5.2: Звичайні диференціальні рівняння другого порядку - коливання
- Page ID
- 18298
Примітка
Цей розділ також доступний у форматі відео: http://tinyurl.com/kq7mrcq
Рух маятника без тертя
Тепер ми будемо використовувати те, що ми дізналися до цих пір, щоб вирішити проблему актуальності у фізичних науках. Почнемо ми з проблеми маятника, і як ми вже обговорювали в розділі 3.2, навіть якщо маятник не особливо цікавий як застосування в хімії, тема коливань викликає великий інтерес через те, що атоми в молекулах вібрують навколо своїх зв'язків.
Проблема маятника була представлена на малюнку 3.5, який знову передрукований нижче:
Якщо ви пройшли університетський курс фізики, ви можете визнати, що другий закон Ньютона дає:
\[ \label{eqn2} ml\frac{d^2\theta}{dt^2}+mg\sin{\theta}=0\]
Це, на жаль, нелінійне диференціальне рівняння (залежна змінна\(\theta\), виступає як аргумент трансцендентної функції). Як ми обговорювали в розділі 3.2, ця ОДА не має аналітичного рішення. Це рівняння можна розв'язати чисельно (і ви зробите це в лабораторії), але ми не можемо отримати рівняння, яке є рішенням цього ОДА. Ми також обговорювали, що ми можемо отримати аналітичні рішення, якщо припустити,\(\theta\) що кут невеликий у всі часи. Це означає, що отримане нами рішення справедливо тільки в тому випадку, якщо маятник коливається дуже близько до лінії, нормальної до стелі. Можливо, ви думаєте, що вивчення такої системи нудно і марно, але знову ж таки, як ми обговорювали в розділі 3.2, для більшості молекул при помірних температурах зміщення атомів навколо їх положення рівноваги дуже мало. Саме тому вивчення коливань систем, близьких до рівноваги, має сенс для хіміка.
Ми вже обговорювали, що якщо\(\theta<<1\), то\(\sin{\theta}\approx\theta\) (див. Рис. Рівняння\ ref {eqn2} потім можна спростити до:
\[ \frac{d^2\theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\theta=0\]
Це рівняння лінійне в\(\theta\), є однорідним і має постійні коефіцієнти (\(g\)це прискорення сили\(l\) тяжіння і довжина стрижня). Допоміжним рівнянням цього ОДА є:
\[\alpha^2+\frac{g}{l}=0 \nonumber\]
і, отже,
\[\alpha=\pm i \sqrt{\frac{g}{l}} \nonumber\]
Загальним рішенням є
\[\theta(t)=c_1 e^{\alpha_1t}+c_2 e^{\alpha_2t} \nonumber\]
\[\theta(t)=c_1 e^{i(g/l)^{1/2}t}+c_2 e^{-i(g/l)^{1/2}t} \nonumber\]
Ми отримаємо значення довільних констант з початкових умов. Припустимо, що в момент нуля значення\(\theta\) було\(\theta_0<<1\), а значення\(d\theta/dt\), яке є мірою швидкості, було\(\theta'(0)=0\). Фізично це означає, що в момент нуля ми тримаємо маятник нерухомо. На цьому етапі ми можемо або використовувати відносини Ейлера, щоб спростити наш результат в косинус і синус, або використовувати початкові умови і використовувати відносини Ейлера пізніше. Будь-який спосіб спрацює, і те, як ви вирішите діяти - це питання особистого смаку. Давайте застосуємо початкові умови зараз:
\[\theta(t)=c_1 e^{i(g/l)^{1/2}t}+c_2 e^{-i(g/l)^{1/2}t}\rightarrow\theta(0)=c_1+c_2=\theta_0 \nonumber\]
\[\theta'(t)=c_1i(g/l)^{1/2} e^{i(g/l)^{1/2}t}-c_2i(g/l)^{1/2} e^{-i(g/l)^{1/2}t} \nonumber\]
\[\theta'(0)=c_1i(g/l)^{1/2}-c_2i(g/l)^{1/2}=0\rightarrow c_1=c_2 \nonumber\]
\(c_1=c_2=\theta_0/2\)Тому і нашим конкретним рішенням є:
\[\theta(t)=\frac{\theta_0}{2}\left(e^{i(g/l)^{1/2}t}+e^{-i(g/l)^{1/2}t}\right) \nonumber\]
З відносин Ейлера ми знаємо\(e^{ix}+e^{-ix}=2cos{x}\), що, так
\[ \label{eqn3} \theta(t)=\theta_0\cos{\left(\left(\frac{g}{l}\right) ^{1/2}t\right)}\]
Це, звичайно, знайома періодична функція, яку ви бачили в курсі фізики. Пам'ятайте, що ми потрапили сюди, припускаючи\(\theta<<1\) в усі часи.
