8.5: Відкриття електронного спина
- Page ID
- 18754
Уявіть, що ви проводите гіпотетичний експеримент, який призвів би до відкриття електронного спіна. Ваша лабораторія щойно придбала мікрохвильовий спектрометр зі змінною ємністю магнітного поля. Ми пробуємо новий прилад з атомами водню за допомогою магнітного поля 10 4 Гаусса і шукаємо поглинання мікрохвильового випромінювання під час сканування частоти нашого мікрохвильового генератора.
Нарешті ми бачимо поглинання на частоті мікрохвильових фотонів\(28 \times 10^9\, Hz\) (28 гігагерц). Цей результат дійсно дивує з кількох точок зору. Кожен атом водню знаходиться в своєму наземному стані, з електроном в 1s орбіталі. Найнижча енергія електронного переходу, який ми прогнозуємо на основі існуючої теорії (електронний перехід від наземного стану (\(\psi _{100}\)до\(\psi _{21m}\)) вимагає енергії, яка лежить у вакуумному ультрафіолетовому, а не мікрохвильовому, області спектра. Крім того, коли ми змінюємо магнітне поле, ми відзначаємо, що частота, на якій відбувається поглинання, змінюється пропорційно магнітному полю. Цей ефект виглядає як ефект Зеемана, але якщо ви думаєте про ситуацію, навіть якщо 1-а орбіталь була подвійно вироджена, орбіталь все ще має нульовий\(1s\) орбітальний кутовий імпульс, відсутність магнітного моменту, а отже, ніякого прогнозованого ефекту Зеємана!
Щоб відкрити для себе нове, експериментатори іноді повинні досліджувати нові області, незважаючи на протилежні теоретичні прогнози. Наша теорія атома водню на даний момент не дає підстав шукати поглинання в мікрохвильовій області спектра. Провівши цей божевільний експеримент, ми виявили, що коли електрон знаходиться в\(1s\) орбіталі атома водню, є два різних стани, які мають однакову енергію. При застосуванні магнітного поля це виродження видаляється, і мікрохвильове випромінювання може викликати переходи між двома станами. В іншій частині цього розділу ми бачимо, що можна зробити з цього експериментального спостереження. Цей експеримент насправді можна було б зробити за допомогою спектрометрів електронного спінового резонансу, доступних сьогодні.
Для того, щоб пояснити наші спостереження, нам потрібна нова ідея, нова модель атома водню. Наша оригінальна модель атома водню враховувала рух електрона та протона в нашому тривимірному світі; нова модель потребує чогось іншого, що може спричинити додатковий ефект, подібний Зееману. Нам потрібна заряджена частинка з кутовим імпульсом, щоб створити магнітний момент, подібний до того, що отримується орбітальним рухом електрона. Ми можемо постулювати, що наше спостереження є результатом руху електрона, який не розглядався в останньому розділі - спін електронів. У нас на осі обертається заряджена частинка. Потім ми маємо заряд, що рухається по колу, кутовий момент і магнітний момент, який взаємодіє з магнітним полем і дає нам ефект Зеемана, який ми спостерігали.
Щоб описати спін електронів з квантової механічної точки зору, ми повинні мати спінові хвильові функції та спінові оператори. Властивості спінових станів виведені з експериментальних спостережень та за аналогією з нашою обробкою станів, що виникають внаслідок орбітального кутового імпульсу електрона.
Важливою особливістю спінінгового електрона є спіновий кутовий вектор імпульсу, який ми позначимо\(S\) за аналогією з орбітальним кутовим імпульсом\(L\). Визначено оператори спінового моменту з тими ж властивостями, які ми знайшли для операторів обертального та орбітального кутового імпульсу. Адже кутовий момент - це момент моменту.
