15.4: Множинні частинки та друге квантування

У разі великої кількості ядерних або електронних ступенів свободи (або для фотонів в квантовому світловому полі) стає стомлюючим виписувати явну форму продукту стану вектора стану, т. Е.

\[| \psi \rangle = | \varphi _ {1} , \varphi _ {2} , \varphi _ {3} \cdots \rangle\]

За цих обставин стає корисним визначити оператори створення та знищення. Якщо\(| \psi \rangle\) відноситься до стану множинних гармонічних осциляторів, то гамільтоніан має вигляд

\[H = \sum _ {\alpha} \left( \frac {p _ {\alpha}^{2}} {2 m _ {\alpha}} + \frac {1} {2} m _ {\alpha} \omega _ {\alpha}^{2} q _ {\alpha}^{2} \right) \label{14.43}\]

які також можуть бути виражені як

\[H = \sum _ {\alpha} \hbar \omega _ {\alpha} \left( a _ {\alpha}^{\dagger} a _ {\alpha} + \frac {1} {2} \right) \label{14.44}\]

і власні стани, представлені через заняття кожного осцилятора

\[| \psi \rangle = | n _ {1} , n _ {2} , n _ {3} \dots ).\]

Це подання іноді називають «другим квантуванням», оскільки класичний гамільтоніан спочатку квантувався шляхом заміни змінних позиції та імпульсу операторами, а потім ці квантові оператори знову були замінені операторами підвищення та зниження.

Оператор\(a _ {\alpha}^{\dagger}\) піднімає заняття в режимі\(| n _ {\alpha} \rangle\), а збудження\(a _ {\alpha}\) знижує в режимі\(| n _ {\alpha} \rangle\). Власні значення цих операторів\(n _ {\alpha} \rightarrow n _ {\alpha} \pm 1\), захоплюються взаємозв'язками комутатора:

\[\left[ a _ {\alpha} , a _ {\beta}^{\dagger} \right] = \delta _ {\alpha \beta} \label{14.45}\]

\[\left[ a _ {\alpha} , a _ {\beta} \right] = 0 \label{14.46}\]

Рівняння\ ref {14.45} вказує на те, що оператори підвищення та зниження не комутують, якщо вони є операторами з однаковим ступенем свободи (\(\alpha = \beta\)), але вони роблять інакше. Написані іншим способом, ці вирази вказують на те, що порядок операцій для підвищення і зниження операторів в різних ступенях свободи коммутіруют.

\[a _ {\alpha} a _ {\beta}^{\dagger} = a _ {\beta}^{\dagger} a _ {\alpha} \label{14.47}\]

\[a _ {\alpha} a _ {\beta} = a _ {\beta} a _ {\alpha} \label{14.48A}]\]

\[a _ {\alpha}^{\dagger} a _ {\beta}^{\dagger} = a _ {\beta}^{\dagger} a _ {\alpha}^{\dagger} \label{14.48B}\]

Ці вирази також означають, що операції власних функцій форм у рівняннях\ ref {14.47} -\ ref {14.48B} однакові, так що ці власні функції повинні бути симетричними для обміну координатами. Тобто ці частинки є бозонами.

Ці спостереження доводять шлях до визначення операторів підняття та опускання електронів. Електрони є ферміонами, а тому антисиметричними для обміну частинок. Це говорить про те, що електрони матимуть оператори підняття і опускання, які змінюють збудження електронного стану вгору або вниз після співвідношення.

\[b _ {\alpha} b _ {\beta}^{\dagger} = - b _ {\beta}^{\dagger} b _ {\alpha} \label{14.49}\]

або

\[\left[ b _ {\alpha} , b _ {\beta}^{\dagger} \right] _ {+} = \delta _ {\alpha \beta} \label{14.50}\]

де\([ \ldots ] _+\) відноситься до антикомутатора. Далі пишемо

\[\left[ b _ {\alpha} , b _ {\beta} \right] _ {+} = 0 \label{14.51}\]

Це відбувається з розгляду дії цих операторів для випадку, коли\(\alpha = \beta\). У такому випадку, взявши герметський кон'югат, ми бачимо, що Equation\ ref {14.51} дає

\[2 b _ {\alpha}^{\dagger} b _ {\alpha}^{\dagger} = 0 \label{14.52A}\]

або

\[b _ {\alpha}^{\dagger} b _ {\alpha}^{\dagger} = 0 \label{14.52B}\]

Цей зв'язок говорить про те, що ми не можемо поставити два збудження в один і той же стан, як очікувалося для Ферміонів. Ця залежність вказує на те, що існує тільки дві власніфункції для операторів\(b _ {\alpha}^{\dagger}\) і\(b _ {\alpha}\), а саме\(| n _ {\alpha} = 0 \rangle\) і\(| n _ {\alpha} = 1 \rangle\). Це також видно з Equation\ ref {14.50}, що вказує на те, що

\[b _ {\alpha}^{\dagger} b _ {\alpha} | n _ {\alpha} \rangle + b _ {\alpha} b _ {\alpha}^{\dagger} | n _ {\alpha} \rangle = | n _ {\alpha} \rangle \]

або

\[b _ {\alpha} b _ {\alpha}^{\dagger} | n _ {\alpha} \rangle = \left( 1 - b _ {\alpha}^{\dagger} b _ {\alpha} \right) | n _ {\alpha} \rangle \label{14.53}\]

Якщо ми тепер встановимо\(| n _ {\alpha} \rangle = | 0 \rangle\), ми виявимо, що рівняння\ ref {14.53} передбачає

\[\left. \begin{array} {l} {b _ {\alpha} b _ {\alpha}^{\dagger} | 0 \rangle = | 0 \rangle} \\ {b _ {\alpha}^{\dagger} b _ {\alpha} | 0 \rangle = 0} \\ {b _ {\alpha} b _ {\alpha}^{\dagger} | 1 \rangle = 0} \\ {b _ {\alpha}^{\dagger} b _ {\alpha} | 1 \rangle = | 1 \rangle} \end{array} \right. \label{14.54}\]

Знову ж таки, це підсилює, що лише два\(| 0 \rangle\) стани\(| 1 \rangle\), і, дозволені для операторів підвищення та зниження електронів. Вони відомі як оператори Паулі, оскільки вони неявно виконують принцип виключення Паулі. Зауважте, що в Equation\ ref {14.54} це\(| 0 \rangle\) стосується власне вектора з власним значенням нуля\(| \varphi _ {0} \rangle\), тоді як «0» відноситься до нульового вектора.

Екситони Френкеля

Для електронних хромофорів ми використовуємо позначення\(| g \rangle\) і\(| e \rangle\) для станів електрона в його наземному або збудженому стані. Стан системи за одне збудження в сукупності

\[| n \rangle = | g , g , g , g \dots e \ldots g \rangle\]

потім може бути записаний як\(a _ {n}^{\dagger} | G \rangle\), або просто\(a _ {n}^{\dagger}\), і Френкеля екситон Гамільтоніан є

\[H _ {0} = \sum _ {n = 0}^{N - 1} \varepsilon _ {0} | n \rangle \langle n | + \sum _ {n , m} J _ {n , m} | n \rangle \langle m | \label{14.55}\]

або

\[H _ {0} = \sum _ {n} \varepsilon _ {0} b _ {n}^{\dagger} b _ {n} + \sum _ {n , m} J _ {n , m} b _ {n}^{\dagger} b _ {m} \label{14.56}\]

Читання

1. Шац, Г.К.; Ратнер, М.А., Квантова механіка в хімії. Довер Публікації: Мінеола, Нью-Йорк, 2002; стор. 119.