6.5: Квантове механічне тунелювання

Last updated
Save as PDF

Page ID: 18412

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Квантово-механічне тунелювання є наслідком того, що вібруюча молекула має значну ймовірність опинитися в класично забороненій області простору, тобто за класичною межею. Припустимо, що замість того, щоб мати гармонічний потенціал для зміщення атома з положення рівноваги, один має подвійний потенціал ями з кінцевим потенціал-енергетичним бар'єром між двома сторонами, як показано на малюнку\(\PageIndex{1}\).

альт — Малюнок\(\PageIndex{1}\): Потенціал подвійної свердловини. Потенційна енергія атома як функція його положення в просторі.

Як можуть виглядати хвильові функції для положення атома або іншої частинки, такої як електрон, з таким типом потенціалу? Розумним початковим наближенням було б розглянути хвильову функцію гармонічного осцилятора в кожній лунці. Завдяки асимптотичному наближенню до нуля функції поширюються в область бар'єру, тобто в класично заборонену область. Ці функції можуть навіть з'єднуватися між собою, якщо бар'єр не занадто високий або занадто широкий. З'єднання двох функцій означає, що частинка, що починається в свердловині з лівого боку, має кінцеву ймовірність тунелювання через бар'єр і знаходитися з правого боку, навіть якщо енергія частинки менше висоти бар'єру. Згідно з класичною механікою, частка опинилася б в пастці з лівого боку, якби їй не вистачило енергії, щоб пройти через бар'єр. У квантовій механіці частинка може тунелювати через бар'єр. Енергетичний бар'єр не обов'язково обмежує квантову механічну систему певною областю простору, оскільки хвильові функції можуть проникати через бар'єрну область. Запропоновано тунелювання для пояснення перенесення електронів в деяких ферментних реакціях та обліку мутацій пар основ ДНК як атома водню в тунелі водневого зв'язку через бар'єр від електронегативного атома однієї основи до електронегативного атома в партнерській основі.

Що ми маємо на увазі, коли говоримо, що щось на зразок тунелювання відбувається квантово механічно, але не класично? Ми маємо на увазі, що класична механіка не є адекватним описом того, як поводиться атомний світ. Класична механіка відмінно працює для макроскопічних об'єктів, але не для наноскопічних об'єктів. Важливість маси та константи Планка у визначенні того, чи можна описати об'єкт класично чи ні, можна проілюструвати принципом невизначеності. Коли принцип невизначеності,

\[\Delta x \Delta p > \frac {\hbar}{2},\]

і зв'язок між імпульсом і довжиною хвилі,

\[p = \dfrac{h}{λ} \nonumber\]

застосовувався до макроскопічних об'єктів, таких як бейсбол. Встановлено, що невизначеності та довжина хвилі настільки малі порівняно з макроскопічними розмірами, що хвильові властивості цих об'єктів не виявляються. Великі маси можна описати класично, оскільки константа Планка настільки мала. Ситуації, розглянуті в наступних параграфах, розглядають тунелювання за цими ж лініями.

Спочатку розглянемо випадок протона. Чи розумно думати, що протон може тунелювати через потенційний бар'єр? Розглянемо водневий зв'язок між двома парними основами в спіралі нуклеїнової кислоти та отриману подвійну лунно-потенційно-енергетичну функцію, подібну до тієї, що проілюстрована на малюнку\(\PageIndex{1}\).

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Намалюйте потенційно-енергетичні функції для кожної з водневих зв'язків у парі основи гуанін-цитозин. Опишіть, як ваші малюнки відображають характер базового спарювання, показаного в стандартних підручниках з біохімії.

Ми хочемо порівняти\(Q_0\), максимальне класичне зміщення протона, з поділом потенційних ям, d, яке ми приймаємо за ширину потенційного бар'єру на половину його висоти. Якщо d набагато більше\(Q_0\), тунелювання не буде ймовірним, оскільки хвильова функція, яка падає дуже швидко (експоненціально), стане надзвичайно маленькою, по суті, нульовою в межах бар'єру, оскільки Q збільшується за межі\(Q_0\). З іншого боку, якщо d не занадто багато більше\(Q_0\), то хвильова функція все одно матиме значне ненульове значення на подальшій стороні бар'єру і тунелювання буде ймовірним.

Швидкість наближення хвильової функції до нуля в області бар'єру залежить як від висоти, так і від ширини бар'єру. Зі збільшенням висоти бар'єру ширина повинна стати меншою, щоб тунелювання було значним, але ми все ще можемо отримати відчуття того, чи є тунелювання розумним чи ні, порівнюючи поділ потенційних свердловин з\(Q_0\). Для протона, пов'язаного з воднем між двома електронегативними центрами, d був розрахований приблизно на 0,1 нм (близько 10% від довжини зв'язку N-H) і\(Q^2_0 = \frac {\hbar}{m \omega}\) дає\(Q_0\) = 0,01 нм. Оскільки d лише в 10 разів перевищує Q0 у цій оцінці, тунелювання не може бути виключено як реальну можливість.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Отримати значення для\(Q_0\) шляхом використання маси протона і характерної коливальної частоти для зв'язку NH або OH (3300 см ^-1).

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Визначте\(Q_0\), що відбувається\(\frac {d}{Q_0}\), співвідношення та ваші очікування щодо тунелювання у міру збільшення маси частинки, наприклад, якщо протон був замінений дейтроном.

Тепер розглянемо макроскопічну систему для порівняння. Припустимо, що ви і ваш велосипед застрягли в долині на одному пагорбі від вашого будинку в наступній долині. Ви перебуваєте в найнижчому енергетичному стані, і вам належить пройти 1000 м. До якого висновку ми дійдемо, якщо застосуємо наведені вище оцінки ймовірності тунелювання до вас? Ми хочемо використовувати\(Q^2_0 \approx \frac {\hbar}{m \omega}\) для оцінки вашого максимального переміщення від дна долини і порівняти його з відстанню до вашої домашньої долини. Наприклад, ми можемо дати вам масу 100 кг і частоту коливань між двома пагорбами, які утворюють долину ω = 2π/100 с. ваша маса на 29 порядків (множники десять) більше, ніж у протона, а частота коливань на 16 порядків менше, ніж у протона. Ця частота означає, що вам потрібно 100 с, щоб завершити один цикл кочення назад і вперед між двома пагорбами, які утворюють долину, в якій ви знаходитесь. Більша маса домінує меншою частотою, в результаті чого ваш Q0 дорівнює 10 ^-18 м, а пагорб, який потрібно перетнути, шириною 1000\(d \approx 10^3\) м, м Велосипедист в найнижчому енергетичному квантовому стані має максимальне переміщення 10-18 нм (10 ^-27 м) і відстань до тунелю близько 103 м Тунелювання в цих умовах не є ймовірною подією, оскільки відстань, яку потрібно пройти, набагато більше максимального зміщення. Велосипедист не мав би шансів у житті повернутися додому, не виробляючи достатньої енергії, щоб їздити по пагорбу. Що сталося б, якби константа Планка була набагато більшою? Якби h були 10 ⁷ Дж, то тунелювання також було б важливим для таких масивних об'єктів, як люди, і це зробило б наше життя простіше і цікавіше.

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Переконайтеся, що якщо h = 10 ⁷ J s, то тунелювання буде важливим для людей.