Як ми бачили в розділі 1.4, період функції\(\cos(nx)\) є\(2\pi/n\). Таким чином, період функції\(\theta_0\cos{\left(\left(\frac{g}{l}\right) ^{1/2}t\right)}\) є\(P=2\pi \left(\frac{l}{g} \right)^{1/2}\). Період має одиниці часу, і він повідомляє нам час, який потрібно маятнику, щоб завершити цілий цикл (див. Рис.\(\PageIndex{2}\)).
Ми також можемо обчислити частоту руху, яка є якраз зворотним періодом. Якщо період - це кількість часу, яке потрібно почекати, щоб завершити повний цикл, зворотним є кількість циклів за одиницю часу. Наприклад, якщо для завершення циклу потрібен маятник з\(l=0.1 m\) 0, 63 секунди, це означає, що ми отримуємо 1, 58 циклів в секунду. Частота має одиниці зворотного часу.
Той факт, що пендули різної довжини мають різні періоди, був використаний дуже творчим розумом для створення красивого дисплея, показаного у вестибюлі будівлі PSF в ASU (прямо через ліфти). На YouTube є кілька відео, що демонструють ідею (пошук маятникових хвиль), але той, який у відділі фізики в АСУ, набагато більш вражаючий, тому йдіть і перевірте це, якщо ви цього ще не зробили.
Маятник у в'язкому середовищі
Проблема, яку ми щойно побачили, припускала, що тертя не було, тому маятник буде коливатися вічно, не змінюючи амплітуду. Зробимо задачу більш реалістичною з фізичної точки зору і додамо термін, на який припадає опір тертю. Сила внаслідок тертя зазвичай пропорційна швидкості, тому ця нова сила вводить термін, який залежить від першої похідної\(\theta\):
\[ \frac{d^2\theta}{dt^2}+\gamma \frac{d\theta}{dt}+\frac{g}{l}\theta=0\]
Константа\(\gamma\) залежить від середовища, і вона буде більшою, наприклад, у воді (більше тертя), ніж у повітрі (менше тертя). Допоміжне рівняння тепер
\[\alpha^2+\gamma \alpha+\frac{g}{l}=0 \nonumber\]
і два корені:
\[\alpha_{1,2}=\frac{-\gamma \pm\sqrt{\gamma^2-4g/l}}{2} \nonumber\]
і бачимо, що результат буде залежати від відносних значень\(\gamma^2\) і\(4g/l\). \(\gamma^2<4g/l\)Спочатку розберемо випадок (режим низького тертя). Корисно завжди думати про те, що очікує, перш ніж робити будь-яку математику. Подумайте про маятник без тертя, і уявіть, що ви робите той же експеримент на повітрі (невелике тертя). Як ви думаєте, як\(t\) би виглядав сюжет\(\theta(t)\) vs?
Повертаючись до математики, зателефонуємо\(a=\sqrt{4g/l-\gamma^2}\) спростити позначення. У випадку з низьким тертям,\(a\) буде дійсне число. Таким чином, два корені будуть:
\[\alpha_{1,2}=\frac{-\gamma \pm ia}{2} \nonumber\]
і загальним рішенням буде
\[\theta(t)=c_1 e^{\alpha_1 t}+c_1 e^{\alpha_2 t} \nonumber\]
\[\theta(t)=c_1 e^{-\gamma t/2}e^{ia t/2}+c_2 e^{-\gamma t/2}e^{-ia t/2} \nonumber\]
\[\theta(t)=e^{-\gamma t/2}\left(c_1 e^{ia t/2}+c_2 e^{-ia t/2}\right) \nonumber\]
На цьому етапі ми можемо або використовувати початкові умови і використовувати відносини Ейлера пізніше, або ми можемо використовувати рівняння Ейлера зараз і початкові умови пізніше. Будь-який спосіб повинен працювати.
