8.2: Функції хвиль

Розв'язками рівняння атома водню Шредінгера є функціями, які є добутком сферичної гармонічної функції та радіальної функції.

\[ \psi _{n, l, m_l } (r, \theta , \varphi) = R_{n,l} (r) Y^{m_l}_l (\theta , \varphi) \label {8-20}\]

Хвильові функції атома водню залежать від трьох змінних r\(\theta\),\(\varphi \) і трьох квантових чисел n\(l\), і\(m_l\). Змінні дають положення електрона щодо протона в сферичних координатах. Абсолютний квадрат хвильової функції\(| \psi (r, \theta , \varphi )|^2\), оцінюється при\(r\)\(\theta \), і\(\varphi\) дає щільність ймовірності знаходження електрона всередині диференціального об'єму\(d \tau\), центрованого в положенні, заданому r\(\theta \), і\(\varphi\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Що таке значення інтеграла

\[ \int \limits _{\text{all space}} | \psi (r, \theta , \varphi )|^2 d \tau \, ? \nonumber\]

Квантові числа мають назви:\(n\) називається основним квантовим числом,\(l\) називається квантовим числом моменту моменту і\(m_l\) називається магнітним квантовим числом, оскільки (як ми побачимо в розділі 8.4) енергія в магнітному полі залежить від\(m_l\). Часто\(l\) називають азимутальним квантовим числом, оскільки воно є наслідком\(\theta\) -рівняння, яке передбачає азимутальний кут\(\Theta \), що відноситься до кута до зеніту.

Ці квантові числа мають специфічні значення, які продиктовані фізичними обмеженнями або граничними умовами, накладними на рівняння Шредінгера:\(n\) повинні бути цілим числом, більшим за 0,\(l\) можуть мати значення від 0 до n‑1 і\(m_l\) можуть мати\(2l + 1\) значення в діапазоні від\(-l\) ‑ до \(+l\)в одиничних або цілих кроках. Значення квантового числа\(l\) зазвичай кодуються буквою: s означає 0, p означає 1, d означає 2, f означає 3; наступні коди тривають за алфавітом (наприклад, g означає\(l = 4\)). Квантові числа визначають квантування фізичних величин. Дискретні енергії різних станів атома водню задаються\(n\), величина моменту моменту задається\(l\), а одна складова моменту моменту (зазвичай вибирається хіміками як z‑компонент) задається\(m_l\). Загальна кількість орбіталей з певним значенням\(n\) є\(n^2\).

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Розглянемо кілька значень для n, і показати, що кількість орбіталей для кожного n дорівнює\(n^2\).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Побудувати таблицю, що підсумовує допустимі значення для квантових чисел n\(l\), і\(m_l\). для енергетичних рівнів від 1 до 7 водню.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Позначення 3d визначає квантові числа для електрона в атомі водню. Які значення для n і\(l\)? Які значення мають енергія і кутовий імпульс? Які можливі значення для магнітного квантового числа? Які можливі орієнтації вектора кутового моменту?

Хвильові функції атома водню називаються атомними орбіталями.\(\psi (r, \theta , \varphi )\) Атомна орбітальна - це функція, яка описує один електрон в атомі. Хвильова функція з n = 1\(l=1\), і\(m_l\) = 0 називається орбітальною 1s, а електрон, який описується цією функцією, називається «в» орбіталі ls, тобто має 1s орбітальний стан. Обмеження на\(n\)\(l)\), і\(m_l\) які накладаються під час розв'язання рівняння Шредінгера атома водню пояснюють, чому існує одна 1s орбіталь, чому існує три 2p орбіталі, п'ять 3d орбіталів тощо Ми побачимо, коли розглянемо багатоелектронні атоми в главі 9 що ці обмеження пояснюють особливості Періодичної таблиці. Іншими словами, Періодична таблиця є проявом моделі Шредінгера та фізичних обмежень, накладених для отримання розв'язків рівняння Шредінгера для атома водню.

Візуалізація варіації електронної хвильової функції з\(r\), і\(\varphi\) важливо\(\theta\), оскільки абсолютний квадрат хвильової функції зображує розподіл заряду (щільність ймовірності електронів) в атомі або молекулі. Розподіл заряду є центральним для хімії, оскільки він пов'язаний з хімічною реакційною здатністю. Наприклад, електронно-дефіцитна частина однієї молекули притягується в багату електронами область іншої молекули, і такі взаємодії відіграють важливу роль у хімічних взаємодіях, починаючи від реакцій заміщення та приєднання до згортання білка і взаємодії субстратів з ферментами.

Візуалізація хвильових функцій та розподілів зарядів є складною справою, оскільки вимагає вивчення поведінки функції трьох змінних у тривимірному просторі. Ця візуалізація полегшується, розглядаючи радіальні та кутові частини окремо, але побудова радіальної та кутової частин окремо не дуже добре виявляє форму орбіти. Форма може бути розкрита краще на графіку щільності ймовірності. Щоб скласти такий тривимірний сюжет, розділіть простір вгору на невеликі об'ємні елементи, обчислите\(\psi^* \psi \) в центрі кожного об'ємного елемента, а потім розтушуйте, пофарбуйте або розфарбуйте цей об'ємний елемент пропорційно величині\(\psi^* \psi \). Не варто плутати такі сюжети з полярними сюжетами, які виглядають схожими.

