8.6: Інші одноелектронні системи

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18744

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Квантова механічна обробка атома водню може бути легко поширена на інші одноелектронні системи\(\ce{He^{+}}\)\(\ce{Li^{2+}}\), такі як, тощо Гамільтоніан змінюється в двох місцях. Найголовніше, термін потенційної енергії змінюється для обліку заряду ядра, який є атомним номером атома або іона\(Z\), разів основною одиницею заряду,\(e\). Як показано в Equation\ ref {8.6.1}, енергія тяжіння між електроном і ядром збільшується (тобто\(V\) стає більш негативною) у міру збільшення ядерного заряду.

\[ \hat {V} (r) = - \dfrac {Z e^2}{4 \pi \epsilon _0 r} \label {8.6.1}\]

Іншим ефектом є дуже незначна зміна зменшеної маси, включеної в оператор кінетичної енергії. Насправді, чим більше ядро, тим краще наближення того, що зменшена маса задається масою електрона.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Порівняйте зменшену масу\(Li^{+2}\) іона з тією атома водню.

Ефекти зміни\(V\) проявляються в хвильових функціях і енергії власних значень. Вираз для енергії стає

\[ E_n = - \frac {Z^2 \mu e^4}{8 \epsilon ^2_0 h^2 n^2} = Z^2 E_{n, H} \label {8.6.2}\]

де\(E_{n, H}\) - енергія атома водню. Форми хвильових функцій ідентичні таким у атома водню, за винятком того, що\(Z\) в радіальних функціях більше не дорівнює 1. Правила відбору незмінні, а ефект Зеемана все ще виникає.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Використовуйте вираз рівня орбітальної енергії в Equation\ ref {8.6.2} для кількісного прогнозування відносних енергій (in\(cm^{-1}\)) спектральних ліній для H і\(Li^{2+}\).

Як\(\PageIndex{1}\) показують графіки на малюнку, збільшений заряд на ядрі створює сильніше тяжіння для електрона і, таким чином, розподіли густини заряду електронів зміщуються до менших значень\(r\). Ці інші системи дуже схожі на стислі атоми водню.

альт — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Функції радіального розподілу, побудовані для 2s орбіталей H (синій),\(He^+\) (червоний) та\(Li^{2+}\) (чорний) на одній осі, демонструючи стиснення орбіти, оскільки Z збільшується з 1 до 3.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Визначте, чи однакові значення моменту, сферичні гармонічні функції та правила спектроскопічного вибору, що описують електрон\(\hat{H}\), однакові або різні для\(\ce{Li^{2+}}\). Напишіть абзац, щоб обґрунтувати свою відповідь.