Ми виявили, що (в позначеннях Бра-кет)
\[ \hat {L}^2 | Y^{m_l} _l \rangle= l(l + 1) \hbar^2 | Y^{m_l}_l \rangle \label {8-41}\]
так за аналогією для спінових станів, ми повинні мати
\[ \hat {S}^2 | \sigma ^{m_s} _s \rangle = s( s + 1) \hbar ^2 | \sigma ^{m_s}_s \rangle \label {8-42}\]
де спінова\(\sigma\) хвильова функція з квантовими числами\(s\) і\(m_s\) яка підпорядковується тим же правилам, що і квантові числа\(l\) і\(m_l\) пов'язані зі сферичною гармонічною хвильовою функцією\(Y\). Ми також знайшли
\[ \hat {L}_z | Y^{m_l}_l \rangle = m_l \hbar | Y^{m_l}_l \rangle \label {8-43}\]
тому за аналогією ми повинні мати
\[ \hat {S}_z | \sigma ^{m_s}_s \rangle = m_s \hbar | \sigma ^{m_s}_s \rangle\label {8-44}\]
Оскільки\(m_l\) діапазони в цілих кроках від\(-l\) до\(+l\), також за аналогією\(m_s\) варіюється в цілих кроках від\(-s\) до\(+s\). У нашому гіпотетичному експерименті ми спостерігали один перехід поглинання, що означає, що є два спінові стани. Отже, два значення\(m_s\) повинні бути\(+s\) і\(-s\), а різниця в\(m_s\) для двох станів, маркованих f і i нижче, повинна бути найменшим цілим кроком, тобто 1. Результатом такої логіки є те, що
\[ \begin{align} m_{s,f} - m_{s,i} &= 1 \nonumber \\[4pt] (+s) - (-s) &= 1 \nonumber \\[4pt] 2s &= 1 \nonumber \\[4pt] s &= \dfrac {1}{2} \end{align} \label {8-45} \]
Тому наш висновок полягає в тому, що величина спінового квантового числа дорівнює 1/2, а значення для мс - +1/2 і -1/2. Два стану спіну відповідають обертанню за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки з позитивною та негативною проекціями кутового імпульсу обертання на вісь z. Називається стан з позитивною проекцією,\(m_s\) = +1/2\(\alpha\); інше називається\(\beta\). Ці спінові стани довільно\(\alpha\) позначені і\(\beta\), і пов'язані спінові хвильові функції також позначаються\(\alpha\) і\(\beta\).
З Рівняння\ ref {8-44} величина z-складової спінового моменту моменту\(S_z\), задається
\[S_z = m_s \hbar \label {8-46}\]
так що значення\(S_z\)\(+ħ/2\) для спина стану\(\alpha\) і\(-ħ/2\) для спина стану\(\beta\). Використовуючи ту саму лінію міркування, яку ми використовували для розщеплення\(m_l\) станів у розділі 8.4, робимо висновок, що\(\alpha\) спіновий стан, де магнітний момент вирівняний по відношенню до напрямку зовнішнього поля, має більш високу енергію, ніж\(\beta\) спіновий стан.
Незважаючи на те, що ми не знаємо їх функціональних форм, спінові хвильові функції приймаються нормалізованими та ортогональними один до одного.
\[ \int \alpha ^* \alpha d \tau _s = \int \beta ^* \beta d \tau _s = 1 \label {8-47}\]
і
\[ \int \alpha ^* \beta d \tau _s = \int \beta ^* \alpha d \tau _s = 0 \label {8-48}\]
де інтеграл знаходиться над змінною спіна\(\tau _s\).
Тепер давайте застосуємо ці відрахування до експериментальних спостережень в нашому гіпотетичному мікрохвильовому експерименті. Ми можемо врахувати частоту переходу (\(\nu\)= 28 гігагерц), яка спостерігалася в цьому гіпотетичному експерименті з точки зору магнітного моменту обертається електрона і напруженості магнітного поля. Енергія фотонів\(h \nu\), дається різницею між енергіями двох станів,\(E_{\alpha}\) і\(E_{\beta}\)
\[ \Delta E = h \nu = E_{\alpha} - E_{\beta} \label {8-49}\]
Енергії цих двох станів складаються з суми енергії електрона в 1с орбіталі, і енергії\(E_{1s}\), обумовленої взаємодією спінового магнітного дипольного моменту електрона\(\mu _s\), з магнітним полем, В (як в розділі 8.4). Два стани з різними значеннями для спінового магнітного моменту\(\mu _s\) позначаються індексами\(\alpha\) і\(\beta\).