Щільності ймовірностей також можуть бути представлені контурними картами, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Контурні графіки в площині xy для\(2p_x\) та\(3p_x\) орбіталей атома водню. Графіки відображають лінії постійних значень\(R(r)^2\); червоні лінії слідують за шляхами високого\(R(r)^2\), синього для низького\(R(r)^^2\). Кутова функція, яка використовується для створення фігури, представляла собою лінійну комбінацію двох сферичних гармонічних функцій (див. Задача 10 в кінці цієї глави).

Інша репрезентативна техніка, моделювання віртуальної реальності, має велику перспективу для представлення щільності електронів. Уявіть собі, наприклад, можливість випробувати електронну щільність як силу або опір на паличці, яку ви рухаєте через тривимірний простір. Такі пристрої, які називаються гаптичними пристроями, вже існують і використовуються для представлення наукової інформації. Так само, чи не було б цікаво «літати» через атомну орбіталь і відчувати зміни електронної щільності як зміни кольору або зміни хмарності? В даний час розробляються спеціально розроблені приміщення з 3D екранами і «розумними» окулярами, які дають зворотний зв'язок про напрямок погляду глядача, щоб дозволити нам випробувати подібні відчуття.

Методи окремого дослідження радіальних ділянок атомних орбіталей дають корисну інформацію про розподіл щільності заряду всередині орбіталей. Графіки радіальних функцій для орбіталей 1s, 2s та 2p, побудовані на рис\(\PageIndex{2}\).\(R(r)\)

Рисунок\(\PageIndex{2}\): Радіальна функція, R (r), для орбіталей 1s, 2s та 2p.

Функція 1s на малюнку\(\PageIndex{2}\) починається з високого позитивного значення в ядрі і експоненціально розпадається до практично нуля після радіусів Бора 5. Висока величина в ядрі може бути дивною, але, як ми побачимо пізніше, ймовірність знаходження електрона в ядрі зникає мала.

Далі зверніть увагу, як радіальна функція для 2s орбіталі, рис.\(\PageIndex{2}\), переходить до нуля і стає негативною. Така поведінка виявляє наявність радіального вузла у функції. Радіальний вузол виникає, коли радіальна функція дорівнює нулю, крім at\(r = 0\) або\(r = ∞\). Вузли та обмежувальна поведінка атомних орбітальних функцій є корисними для визначення того, яка орбітальна описується якою хвильовою функцією. Наприклад, всі функції s мають ненульові значення хвильової функції at\(r = 0\), але p, d, f і всі інші функції йдуть в нуль у початку. Корисно пам'ятати, що в хвильовій функції є\(n-1-l\) радіальні вузли, а це означає, що 1s орбіталь не має радіальних вузлів, 2s має один радіальний вузол і так далі.

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вивчіть математичні форми радіальних хвильових функцій. Яка особливість у функціях змушує деякі з них йти до нуля при початку, тоді як функції s не йдуть до нуля у початку?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Яка математична особливість кожної з радіальних функцій керує кількістю радіальних вузлів?

Вправа\(\PageIndex{7}\)

При якому значенні r виникає радіальний вузол 2s?

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Складіть таблицю, яка забезпечує енергію, кількість радіальних вузлів, а також кількість кутових вузлів і загальну кількість вузлів для кожної функції з n = 1, 2 і 3. Визначте взаємозв'язок між енергією і кількістю вузлів. Визначте залежність між кількістю радіальних вузлів і кількістю кутових вузлів.

Величина\(R (r) ^* R(r)\) дає радіальну густину ймовірності; тобто щільність ймовірності для електрона, що знаходиться в точці, розташованій на відстані\(r\) від протона. Радіальні густини ймовірностей для трьох типів атомних орбіталей побудовані на малюнку (\ pageIndex {3}\).

Рисунок\(\PageIndex{3}\): Радіальні густини ймовірностей для орбіталей 1s, 2s та 2p.

Коли радіальна густина ймовірності для кожного значення r множиться на площу сферичної поверхні, представленої цим конкретним значенням r, ми отримуємо функцію радіального розподілу. Функція радіального розподілу дає щільність ймовірності для знаходження електрона в будь-якому місці на поверхні сфери, розташованої на відстані r від протона. Оскільки площа сферичної поверхні є\(4 \pi r^2\), то функція радіального розподілу задається\(4 \pi r^2 R(r) ^* R(r)\).

Функції радіального розподілу показані на рис\(\PageIndex{4}\). При малих значеннях r функція радіального розподілу низька, оскільки мала площа поверхні для малих радіусів модулює високе значення функції густини радіальної ймовірності поблизу ядра. Зі збільшенням площа поверхні\(r\), пов'язана з заданим значенням r, збільшується, і\(r^2\) термін змушує функцію радіального розподілу збільшуватися, навіть якщо густина радіальної ймовірності починає зменшуватися. При великих значеннях\(r\) експоненціальний розпад радіальної функції переважує збільшення,\(r^2\) викликане терміном, а функція радіального розподілу зменшується.

Рисунок\(\PageIndex{4}\): Функція радіального розподілу для орбіталей 1s, 2s та 2p.

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Напишіть порівняння якості радіальної функції та функції радіального розподілу для 2s орбіталі. Див. Рисунок (\ PageIndex {5}\)

Рисунок\(\PageIndex{5}\): Порівняння a) функції радіального розподілу та b) густини радіальної ймовірності для 2s орбіти.