\[\theta(t)=e^{-\gamma t/2}\left[\left(c_1 \cos{(ta/2)} +c_1 i \sin{(ta/2)}+c_2 \cos{(ta/2)} -c_2 i \sin{(ta/2)}\right)\right] \nonumber\]
\[\theta(t)=e^{-\gamma t/2}\left[(c_1+c_2) \cos{(ta/2)} +(c_1-c_2) i \sin{(ta/2)}\right] \nonumber\]
і групування та переіменування констант:
\[\theta(t)=e^{-\gamma t/2}\left[c_3 \cos{(ta/2)} +c_4\sin{(ta/2)}\right] \nonumber\]
Ми зараз будемо оцінювати\(c_3\) і\(c_4\) з початкових умов. Давайте знову припустимо, що\(\theta(0)=\theta_0\) і\(\theta'(0)=0\). Оцінювання попереднього рівняння при\(t=0\):
\[\theta(0)=c_3=\theta_0 \nonumber\]
тому у нас є
\[\theta(t)=e^{-\gamma t/2}\left[\theta_0 \cos{(\frac{ta}{2})} +c_4\sin{(\frac{ta}{2})}\right] \nonumber\]
\[\theta'(t)=e^{-\gamma t/2}\left[-\frac{\theta_0 a}{2} \sin{(\frac{ta}{2})} +\frac{c_4 a}{2}\cos{(\frac{ta}{2})}\right]-\frac{\gamma}{2}e^{-\gamma t/2}\left[\theta_0 \cos{(\frac{ta}{2})} +c_4\sin{(\frac{ta}{2})}\right] \nonumber\]
\[\theta'(0)=c_4\frac{a}{2}-\theta_0\frac{\gamma}{2}=0 \nonumber\]
\[c_4=\frac{\gamma \theta_0}{a} \nonumber\]
і тому
\[\theta(t)=e^{-\gamma t/2}\left[\theta_0 \cos{\left(\frac{ta}{2}\right)} +\frac{\gamma \theta_0}{a}\sin{\left(\frac{ta}{2}\right)}\right] \nonumber\]
\[ \theta(t)=\theta_0 e^{-\gamma t/2}\left[ \cos{\left(\frac{ta}{2}\right)} +\frac{\gamma }{a}\sin{\left(\frac{ta}{2}\right)}\right]\]
Якщо все пройшло добре, це рівняння має спростити до Equation\ ref {eqn3} для випадку\(\gamma=0\). Нагадаємо\(a=\sqrt{4g/l-\gamma^2}\), що, так якщо\(\gamma=0\):
\[\theta(t)=\theta_0 \left[ \cos{\left(\frac{ta}{2}\right)}\right] \nonumber\]
\[\theta(t)=\theta_0 \left[ \cos{\left(\sqrt{\frac{g}{l}}t\right)}\right] \nonumber\]
Це, звичайно, не доводить, що наше рішення правильне, але завжди добре бачити, що ми відновлюємо відоме рівняння для конкретного випадку (в даному випадку\(\gamma=0\)).
Малюнок\(\PageIndex{3}\) показаний\(\theta(t)/\theta_0\) для трьох випадків з\(g/l=1\) (тобто шнуром довжиною 9,8 м) і зростаючими значеннями тертя. Пам'ятайте, що ми припускаємо, що\(\theta\) це мало.
