8.4: Магнітні властивості та ефект Зеемана
- Page ID
- 18743
Магнетизм виникає в результаті кругового руху заряджених частинок. Це властивість демонструється в макроскопічних масштабах шляхом виготовлення електромагніту з котушки дроту і акумулятора. Електрони, що рухаються через котушку, виробляють магнітне поле (рис.\(\PageIndex{1}\)), яке можна розглядати як походить від магнітного диполя або стрижневого магніту.
Магнетизм виникає в результаті кругового руху заряджених частинок.
Електрони в атомах також є рухомими зарядами з кутовим імпульсом, тому вони теж виробляють магнітний диполь, тому деякі матеріали є магнітними. Магнітний диполь взаємодіє з прикладеним магнітним полем, і енергія цієї взаємодії задається скалярним добутком магнітного дипольного моменту, і магнітним полем,\(\vec{B}\).
\[E_B = - \vec{\mu} _m \cdot \vec{B} \label {8.4.1}\]
На магніти діють сили і крутні моменти при розміщенні всередині зовнішнього прикладеного магнітного поля (рис.\(\PageIndex{2}\)). У рівномірному зовнішньому полі магніт відчуває не чисту силу, а чистий крутний момент. Крутний момент намагається вирівняти магнітний момент (\(\vec{\mu} _m\)магніту) із зовнішнім полем\(\vec{B}\). Магнітний момент магніту вказує від його південного полюса до північного полюса.
У неоднорідному магнітному полі струмовий контур, а отже, і магніт відчуває чисту силу, яка намагається витягнути вирівняний диполь у області, де величина магнітного поля більша, і штовхати анти-вирівняний диполь в області, де величина магнітного поля менше.
Квантові ефекти
Як і очікувалося, квантова картина інша. Пітер Зееман одним з перших спостерігав розщеплення спектральних ліній в магнітному полі, викликаному цією взаємодією. Отже, такі розщеплення відомі як ефект Зеемана. Давайте тепер використаємо наші сучасні знання, щоб передбачити, як виглядатиме ефект Зеемана для переходу 2p до 1s у водні, а потім порівняємо це прогнозування з більш повною теорією. Щоб зрозуміти ефект Зеемана, який використовує магнітне поле для видалення виродження різних станів моменту моменту, нам потрібно вивчити, як електрон в атомі водню взаємодіє із зовнішнім магнітним полем\(\vec{B}\). Оскільки магнетизм виникає в результаті кругового руху заряджених частинок, ми повинні шукати зв'язок між кутовим імпульсом\(\vec{L}\) і магнітним дипольним моментом\(\vec{\mu} _m\).
Зв'язок між магнітним дипольним моментом\(\vec{\mu} _m\) (також називається просто магнітним моментом) і кутовим імпульсом\(\vec{L}\) частинки з масою m і зарядом\(q\) задається
\[ \vec{\mu} _m = \dfrac {q}{2m} \vec{L} \label {8.4.2}\]
Для електрона це рівняння стає
\[ \vec{\mu} _m = - \dfrac {e}{2m_e} \vec{L} \label {8.4.3}\]
де питомий заряд і маса електрона були замінені на\(q\) і\(m\). Магнітний момент для електрона являє собою вектор, що вказує в напрямку, протилежному\(\vec{L}\), обидва з яких класично перпендикулярні площині обертального руху.
Вправа\(\PageIndex{1}\)
Чи матиме електрон у наземному стані водню магнітний момент? Чому чи чому ні?
Зв'язок між кутовим імпульсом частинки та її магнітним моментом зазвичай виражається у вигляді співвідношення, званого гіромагнітним відношенням,\(\gamma\). Гіроскоп грецький для повороту, тому гіромагнітний просто відноситься поворот (кутовий момент) до магнетизму. Тепер ви також знаєте, чому грецькі бутерброди, приготовані з м'ясом, нарізаним з коси, що перевертається через багаття, називають гіроскопом.
\[ \gamma = \dfrac {\mu _m}{L} = \dfrac {q}{2m} \label {8.4.4}\]
У конкретному випадку електрона,
\[ \gamma _e = - \dfrac {e}{2m_e} \label {8.4.5}\]
Вправа\(\PageIndex{2}\)
Обчисліть величину гіромагнітного відношення для електрона.
Для визначення енергії атома водню в магнітному полі потрібно включити операторну форму атома водню гамільтоніана. Гамільтоніан завжди складається з усіх енергетичних термінів, які мають відношення до поставленої проблеми.
\[ \hat {H} = \hat {H} ^0 + \hat {H} _m \label {8.4.6}\]
де\(\hat {H} ^0\) - гамільтоновий оператор за відсутності поля і\(\hat {H} _m\) записується за допомогою операторних форм рівнянь\(\ref{8.4.1}\) і\(\ref{8.4.3}\)),
\[ \hat {H}_m = - \hat {\mu} \cdot \vec{B} = \dfrac {e}{2m_e} \hat {L} \cdot B \label {8.4.7}\]
скалярний добуток
\[ \hat {L} \cdot \vec{B} = \hat {L}_x B_x + \hat {L}_y B_y + \hat {L}_z B_z \label {8.4.8}\]
спрощує, якщо вісь z визначається як напрямок зовнішнього поля, оскільки тоді\(B_x\) і автоматично\(B_y\) дорівнюють 0, а Equation\ ref {8.4.6} стає
\[ \hat {H} = \hat {H}^0 + \dfrac {eB_z}{2m_e} \hat {L} _z \label {8.4.9}\]
де\(B_z\) - величина магнітного поля, яке знаходиться по осі z.
