt{\lambda}x)+b\sin(\sqrt{\lambda}x)\), і застосовуючи першу граничну умову:

\[y'(x)=-\sqrt{\lambda}a\sin(\sqrt{\lambda}x)+\sqrt{\lambda}b\cos(\sqrt{\lambda}x)\rightarrow y'(0)=\sqrt{\lambda}b=0 \rightarrow b=0 \nonumber\]

Тому поки що у нас є\(y(x)=a \cos{\sqrt{\lambda}x}\). Друга гранична умова\(y(1)=0\), так

\[y(1)=a \cos({\sqrt{\lambda}})=0 \nonumber\]

Як і раніше,\(a=0\) це, безумовно, можливість, але це знову дасть банальне рішення, якого ми намагаємося уникнути. Однак це не єдиний наш варіант, тому що є деякі значення\(\lambda\), які також роблять\(y(1)=0\). Це\(\sqrt{\lambda}=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\), або з точки зору\(\lambda\):

\[\lambda=\frac{\pi^2}{4}, \frac{9\pi^2}{4}, \frac{25\pi^2}{4} \nonumber\]

Це означає, що

\[y''(x)+ 3 y(x)=0; \;y'(0)=0; \;y(1)=0 \nonumber\]

не має нетривіального рішення, але

\[y''(x)+ (\pi^2/4) y(x)=0; \;y'(0)=0; \;y(1)=0 \nonumber\]

робить. Значення\(\lambda\), які гарантують, що диференціальне рівняння має нетривіальні розв'язки, називаються власними значеннями рівняння. Нетривіальними розв'язками називаються власніфункції рівняння. Ми тільки що знайшли власні значення, але як щодо власних функцій?

Ми щойно дійшли висновку, що рішення є\(y(x)=a \cos{\sqrt{\lambda}x}\), і тепер ми це знаємо\(\sqrt{\lambda}=\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}\). Ми можемо записати власні функції як:

\[y(x)=a \cos{\frac{(2n-1)\pi}{2}x} \; \; n=1, 2, 3... \nonumber\]

Ми також могли б використовувати\((2n+1)\) с\(n=0,1,2...\). Зверніть увагу, що ми не маємо жодної інформації, яка дозволяє обчислити константу\(a\), тому залишаємо її як довільну константу.

Крім того, зверніть увагу, що хоча у нас є нескінченні власні значення, власні значення дискретні. Термін дискретний означає, що змінна може приймати значення для обчислюваної множини (наприклад, натуральних чисел). Протилежність дискретному - неперервна (як і дійсні числа). Ці дискретні власні значення мають дуже важливі наслідки в квантовій механіці. Насправді, ви, напевно, знаєте з ваших вступних класів хімії, що атоми і молекули мають рівні енергії, які є дискретними. Електрони можуть займати одну орбітальну або наступну, але не можуть бути між ними. Ці енергії є власними значеннями диференціальних рівнянь з граничними умовами, тому це дивовижний приклад того, що можуть зробити граничні умови!