Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4.4: Проблеми

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    18222

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Проблема\(\PageIndex{1}\)

    У кожному конкретному випадку

    • Визначте залежні і незалежні змінні.
    • Визначте, чи диференціальне рівняння роздільне.
    • Визначте, чи є диференціальне рівняння лінійним.
    • Знайдіть загальне рішення.
    • Знайдіть конкретний розв'язок, використовуючи задану початкову умову.
    • Переконайтеся, що ваше рішення задовольняє диференціальному рівнянню шляхом підстановки.
    1. \(\frac{dy}{dx}=\frac{y+2}{x-3}, y(0)=1\)
    2. \(x'=e^{x+t}, x'(0)=2\)
    3. \(\frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}y=2x^4, y(1)=1\)
    4. \(\frac{df}{dt}=\frac{3t^2}{f}, f(2)=4\)
    5. \(h'(t)+2h(t)=4, h(0)=1\)

    Проблема\(\PageIndex{2}\)

    Розглянемо реакцію\(A \overset{k}{\rightarrow}B\). Швидкість зникнення А пропорційна концентрації А, так:

    \[-\frac{d[A]}{dt}=k[A] \nonumber\]

    1) Отримати [A]\((t)\) і [B]\((t)\).

    2) Використовуючи визначення періоду напіврозпаду\((t_{1/2})\), отримати вираз\((t_{1/2})\) для цього механізму. Ваш результат буде функцією\(k\).

    3) Ескіз\([A](t)\) і\([B](t)\) для справи\(k=0.1 s^{-1}\),\([B]_0=0\) і\([A]_0=10^{-3}M\). Пам'ятайте, що від вас очікують зробити це без допомоги калькулятора.

    Проблема\(\PageIndex{3}\)

    Розглянемо реакцію\(2A \overset{k}{\rightarrow}B\). Цей механізм називається бімолекулярної реакцією, оскільки реакція передбачає зіткнення двох молекул реагенту. При цьому швидкість зникнення А пропорційна квадрату концентрації А, так:

    \[-\frac{1}{2}\frac{d[A]}{dt}=k[A]^2 \nonumber\]

    Зверніть увагу, що швидкість пропорційна квадрату концентрації, так що це реакція другого порядку.
    Припустимо, що початкова концентрація [А] дорівнює [А]\(_0\), а початкова концентрація [B] дорівнює нулю.

    1. Отримати вираз для [A]\((t)\).
    2. Запишіть баланс маси (відносини, що стосуються [A] (t), [B] (t), [A]\(_0\) і [B]\(_0\)) і отримати [B]\((t)\).
    3. Використовуючи визначення періоду напіврозпаду\((t_{1/2})\), отримати вираз\((t_{1/2})\) для цього механізму. Ваш результат буде функцією\(k\) і [A]\(_0\).

    Проблема\(\PageIndex{4}\)

    Отримують\([A](t), [B](t),\) і\([C](t)\) за наступним механізмом:

    \[A \overset{k}{\rightarrow}B\overset{k}{\rightarrow}C \nonumber\]

    Припустимо\([A](0)=[A]_0\), і\([B](0)=[C](0)=0\)

    Зауважте, що ця проблема ідентична тій, яка вирішена в розділі 4.2, але з\(k_1=k_2\). Переконайтеся, що ви визначили крок, де дві проблеми стають різними.

    Проблема\(\PageIndex{5}\)

    Розглянемо реакцію

    \[A \xrightleftharpoons[k_2]{k_1} B \nonumber\]

    змодельовано математично наступним ODE

    \[\frac{d[A]}{dt}=k_2[B]-k_1[A] \nonumber\]

    Константи\(k_1\) і\(k_2\) представляють кінетичні константи в прямому і зворотному напрямку відповідно, і [A] і [B] представляють молярну концентрацію A і B. Припустимо, що ви починаєте з початкових концентрацій\([A] (t = 0) = [A]_0\) і\([B](t = 0) = [B]_0\).

    Масова консервація вимагає, щоб\([A](t) + [B](t) = [A]_0 + [B]_0\)

    1. Отримати [A] (t) і [B] (t) в терміні\(k_1, k_2, [A]_0\) і\([B]_0\).
    2. Отримати вирази для концентрацій A і B в рівновазі:\([A]_{eq} =[A](t \rightarrow \infty\)) і\([B]_{eq} =[B](t \rightarrow \infty\)).
    3. Довести, що константа рівноваги реакції,\(\frac{[B]_{eq}}{[A]_{eq}} = K_{eq}\), може бути виражена як\[\frac{[B]_{eq}}{[A]_{eq}} = \frac{k_1}{k_2} \nonumber\]
    4. Припустимо\(k_1=1 min^{-1}\), що\(k_2=\frac{1}{2} min^{-1}\),\([A]_0=0\) і\([B]_0=0.1 M\), обчислити\([A]_{eq}\) і\([B]_{eq}\),\([A](t)\) і ескіз і\([B](t)\) в міру своїх здібностей.