Тепер ми можемо запитати: «Який вплив магнітного поля на енергію орбіталей атома водню?» Щоб відповісти на це питання, ми не будемо вирішувати рівняння Шредінгера знову; ми просто обчислимо очікуване значення енергії\(\left \langle E \right \rangle \), використовуючи існуючі хвильові функції атома водню та новий гамільтонівський оператор.
\[ \left \langle E \right \rangle = \left \langle \hat {H}^0 \right \rangle + \dfrac {eB_z}{2m_e} \left \langle \hat {L} _z \right \rangle \label {8.4.10}\]
де
\[\left \langle \hat {H}^0 \right \rangle = \int \psi ^*_{n,l,m_l} \hat {H}^0 \psi _{n,l,m_l} d \tau = E_n \label {8.4.11}\]
і
\[\left \langle \hat {L}_z \right \rangle = \int \psi ^*_{n,l,m_l} \hat {L}_z \psi _{n,l,m_l} d \tau = m_l \hbar \label {8.4.12}\]
Вправа\(\PageIndex{3}\)
Покажіть, що очікуване значення\(\left \langle \hat {L}_z \right \rangle = m_l \hbar\).
Підхід очікуваних значень дає точний результат у цьому випадку, оскільки хвильові функції атома водню є власними функціями обох\(\hat {H} ^0\) і\(\hat {L}_z\). Якби хвильові функції не були власнимифункціями оператора, пов'язаного з магнітним полем, то такий підхід забезпечив би оцінку енергії першого порядку. Оцінки енергії першого та вищого порядку є частиною загального підходу до розробки наближених розв'язків рівняння Шредінгера. Такий підхід, який називається теорією збурень, розглядається в наступному розділі.
Очікуване значення для загальної енергії в даному випадку - це сума енергії при відсутності поля\(E_n\), плюс енергія Зеемана,\(\dfrac {e \hbar B_z m_l}{2m_e}\)
\[\begin{align} \left \langle E \right \rangle &= E_n + \dfrac {e \hbar B_z m_l}{2m_e} \\[4pt] &= E_n + \mu _B B_z m_l \label {8.4.13} \end{align}\]
Фактор
\[ \dfrac {e \hbar}{2m_e} = - \gamma _e \hbar = \mu _B \label {8.4.14}\]
визначає константу\(\mu _B\), звану магнетоном Бора, яка приймається за фундаментальний магнітний момент. Він має одиниці\(9.2732 \times 10^{-21}\) ерг/Гаусс або\(9.2732 \times 10^{-24}\) Джоуль/Тесла. Цей фактор допоможе вам співвідносити магнітні поля, виміряні в Гаусс або Тесла, з енергіями, виміряними в ергах або джоулах, для будь-якої частинки з зарядом і масою, такими ж, як електрон.
Рівняння\ ref {8.4.13} показує, що\(m_l\) квантове число виродження атома водню видаляється магнітним полем. Наприклад, три стани, і\(\psi _{211}\)\(\psi _{21-1}\)\(\psi _{210}\), які вироджені в нульовому полі, мають різну енергію в магнітному полі, як показано на малюнку\(\PageIndex{3}\).
\(m_l = 0\)Стан, для якого складова моменту моменту, а отже, і магнітний момент у напрямку зовнішнього поля дорівнює нулю, не відчуває взаємодії з магнітним полем. \(m_l = +1\)Стан, для якого кутовий імпульс в z-напрямку дорівнює+, а магнітний момент знаходиться в протилежному напрямку, проти поля, відчуває підвищення енергії в присутності поля. Підтримувати магнітний диполь проти напрямку зовнішнього поля схоже на утримання невеликого стрижневого магніту з його полюсами, вирівняними прямо протилежно полюсам великого магніту (рис.\(\PageIndex{5}\)). Це більш висока енергетична ситуація, ніж коли магнітні моменти вирівняні один з одним.
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Виконайте кроки, що йдуть від Рівняння\(\ref{8.4.10}\) до Рівняння\(\ref{8.4.13}\).
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Розглянемо вплив зміни магнітного поля на величину розщеплення Зеемана. Намалюйте діаграму, де напруженість магнітного поля знаходиться на осі x, а енергія трьох орбіталей 2p знаходиться на осі y, щоб показати тенденцію до розщеплення величин зі збільшенням магнітного поля. Будьте кількісними, обчислюйте та будуйте точні числові значення, використовуючи програмний пакет на ваш вибір.
Вправа\(\PageIndex{6}\)
На підставі ваших розрахунків у Вправі\(\PageIndex{2}\) намалюйте спектр люмінесценції для атома водню на рівні n = 2 в магнітному полі 1 Тесла. Надайте числове значення для кожної з енергій переходу. Використовуйте см -1 або електронвольт для одиниць енергії.