Поки ми проаналізували випадок\(\gamma^2<4g/l\). У міру збільшення коефіцієнта тертя ми дійдемо до точки, де\(\gamma^2=4g/l\). Подивіться на Рисунок\(\PageIndex{3}\), і подумайте, що б ви побачили, коли це станеться. Математично у нас буде два повторюваних кореня:
\[\alpha_{1,2}=\frac{-\gamma \pm\sqrt{\gamma^2-4g/l}}{2}=-\frac{\gamma }{2} \nonumber\]
так\(\theta(t)=e^{-\gamma t/2}\) це рішення, але нам потрібно знайти самостійне рішення за допомогою методу скорочення порядку. Ми знаємо, що загальним рішенням буде (Розділ 2.2):
\[\theta(t)=(c_1+c_2 t)e^{-\gamma t/2} \nonumber\]
Довільні константи будуть обчислюватися з початкових умов:
\[\theta(0)=(c_1)=\theta_0 \nonumber\]
\[\theta'(t)=-\frac{\gamma}{2}(\theta_0+c_2 t)e^{-\gamma t/2}+c_2e^{-\gamma t/2} \nonumber\]
\[\theta'(0)=-\frac{\gamma}{2}(\theta_0)+c_2=0 \nonumber\]
\[c_2=\frac{\gamma}{2}\theta_0 \nonumber\]
Тому,
\[\theta(t)=(c_1+c_2 t)e^{-\gamma t/2} \nonumber\]
\[\theta(t)=(\theta_0+\frac{\theta_0 \gamma}{2} t)e^{-\gamma t/2}=\theta_0(1+\frac{\gamma}{2} t)e^{-\gamma t/2} \nonumber\]
Поведінка\(\theta(t)\) показана на\(\PageIndex{4}\) малюнку чорним кольором. Цей режим називається критично затухаючим, оскільки він представляє точку, де коливання більше не відбуваються у міру\(\gamma\) збільшення. Якщо ми продовжимо збільшувати коефіцієнт тертя, маятник буде наближатися\(\theta=0\) повільніше і повільніше, але ніколи не перейде на іншу сторону (\(\theta<0\)). Давайте знайдемо математичний вираз\(\theta(t)\) для випадку\(\gamma^2>4g/l\). Два корені тепер різні і реальні:
\[\alpha_{1,2}=\frac{-\gamma \pm\sqrt{\gamma^2-4g/l}}{2} \nonumber\]
і загальне рішення тому
\[\theta(t)=c_1e^{\alpha_1t}+c_2e^{\alpha_2t} \nonumber\]
\[\theta(t)=c_1e^{(-\gamma+b)t/2}+c_2e^{(-\gamma-b)t/2}; \; b=\sqrt{\gamma^2-4g/l} \nonumber\]
Першим початковим умовою є\(\theta(0)=\theta_0\):
\[\theta(0)=c_1+c_2=\theta_0 \nonumber\]
Друге початкова умова - це\(\theta'(t)=0\):
\[\theta'(t)=c_1\left(\frac{-\gamma+b}{2}\right)e^{(-\gamma+b)t/2}+c_2\left(\frac{-\gamma-b}{2}\right)e^{(-\gamma-b)t/2} \nonumber\]
\[\theta'(0)=c_1\left(\frac{-\gamma+b}{2}\right)+c_2\left(\frac{-\gamma-b}{2}\right)=0\nonumber \]
\[\theta'(0)=-(c_1+c_2)\gamma+(c_1-c_2)b=0 \nonumber\]
перша початкова умова дала\(c_1+c_2=\theta_0\) так
\[\theta'(0)=-\theta_0\gamma+(c_1-c_2)b=0 \nonumber\]
\[(c_1-c_2)=\theta_0\gamma/b \nonumber\]
Дві початкові умови дали два відносини між\(c_1\) і\(c_2\):
\[c_1+c_2=\theta_0 \nonumber\]
\[(c_1-c_2)=\theta_0\gamma/b \nonumber\]
Розв'язування цієї системи двох рівнянь з двома невідомими:
\[c_1=\frac{\theta_0}{2}\left(1+\frac{\gamma}{b} \right) \nonumber\]
\[c_2=\frac{\theta_0}{2}\left(1-\frac{\gamma}{b} \right) \nonumber\]
І нарешті, ми можемо написати конкретне рішення як:
\[\theta(t)=c_1e^{(-\gamma+b)t/2}+c_2e^{(-\gamma-b)t/2}; \; b=\sqrt{\gamma^2-4g/l} \nonumber\]
\[\theta(t)=\frac{\theta_0}{2}\left(1+\frac{\gamma}{b} \right)e^{(-\gamma+b)t/2}+\frac{\theta_0}{2}\left(1-\frac{\gamma}{b} \right)e^{(-\gamma-b)t/2}; \; b=\sqrt{\gamma^2-4g/l} \nonumber\]
\[ \theta(t)=\frac{\theta_0}{2}e^{-\gamma t/2}\left[\left(1+\frac{\gamma}{b} \right)e^{b t/2}+\left(1-\frac{\gamma}{b} \right)e^{-b t/2}\right]\]
\(\PageIndex{5}\)На малюнку показані результати з\(g/l=1\) трьома різними значеннями\(\gamma\). Зверніть увагу, що\(\gamma=2\) відповідає критично затухаючому режиму.