\[ E_{\alpha} = E_{1s} - \mu _{s,\alpha} \cdot B \label {8-50}\]
\[ E_{\beta} = E_{1s} - \mu _{s,\beta} \cdot B \label {8-51}\]
Підставляючи два рівняння вище в вираз для енергії фотонів дає
\[\begin{align} h \nu &= E_{\alpha} - E_{\beta} \\[4pt] &= (E_{1s} - \mu _{s, \alpha} \cdot B) - (E_{1s} - \mu_{s,\beta} \cdot B) \label {8-52} \\[4pt] &= ( \mu _{s, \beta} - \mu _{s, \alpha}) \cdot B \label{8-53} \end{align}\]
Знову ж таки, за аналогією з орбітальним моментом і магнітним моментом, розглянутим у розділі 8.4, ми приймаємо спіновий магнітний диполь кожного спінового стану\(\mu _{s, \beta}\),\(\mu _{s, \alpha}\) і, щоб бути пов'язаним із загальним кутовим імпульсом обертання кожного стану\(S_{\beta}\),\(S_{\alpha}\) і, постійним спином гіромагнітне співвідношення\(\gamma _s\), як показано нижче.
\[ \mu _s = \gamma _s S\]
\[\mu _{s, \alpha} = \gamma _s S_\alpha \]
\[\mu _{s, \beta} = \gamma _s S_\beta \label {8-54}\]
При напрямку магнітного поля, визначеному як z, скалярний добуток у Equation\ ref {8-53} стає добутком z-складових спінових кутових моментів,\(S_{z, \alpha}\) а\(S_{z, \beta}\), з зовнішнім магнітним полем.
Вставка значень для\(S_{z,\alpha} = +\dfrac {1}{2} \hbar \) та\( S_{z, \alpha} = -\dfrac {1}{2} \hbar\) з Рівняння\ ref {8-46} та перестановка рівняння\ ref {8-53} дає
\[ \dfrac {h \nu}{B} = - \gamma _s \hbar \label {8-56}\]
Розрахунок коефіцієнта\(\dfrac {h \nu}{B}\) з наших експериментальних результатів\(B = 10^4\, gauss\),\(\nu = 28 \times 10^9\, Hz\) коли, дає нам значення для
\[- \gamma_s \hbar = 18.5464 \times 10^{-21}\, erg/gauss.\]
Це значення приблизно в два рази перевищує магнетон Бора,\(-\gamma _e \hbar \) з\(\gamma _s \hbar = 2.0023, \gamma _e \hbar\), або
\[\gamma _s = 2.0023 \gamma _e \label {8-57}\]
Коефіцієнт 2,0023 називається g-фактором і становить відхилення спінового гіромагнітного відношення від величини, очікуваної для орбітального руху електрона. Іншими словами, це пояснює спіновий перехід, який спостерігається там, де він знаходиться, а не де було б, якби однакове співвідношення між магнітним моментом і кутовим імпульсом утримується як для орбітальних, так і для спінових рухів. Значення 2.0023 відноситься до вільно обертається електрону; зв'язок спінового і орбітального руху електронів може видавати інші значення для\(g\).
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Провести розрахунки, які показують, що g-фактор для електронного спіна дорівнює 2.0023.
Цікаво, що концепція спіна електронів і значення g = 2.0023 логічно випливають з релятивістської квантової теорії Дірака, яка виходить за рамки цієї дискусії. Електронний спін був введений тут як постулат для пояснення експериментальних спостережень. Вчені часто вводять подібні постулати паралельно розробці теорії, з якої властивість природно виводиться.
Тепер, коли ми виявили спін електронів, нам потрібно визначити, як змінюється спін електронів при поглинанні або випромінюванні випромінювання, тобто які правила вибору електронного спіна одного електрона? На відміну від орбітального моменту моменту, який може мати кілька значень, спіновий кутовий момент може мати тільки значення
\[ |S| = \sqrt {s (s + 1) \hbar } = \dfrac {\sqrt {3}}{2} \hbar \label {8-58}\]
Оскільки s = ½, одне правило вибору спина
\[\Delta s = 0 \label {8-59}\]
Коли магнітне поле застосовується вздовж осі z для видалення\(m_s\) виродження, інше магнітне поле, застосоване в напрямку x або y, надає силу або крутний момент на магнітний диполь, щоб повернути його. Це поперечне поле може «перевертати спина», і змінювати проекцію на вісь z від\(\dfrac {1}{+2} \hbar \) до\(\dfrac {1}{-2} \hbar \) або від\(\dfrac {1}{-2} \hbar \) до\(\dfrac {1}{+2} \hbar \). Таким чином, інше правило вибору спина для одного електрона
\[ \Delta m_s = \pm 1 \label {8-60}\]